Тема 4. Интерпретация основных моделей парной регрессии экономических показателей

 

Многие специалисты считают корреляционно-регрессионный анализ одним из основных методов в прикладных исследованиях. Методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют по результатам наблюдений (x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂), …, (x_n, y_n) выразить зависимую переменную Y в виде математической функции от X – независимой переменной, то есть построить регрессионную модель в предположении нормального закона распределения ошибок наблюдений. При этом считается, что зависимая переменная (случайная величина) Y при каждом фиксированном x имеет некоторое распределение вероятностей с условным математическим ожиданием, являющимся функцией вида [11, с. 522]: M (Y | x)= g (x,β), где β обозначает совокупность неизвестных параметров. Выбор модели регрессии определяется предположением о форме зависимости g (x,β) от x и β. Среди регрессионных моделей выделяют однопараметрические модели (от одной переменной) и многопараметрические модели (от нескольких переменных), а также модели линейные по переменным и нелинейные по параметрам. С точки зрения единого метода оценки параметров β=(β₀, β₁, …, β_к) наиболее употребительными являются модели, линейные относительно β: y (x)=β₀ g ₀ (x)+β₁ g ₁ (x)+…+β_к g _к (x) и многопараметрические линейные модели относительно нескольких переменных. В случае парной регрессии для выбора аналитической зависимости y (x) целесообразно построить корреляционное поле, визуальный анализ которого позволяет выбрать для расчета одну или несколько моделей регрессии. Ниже приводятся следующие виды регрессионных моделей [9, с. 239-240]:

1. линейная: y (x) = a + bx;

2. парабола: y (x) = a + bx + cx ²;

3. полиномиальная: y (x) =;

4. логарифмическая: y (x) = a + b ln (x);

5. степенная: y (x) = a · x^b;

6. показательная: y (x) = a · b^x;

7. экспонента: y(x) = exp (a + bx);

8. y(x) = exp (a + b/x);

9. y(x) = exp (a + b);

10. y(x) = exp (a + bx + с x²);

11. y(x) = a + b·exp (с x);

12. гипербола: y(x) = a + b/x;

13. y(x) =1/(a + bx);

14. y(x) =1/(a + b/x);

15. y(x) =1/(a + b);

16. y(x) =1/(a + b ln/x);

17. y(x) = a +1/(b + cx);

18. оптимума: y(x) =1/(a + bx + с x²);

19. y(x) = x /(a + bx + с x²);

20. логистическая: y(x) = a + b/(1 + exp (c+dx));

21. линейная с синусом: y(x) = a + bx + c·sin(d + ex).

Модели 6, 11, 17, 20, 21 рассчитываются итерационным способом, остальные модели приводят к линейной модели U = a + bV или параболической модели U = a + bV + cV ² с помощью соответствующего преобразования переменных:

4. V = ln (x), u=y;

5. V = ln (x), u=ln (y);

7. V = x, u=ln (y);

8. V = 1/x, u=ln (y);

9. V=, u=ln (y);

10. V = x, u=ln (y);

12. V = 1/x, u= y;

13. V = x, u=1/y;

14. V = 1/x, u=1/y;

15. V=, u=1/y;

16. V = ln (x), u=1/y;

18. V = x, u=1/y;

19. V = x, u = x / y.

Коэффициенты линейной модели вычисляются согласно методу наименьших квадратов по формулам [3, с. 202-203]:

 

(8).

Следуя [9, с. 238], приведем следующие рекомендации по применению моделей. Для описания неограниченных и монотонно возрастающих или монотонно убывающих зависимостей Y от X могут быть использованы модели типа 1, 2, 4, 7. Линейная модель 1 применима для зависимостей, у которых скорость изменения зависимой переменной Y (или прирост Y) постоянна. Параболическая модель 2 характеризуется тем, что первая производная изменяется по линейному закону. Логарифмическая модель 4 используется для моделирования медленно изменяющихся процессов. Модели экспоненты 7 – 9 применимы для зависимостей, у которых логарифмы Y изменяются по линейному закону. Для моделирования ограниченных монотонно возрастающих или монотонно убывающих зависимостей, значения которых стремятся к некоторому пределу, могут использоваться: модели 5 – 7, 12 (при предельном значении 0); модели 11, 17 (при произвольном предельном значении); логистическая модель 20 (в случае двух пределов). Для представления зависимостей с несколькими экстремумами применимы полиномиальные модели 3. Эти модели хороши для интерполирования, но неудачны для прогнозирования далеко за крайний узел отрезка исходных данных, поскольку графики полиномов могут резко уходить вверх или вниз за пределы отрезка известных значений. Для описания зависимостей с одним максимумом (минимумом) применимы: параболическая модель 2 (в случае неограниченной зависимости), модели оптимума 18 – 19 (в случае зависимости с резким экстремумом и медленным приближением Y к 0) и модель 10 (в случае симметричной зависимости с максимумом в точке X =0 и предельным значением Y =0). Для описания периодических зависимостей (зависимостей с незатухающими колебаниями) применима линейная модель с синусом 21.

