Классическое определение вероятности. Лекция 1: «основные понятия теории вероятностей»

ЛЕКЦИЯ 1: «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Понятие о случайном событии

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием.

Примеры: бросание монеты, бросание игральной кости.

Результат, исход испытания называется событием.

Примеры: выпадение герба, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание – однократное бросание игральной кости. Событие A – появление четырёх очков, событие B - появление чётного числа очков.

Определение 2. Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание – однократное бросание монеты. Событие A – выпадение герба, событие B - выпадение цифры.

Определение 3. Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию A, обозначают через .

Определение 4. Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Определение 5. Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие A – выпадение шести очков при бросании игральной кости – случайное.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события?

Задачи

1. В ящике 15 белых, 12 красных и 14 синих шаров. Вынули один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар красный.

2. В денежно-вещевой лотерее на серию из 1000 билетов приходится 3 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

3. Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет 1 или 5 очков?

4. В ящике 8 белых и 4 синих шара. Вынули сразу 2 шара. Определить вероятность того, что все шары синие?

5. В коробке 20 ламп - 18 исправных и 2 бракованных. Из коробки вынимают 3 лампы. Какова вероятность того, что все они исправные?

6. Бросается один раз игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет 1 или 5 очков?

7. Сколько различных слов можно получить перестановками всех букв в слове ЖУК?

8. Сколько различных слов можно получить перестановками всех букв в слове МАТЕМАТИКА?

9. Сколькими способами из 5 шаров можно выбрать 2?

10. Сколькими способами из 10 студентов можно выбрать 3 делегатов на конференцию?

Свойства вероятности

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

.               (3)

Формула (3) называется формулой полной вероятности.

Доказательство: самостоятельно

Примеры.

1) Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, в третьем – две белые мыши и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Событие  - выбор первого ящика;

событие  - выбор второго ящика;

событие  - выбор третьего ящика;

событие A - извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то

; ; ; .

По формуле (3) получаем:

.

2) Для приёма зачёта преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачёта студент должен решить первую же доставшуюся ему наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачёт, если он умеет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению.

Событие  - получена задача по дифференциальному исчислению;

событие  - получена задача по интегральному исчислению;

событие A – задача решена.

Тогда

; ; ; .

Применяем формулу (3):

.

Задачи

1. Участники жеребьевки достают из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не содержит цифры 5.

2. В ящике 7 белых и 12 чёрных шаров. Вынули два шара. Определить вероятность того, что оба шара чёрные.

3. В группе из 30 студентов на контрольной работе получили: 6 студентов – оценку «5», 10 студентов – оценку «4», 9 студентов – оценку «3». Какова вероятность того, что все 3 студента, вызванные к доске, получили оценку «2» по контрольной работе?

4. В ящике 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый? чёрный? синий? красный? белый или чёрный? синий или красный? белый, чёрный или синий?

5. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

6. В первом ящике 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных и 4 синих. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

7. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?

 

Свойства дисперсии.

1.

2.

3.

4.

Определение 3. Средним квадратическим отклонением  случайной величины X называется корень квадратный из её дисперсии:

.

Пример. Случайная величина X – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .

Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Находим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X:

;

;

.

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, используется среднее квадратическое отклонение.

Задачи

1. Имеется четыре ящика. В первом ящике 2 белых и 2 чёрных шара, во втором – 3 белых и 4 чёрных шара, в третьем – 3 белых и 8 чёрных шаров, в четвёртом – 6 белых и 7 чёрных шаров. Выбирают наугад один из ящиков и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

2. Имеется четыре ящика. В первом ящике 3 белых и 3 чёрных шара, во втором – 2 белых и 4 чёрных шара, в третьем – 2 белых и 8 чёрных шаров, в четвёртом – 6 белых и 7 чёрных шаров. Выбирают наугад один из ящиков и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что этот шар чёрный.

 

Равномерное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все значения из отрезка [ a; b], называется равномерным, если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

Так как , получаем , отсюда .

Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X, распределённой равномерно на отрезке [ a; b], имеет вид:

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины с равномерным распределением.

.

Таким образом, , как и должно, быть в силу симметрии распределения.

.

Таким образом, , тогда .

Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5).

a=2, b=8, .

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p, то вероятность его ненаступления равна q=1- p.

Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

.

Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:

или

                                    (1)

Формула (1) называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдут: 1) три; 2) не менее трёх.

1) m=3, n=4, p=0,9, q=1-0,9=0,1,

;

2) , ;

  P (A) =0,2916+0,6561=0,9477.

Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения  с вероятностями:

.

Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения.

X	0	1		m		n
P

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:

, , .

Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

p=0,8, q=0,2, n=3, , , .

 - вероятность 0 попаданий;

 - вероятность одного попадания;

- вероятность двух попаданий;

 - вероятность трёх попаданий.

Получаем закон распределения:

X	0	1	2	3
P	0,008	0,096	0,384	0,512

Свойства функции Лапласа.

1. .

Доказательство: .

2. Ф(x) – нечётная функция, т.е. Ф(- x)=-Ф(x).

Доказательство:

 (замена t=- z, dt=- dz).

3. Функция Ф( x) монотонно возрастает.

Из формул (2) и (3) следует, что вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала  равна:

.                                         (4)

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (-2;3).

. По формуле (4) получаем:

.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. найти . По формуле (4) получаем:

.

Таким образом,

.                                           (5)

Пример. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами . Найти .

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. В частности, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот факт получил название центральной предельной теоремы.

 

 

ЛЕКЦИЯ 1: «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Понятие о случайном событии

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием.

Примеры: бросание монеты, бросание игральной кости.

Результат, исход испытания называется событием.

Примеры: выпадение герба, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание – однократное бросание игральной кости. Событие A – появление четырёх очков, событие B - появление чётного числа очков.

Определение 2. Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание – однократное бросание монеты. Событие A – выпадение герба, событие B - выпадение цифры.

Определение 3. Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию A, обозначают через .

Определение 4. Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Определение 5. Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие A – выпадение шести очков при бросании игральной кости – случайное.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события?

Классическое определение вероятности

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится, хотя бы одно из них.

Примеры: попадание в цель или промах при одном выстреле; выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты.

Определение 2. События , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие A называют благоприятствующим событию B, если наступление события A влечёт за собой наступление события B.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью  события A называют отношение  числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий, т.е. .

Пример. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет чётное число очков (событие A).

n=6; m=3; .

Из классического определения вероятности вытекают следующие её свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство: m= n, тогда .

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: m=0, тогда .

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

Доказательство: