Раздел IV . Введение в анализ

Тема 7. Понятие функции

 

60. Понятие функции. Примеры из физики и механики. Область определения и область значений.

61. График функции. Построение графика по точкам. Возрастание и убывание функции, периодические функции.

62. Способы задания: а) аналитический (явный, неявный); б) табличный; в) графический. Вычисление значений функций для различных способов задания.

63. Понятие обратной функции.

64. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература. [2, гл. I, §1-6, упр. 1-6, §7, упр. 8-10, 12, 14, 16, 18, 2, 29, 34, 39, 40; §8, упр. 7 §9], [3, гл. VI, §2, §3], [5, §§1.4-1.11, 3.1].     

 Тема 8. Понятие предела

65. Что означает, что переменная величина  стремится к пределу  в терминах окрестностей точки  на числовой прямой? Примеры.

66. Понятие о пределе функции  в точке . Примеры.

67. Основные правила нахождения пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

68. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности  типа  или .

69. Признаки существования предела: теорема о промежуточной переменной; теорема о монотонной ограниченной переменной.

70.Первый замечательный предел (с выводом).

71. Второй замечательный предел и число  (без вывода).

72. Следствия из первого и второго замечательных пределов.

73. Односторонние пределы функции в точке. Связь с обычным пределом. Примеры.

 

Тема 9. Непрерывность функции

74. Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Точки разрыва. Иллюстрация на графике.

75. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация. Примеры.

76. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции, составленной из непрерывных.

77. Элементарные функции. Область их непрерывности. Применение непрерывности элементарных функций при вычислении пределов.

78. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература.  [2, гл. II, §§1-5, упр. 1, 4, 6, 8-14, 18, 19, §6, упр. 31-33, 35, 37-40; §§7,8, упр. 41-44, 46, 48, 49; §9, упр. 2, 3, 21-23, 25-30, 45, 47, 57, 59; §§10, 11, упр. 60-62], [3, гл. VI, §§4,6], [5, гл. 2,3].

Задачи для контрольных работ.

 

Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных.

При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время.

 

Контрольная работа №1

Элементы линейной алгебры

Задача 1. Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять, разлагая по строке или столбцу.

1.               2.            3.                                                        4.              5.             6.

7.           8.             9.                                       10.    11.           12.

13.            14.            15.                                       16.             17.              18.

19.              20.

 

 

Задача 2. Узнать с помощью определителя, имеет ли однородная система ненулевое решение. Применяя метод Гаусса, найти общее решение системы.

1.                      2.

3.                      4.

5.                       6.

7.                      8.

9.                    10.

11.                       12.

13.                      14.

15.                        16.

17.                      18.

19.               20.

 

Задача 3. Записать задачу решения системы для нескольких правых частей в матричной форме. С помощью обратной матрицы найти решение для каждой правой части системы.

1.                   2.

3.                    4.

5.                   6.

7.                   8.

9.                 10.

11.                   12.

13.             14.

15.               16.

17.                  18.

19.                     20.

 

Задача 4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

1.               2.            3.                4.

5.               6.            7.               8.

9.             10.       11.               12.

13.              14.          15.             16.

17.             18.          19.                20.

 

 

 Векторная алгебра и ее применения

Задача 5. На плоскости дана прямоугольная система координат  и базис , состоящий из векторов единичной длины, направленных по соответствующим осям координат. Построить на плоскости  точки  по их координатам. Построить векторы  и  по их координатам в базисе . Найти координаты векторов , ,  и  в базисе .

1.   

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

Задача 6. Даны длины векторов  и , и угол между ними. Требуется:

а) используя определение и свойства скалярного произведения, вычислить   

 

 

б) используя определение и свойства векторного произведения, выразить  через вектор , если известно что  - вектор единичной длины, направленный так же, как и вектор .

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

Задача 7. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длины сторон  и ;

в) угол между ними;

г) площадь грани ;

д) объем пирамиды;

сделать чертеж.

 

1. А (1,1,1), В (6,3,1), С (3,6,1), D (2,3,5)

 

2. А (2,-1,1), В (0,2,1), С (0,-1,5), D (2,2,9)

 

3. А (1,2,-2), В (2,1,1), С (-1,4,-1), D (4,0,3)

 

4. А (1,3,2), В (3,2,2), С (1,4,2), D (1,3,5)

 

5. А (2,2,1), В (3,5,4), С (1,6,0), D (1,4,7)

 

6. А (4,1,1), В (3,4,2), С (4,6,1), D (3,3,7)

 

7. А (0,2,1), В (3,4,2), С (3,5,1), D (1,2,6)

 

8. А (2,1,0), В (1,3,2), С (3,4,1), D (2,3,7)

 

9. А (2,-2,0), В (3,3,1), С (0,4,2), D (1,3,6)

 

10. А (-1,3,2), В (1,2,2), С (1,9,1), D (1,5,10)

 

11.

 

12. А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D(2, 7, 5)

 

13. A (1,3,2), B (2,2,1), C (4,1,1), D(2,2,9)

 

14. A (2,1,0), B (2,-2,0), C (-1, 3,2), D(4,0,3)

 

15. A (6,7,1), B (0,2,1), C (2,1,1), D(1,3,5).

 

16. A (3,2,2), B (3,5,4), C (3,4,2), D (1,4,7)

 

17. A (1,3,2), B (3,3,1), C (1,8,2), D (7,3,7)

 

18. A (3,6,1), B (0,-1,5), C (1,4,2), D (1,3,6)

 

19. A (1,6,0), B (3,5,1), C (3,6,1), D (2,3,7)

 

20. A (3,4,1), B (0,4,2), C (1,9,1), D (1,5,10)

 

 

Контрольная работа № 2.