В качестве несмещенной оценки дисперсии σ² случайной величины Y в генеральной совокупности служит остаточная дисперсия, или дисперсия относительно линии регрессии [8, с. 283]: σ²_ост=. Рассматриваемая дисперсия σ²_ост является характеристикой уклонений (рассеивания) относительно линии регрессии, т.е. вызвана влиянием на Y факторов, отличных от X.

При исследовании целесообразно рассчитать несколько моделей и среди моделей, адекватных экспериментальным данным, выбрать ту, для которой минимальна остаточная дисперсия или максимален коэффициент корреляции. Чтобы хорошо локализовать область максимума, в некоторых случаях пользуются и неадекватной моделью для сильно зашумленных данных. Однако, если при решении конкретной задачи можно ограничиться построением линейной модели, обычно выбирают ее. Это объясняется тем, что расчет линейных моделей достаточно простой и сами модели легче интерпретируемы. Ряд нелинейных моделей в процессе вычисления с помощью специальных преобразований (см. выше замену переменных 4 – 19) приводится к линейным. Параметры регрессионной модели рассчитываются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений y_i от y _{рег. i}, вычисленных по уравнению регрессии, была минимальной:.

Этот критерий лежит в основе метода наименьших квадратов (МНК), согласно которому регрессионные коэффициенты (параметры модели) вычисляют такими, чтобы они обеспечивали минимальное значение суммы S. В этом случае на графике линия регрессии проходит там, где точки корреляционного поля наибольшим образом сконцентрированы, т.е. на минимальном удалении от них. В частности, в случае линейной модели для поиска регрессионных коэффициентов a и b строят систему нормальных уравнений, представляющих необходимое условие экстремума функции S = S (a, b):

 

 

или

(9).

Коэффициенты a и b – решение системы (9) – вычисляют по формуле (8). Между коэффициентом b и парным коэффициентом корреляции r_yx существует связь:. При этом. Так что уравнение линейной регрессии выражается формулой:.

Здесь и – среднее арифметическое значение исходных данных y и x соответственно. Вычисленные по уравнению регрессии значения y _рег (x)= y (x) называются теоретическими, или выравненными, значениями результативной переменной Y.

Следуя [1, гл. 14], остановимся на аналитических свойствах параметров некоторых однофакторных моделей регрессии. В случае линейной модели y = a + bx изменение результативной переменной Y, обусловленное изменением факторной переменной X, есть величина ∆ y = b ∆ x. Если, например, факторная переменная возрастет на 1 единицу своего измерения, тогда результативная переменная изменится на b единиц. При моделировании параболой y = a + bx + cx ² изменение факторного признака X на 1 единицу измерения влечет отклонение результативного показателя примерно на (b +2 cx) единиц. В случае модели гиперболы повышение факторной переменной на 1 единицу измерения по отношению к своему среднему значению влечет изменение результативной переменной на единиц. Во всех трех случаях выше свободный член a показывает усредненное влияние неучтенных факторов и частичное влияние фактора X в той мере, в какой он коррелирует с другими факторами. При моделировании степенной функцией y = a · x^b (a, b >0) увеличение факторной переменной X на 1% влечет увеличение результативной примерно на b %. При моделировании с помощью показательной функции y = a · b^x (a, b >0) рост факторного признака на 1 единицу измерения увеличивает зависимый показатель Y в b раз. Таким образом, число b является коэффициентом роста, а в процентах выражает темп роста. Здесь свободный член a есть начальное значение фактора Y (при x =0), которое может расти в заданном темпе. Частным случаем показательной функции является экспонента y = exp (a + bx), которая при b >0 показывает, что повышение факторной переменной на ∆ x единиц измерения приводит к увеличению результативной переменной в exp (b ∆ x) раз. Устойчивость параметров регрессионных моделей по отношению к изменению факторного и зависимого признаков изучается в [1, гл. 12]. В частности, показано, что в случае линейной модели большей устойчивостью характеризуется коэффициент при x по сравнению со свободным членом a. Отметим, что конкретная интерпретация регрессионных коэффициентов может изменяться во времени и пространстве. Изменение количества наблюдений и видов зависимостей влечет изменение параметров регрессии. Без точного понимания аналитического смысла регрессионных коэффициентов невозможно уяснить их настоящего экономико-статистического содержания.