Тема 1. Сущность экономико-математического моделирования

Тема 7. Моделирование динамики экономических показателей адаптивными методами

 

Если процесс имеет малую инерционность, то информативность уровней ряда по мере их удаления от периода прогнозирования склонна снижаться, так что наиболее ценную информацию будут содержать последние периоды. В этой связи представляют интерес современные адаптивные методы прогнозирования, где учитывается информационная ценность уровней ряда с определенными весомыми коэффициентами [13]. Цель адаптивных методов заключается в построении самокорректирующихся в условиях изменений экономико-математических моделей. Такие модели предназначены, прежде всего, для краткосрочного прогнозирования. При этом прогнозная модель – это модель, аппроксимирующая тренд. Здесь прогнозы – это значения будущих членов временного ряда, а последовательность прогнозов { y_{t +τ} } (τ=1,2,…, k) составляет оценку тренда для периодов упреждения длиной τ.

У истоков адаптивного направления в прогнозировании лежит построение моделей экспоненциального сглаживания, в основе которого лежит расчет экспоненциальных средних по рекуррентной формуле:, где S_t –значение экспоненциальной средней в момент времени t; { y_t }, t =1, …, T – исходный динамический ряд; α – параметр сглаживания, α= const, 0<α<1. В 60-х годах Р.Г.Брауном и Р.Ф.Майером были разработаны полиномиальные модели прогнозирования на основе многократного экспоненциального сглаживания. Авторами принимается гипотеза, что исследуемый временной ряд { y_t }, t =1,…, T является многочленом n -го порядка, а прогноз вперед на глубину «τ» выражается формулой где – параметры модели, которые необходимо рассчитать в результате многократного применения к исходному ряду оператора сглаживания: где p =1,2,…, n; – начальные значения экспоненциальных средних соответствующего порядка, как правило, их берут или равными значению первого уровня ряда, или равными средней арифметической нескольких первых членов ряда. Предполагается, что прогнозирующий полином представляет собой сумму (n +1) членов разложения в ряд Тейлора процесса { y_t }:. Доказывается, что коэффициенты прогнозирующего полинома связаны с экспоненциальными средними матричными уравнениями: где матрица M =(m_ik), i =1,…, n; k =0,1,… n;

b _{1, t}

b _{2, t}

S_t =; b_t = – вектор коэффициентов в

b_{n +1, t}

 

разложении Тейлора. Из матричного уравнения находят коэффициенты прогнозирующего полинома. На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка.

В том случае, когда в окрестности точки t = T детерминированная составляющая временного ряда близка к постоянной, применяют аппарат однократного экспоненциального сглаживания и прогноз определяется по формуле:. Такая модель отображает динамику в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, её называют «наивной» («будет, как было»). Доверительный интервал прогноза получают по формуле:, где – средняя квадратичная ошибка аппроксимации исходного ряда,; – значение t -критерия Стьюдента с уровнем значимости p и числом степеней свободы (T -1); α – параметр сглаживания.

Если в окрестности точки T детерминированная составляющая линейная, то применяют двойное экспоненциальное сглаживание и точечный прогноз осуществляют по формуле:. Границы доверительного интервала прогноза следующие:.

Если в окрестности точки T траектория динамики ряда близка к параболе, то строят трехпараметрическую адаптивную модель прогнозирования в виде квадратичного полинома:. Границы доверительного интервала прогнозных значений вычисляют по формуле, где – значение t -критерия Стьюдента с числом степеней свободы (n -1) и уровнем значимости 0,05.

Ниже, следуя [15, с. 311-318] представлены основные этапы построения линейной адаптивной модели и полиномиальной модели второго порядка.

Пример расчета линейной адаптивной модели прогнозирования процентной ставки кредитных организаций

Ниже рассматривается динамический ряд значений средних процентных ставок кредитных организаций России по краткосрочным кредитам в долларах США (% годовых). Данные показатели играют важную роль в финансовой сфере деятельности предприятий, а так же реальных физических лиц. С точки зрения экономистов увеличение процентной ставки на кредиты может привести к росту инфляции, ибо при этом деньги становятся дешевле (обесцениваются). Так что научно-обоснованный прогноз таких процентных ставок имеет важное значение в управлении экономикой.

Таблица 8

Ставки по краткосрочным кредитам нефинансовым организациям

 

Год	Квартал	Условное обозначение времени – t	Процентная ставка нефинансовым организациям –
2000	I	1	12,2
	II	2	12,133
	III	3	11,666
	IV	4	11,766
2001	I	5	13,133
	II	6	11
	III	7	11,333
	IV	8	10,766
2002	I	9	10,666
	II	10	10,366
	III	11	10,566
	IV	12	10,266
2003	I	13	11,366
	II	14	9
	III	15	8,8
	IV	16	8,666
2004	I	17	8,8
	II	18	7,666
	III	19	8,166
	IV	20	8,4
2005	I	21	7,866
	II	22	8,6
	III	23	9,033
	IV	24	8,833
2006	I	25	8,633
	II	26	8,366
	III	27	8,566
	IV	28	8,5
2007	I	29	8,733
	II	30	8,866
	III	31	8,4

Источник: Официальный сайт Центрального Банка РФ: http://www.cbr.ru.

