Лекция №9. Общая характеристика и сущность метода статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Сущность метода статистического моделирования. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных

входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

1) для изучения стохастических систем;

2) для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Пример детерминированной задачи – задача вычисления одномерного или многомерного интеграла методом статистических испытаний.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.

1. Неравенство Чебышева.

Для неотрицательной функции  случайной величины  и любого К> 0 выполняется неравенство

В частности, если  и  (где  – среднее арифметическое;  — среднеквадратическое отклонение), то

.

2. Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к р, т. е. при любом  

,

где m — число положительных исходов испытания.

3. Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i -м испытании равна , то относительная частота появления события m/N при  сходится по вероятности к среднему из вероятностей , т. е. при любом  

.

4. Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения ,…,  случайной величины , то при среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а, т. е. при любом  

.

5. Обобщенная теорема Чебышева. Если ,…,  — независимые случайные величины с математическими ожиданиями ,…,   и дисперсиями ,…, , ограниченными сверху одним и тем же числом, то при  среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их

математических ожидании:

                                   (*)

6. Теорема Маркова. Выражение (*) справедливо и для зависимых случайных величин ,…, , если только

.

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

7. Центральная предельная теорема. Если ,…, — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание а и дисперсию , то при  закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному:

.

Здесь интеграл вероятностей

.

8.Теорема Лапласа. Если  в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р, то

где m — число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

 

Примеры статистического моделирования