 

На первом этапе работы по первым 10 точкам находятся начальные коэффициенты для линейной модели согласно методу наименьших квадратов. Таким образом, строится модель линейной регрессии со следующими статистическими характеристиками: коэффициентом парной корреляции; стандартной ошибкой регрессии; критерием. Согласно таблице определяем значение, где и – количество степеней свободы; – уровень значимости. В данном случае – количество факторов, включенных в модель,,,. Так как, на этом основании при заданном уровне значимости построенная линейная модель является адекватной экспериментальным данным, т. е. признается статистически значимой. Коэффициент линейной корреляции указывает на значимую обратную связь, т. е. с течением времени процентная ставка снижается. Вычисленные коэффициенты линейной модели выбираются в качестве начальных оценок при построении адаптивной модели и корректируются в ходе реализации алгоритма, изложенного выше. При этом используются программные средства Microsoft Excel. Ниже приводится таблица 9, иллюстрирующая алгоритм расчета с параметром сглаживания, соответствующим наименьшей средней относительной ошибке аппроксимации исходного ряда.

Таблица 9

Расчет параметров линейной адаптивной модели

t	y t
0		12,660	-0,210	13,151	13,642	-	-
1	12,200	12,322	-0,233	12,866	13,409	12,450	-0,317
2	12,133	12,112	-0,229	12,646	13,180	12,090	-0,424
3	11,666	11,772	-0,248	12,352	12,931	11,883	-0,117
4	11,766	11,647	-0,227	12,176	12,705	11,524	1,609
5	13,133	12,294	-0,073	12,463	12,632	11,421	-0,421
6	11,000	11,599	-0,182	12,024	12,450	12,221	-0,888
7	11,333	11,374	-0,190	11,817	12,260	11,416	-0,650
8	10,766	10,971	-0,228	11,502	12,032	11,184	-0,518
9	10,666	10,704	-0,234	11,251	11,798	10,743	-0,377
10	10,366	10,417	-0,244	10,985	11,554	10,469	0,097
11	10,566	10,373	-0,208	10,860	11,346	10,173	0,093
12	10,266	10,216	-0,199	10,682	11,147	10,165	1,201
13	11,366	10,705	-0,078	10,887	11,069	10,017	-1,017
14	9,000	9,797	-0,224	10,321	10,844	10,627	-1,827
15	8,800	9,179	-0,294	9,865	10,550	9,573	-0,907
16	8,666	8,773	-0,314	9,505	10,237	8,885	-0,085
17	8,800	8,633	-0,283	9,293	9,954	8,460	-0,794
18	7,666	8,001	-0,345	8,805	9,609	8,350	-0,184
19	8,166	7,916	-0,299	8,613	9,310	7,657	0,743
20	8,400	8,017	-0,228	8,549	9,082	7,618	0,248
21	7,866	7,828	-0,221	8,344	8,861	7,788	0,812
22	8,600	8,113	-0,132	8,421	8,729	7,607	1,426
23	9,033	8,518	-0,037	8,605	8,692	7,981	0,852
24	8,833	8,660	-0,006	8,673	8,686	8,480	0,153
25	8,633	8,644	-0,007	8,661	8,679	8,655	-0,289
26	8,366	8,498	-0,032	8,573	8,647	8,636	-0,070
27	8,566	8,517	-0,023	8,571	8,624	8,467	0,033
28	8,500	8,497	-0,022	8,549	8,602	8,494	0,239
29	8,733	8,607	0,001	8,604	8,602	8,475	0,391
30	8,866	8,739	0,024	8,683	8,627	8,607	-0,207
31	8,400	8,578	-0,009	8,598	8,618	8,763	0,751

 

Здесь t – условное обозначение времени; – фактическое значение процентной ставки; – коэффициенты модели; – экспоненциальные средние; – расчетное значение по модели; – отклонение от фактического значения.

Таким образом, получены следующие значения параметров линейной адаптивной модели: = 8,578; =-0,009. Здесь среднеквадратическая ошибка аппроксимации; средняя относительная ошибка аппроксимации, что составляет 9,9%. Так построена линейная адаптивная модель: (с параметром сглаживания).

Для выбора лучшей модели была вычислена средняя относительная ошибка аппроксимации для различных параметров сглаживания, результаты расчета приведены в таблице 10.

Таблица 10

Значения (,) для линейной модели

0,1	13,3
0,2	10,7
0,3	9,95
0,4	10,0
0,5	10,9
0,6	11,7
0,7	12,9
0,8	14,2
0,9	15,7

 

В ряде случаев экономико-математические модели прогнозирования могут быть полезным инструментом исследования. При этом, конечно, для увеличения точности прогнозов экономического развития в изменяющихся условиях, в условиях неопределенности или неполной информации необходима работа по совершенствованию моделей. Важную роль в этом должны сыграть адаптивные методы прогнозирования. Отличие адаптивных моделей от других прогностических моделей состоит в том, что они отражают текущие свойства ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов.

 

Литература

 

1. Гришин А.Ф., Кочерова Е.В. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб. пособ. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416 с.

2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. – М.: Дело, 2003. – 520 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 368 с.

4. Тьюки Дж. У. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ. Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 695 с.

5. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 612 с.

6. Швырков В.В. Тайна традиционной статистики Запада. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 144 с.

7. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 480 с.

8. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. – М.: Высш. школа, 1991. – 399 с.

9. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA. – М.: Информатика и компьютеры, 1999. – 341 с.

10. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография. – Киев: Санспарель, 2005. – 504 с.

11. Математический энциклопедический словарь/под ред. Ю.В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 845 с.

12. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособ. – М.: «Дашков и К°», 2005. – 400 с.

13. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособ. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.

14. Домбровский В.В. Эконометрика: Учебник. – М.: Новый учебник, 2004. – 342 с.

15. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособ. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

 

 

Тема 1. Сущность экономико-математического моделирования

 

Изучение экономических связей и зависимостей нужно доводить до количественного выражения, то есть, в итоге они должны быть представлены в математической форме. Критерием завершенности исследования статистико-экономической связи является конкретное математическое выражение, моделирующее ее.

В последнее время широкое распространение в научных исследованиях получило математическое моделирование. Под моделированием понимают «воспроизведение или имитацию поведения какой-либо реально существующей системы на специально построенном ее аналоге или модели» [1, с. 18]. Моделирование основано на принципе аналогии и дает возможность исследовать объект, трудно доступный для изучения, не непосредственно, а с помощью рассмотрения другого, сходного с ним и более доступного объекта, в качестве которого и выступает построенная модель. Модель – это «логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса (обычно рассматриваемых как системы или элементы системы)» [2, с. 204]. Исходя из свойств модели можно характеризовать особенности изучаемого объекта, но не все, а только те, которые аналогичны и в модели, и в объекте и при этом важны для исследования (эти свойства называют существенными).

Выделяют следующие типы подобия между моделируемым объектом и его моделью [2, с. 204]:

- физическое – когда объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу;

- структурное – при сходстве между структурой объекта и структурой модели;

- функциональное – с точки зрения выполнения объектом и моделью сходных функций при соответствующих воздействиях;

- динамическое – между последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели;

- вероятностное – между процессом вероятностного характера в объекте и модели;

- геометрическое – между пространственными характеристиками объекта и модели.

В соответствии с вышеприведенной классификацией различают и типы моделей. Модели могут иметь различную природу: бывают материальные (или вещественные), знаковые (графические, аналитические). Даже словесное описание можно рассматривать в качестве модели объекта.

В управлении экономическими процессами важное значение имеет применение экономико-математических моделей. Экономико-математическая модель – это «концентрированное выражение в математической форме наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей процесса формирования экономической системы» [1, с. 18].

Необходимость построения и применения математических моделей в экономике объясняется следующими причинами [14, с. 6-7]:

1. Процесс построения математической модели дает возможность систематизировать сложные взаимосвязанные факторы, выявить существенные и несущественные для изучения процесса параметры и связи.

2. Математическое описание позволяет для каждого исследуемого фактора найти соответствующий символ (переменную) и установить взаимосвязь и взаимовлияние одних переменных на другие.

3. В отличие от вербальной (или словесной), математическая модель позволяет описать процесс компактно, в виде набора математических соотношений, без учета несущественных деталей, и определить строгие правила поведения переменных, характеризующих процесс.

4. В ходе построения математической модели информация упорядочивается, определяется ее необходимый объем и степень значимости.

5. Математическая модель формирует основу для количественного анализа поведения объекта через проведение численного эксперимента, что дает возможность выяснить вероятные альтернативные сценарии поведения объекта и количественно оценить последствия, к которым приведет их реализация. Это в особенности важно при изучении систем, для которых невозможен натурный эксперимент; к таким системам относятся и экономические явления и процессы. При этом значительно увеличивается число сценариев, которые удается исследовать.

6. Математическая модель позволяет качественно изучить поведение реального объекта. Построив модель, ее можно исследовать, пользуясь правилами математики, абстрагируясь при этом от самого реального объекта. Это абстрагирование может дать новые, нетривиальные знания о моделируемом объекте.

7. Математическое моделирование может быть использовано как инструмент оценки влияния на объект скрытых, латентных факторов.

8. Создание математической модели служит основой для эффективного применения современных информационных технологий. Потребность в них объясняется сложностью используемых моделей, необходимостью сбора и анализа больших массивов данных, сложностью вычислительных процессов.

При построении моделей следует избегать ряда типичных недостатков: включения в модель несущественных переменных, либо невключения существенных; недостаточно точной оценки параметров модели; неправильного определения функциональной зависимости и т.п. Для построения более точной и подробной модели может потребоваться ее усложнение, что не всегда оправдывается возросшими трудностями расчетов. С другой стороны, при упрощении модели может иметь место снижение ее достоверности.

Возможности применения экономико-математического моделирования весьма широки, хотя не стоит и переоценивать его значение. Как правило, моделирование советуют использовать как вспомогательное средство, в то время как окончательное решение всегда должно оставаться за специалистом.