Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение производной.

Пусть функция  определена в окрестности точки . Дадим аргументу  некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Тогда при значении аргумента  будем иметь . Найдем приращение функции:

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции  в точке  и обозначают .

Таким образом, по определению

(*)

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, операция вычисления производной функции называется дифференцированием.

Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной:

1. ; , т.е. .

2. ;

3. ;

Геометрический смысл производной

Проведем секущую  к графику функции . Если , то  и  т.е. секущая S будет стремиться к положению касательной K. Так как , то , т.е. производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке .

2.3. Уравнение касательной и нормали

       K: .

                    Проведем к касательной К через точку  перпендикулярную

N

                        прямую, которую назовем нормалью и обозначим её N.  Т.к. ,

то угловые коэффициенты этих прямых находятся в отношении  или , тогда уравнение нормали запишется так:

N: .

  

Механический смысл производной

 

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t – мгновенная скорость:

.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Теорема 1. Функция , имеющая производную в точке , непрерывна в этой точке.

Доказательство: Так как , то по теореме о связи между функцией и ее пределом имеем , где  при . Но если , то и , т.е. , а это значит, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции – определение непрерывности функции в терминах приращений.

y

Обратная теорема неверна, т.е. непрерывная функция в точке  может не иметь в ней производной.

x

Пример.    

                                                                                                                          Рис.2

Решение:

– в точке  не существует, т.к. левый предел не равен правому пределу и график в этой точке не имеет касательной.

Правила дифференцирования

Теорема 2. Если функции  и  дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функции , , , при этом:

1. ;

2. ;

3. .

Следствие. Если функция дифференцируема в точке x, а С – const, то   .

Найти производные функций  и , пользуясь теоремой 2.

1. ;

Итак, .

2. .

Итак, .

 

Таблица производных

 

На практике часто приходится находить производные сложных функций, поэтому заменим в таблице аргумент x на промежуточный аргумент , который является функцией от x: 

1. , С – const;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

 

8. ;

9.

10.

11. ;

12. .

 

Производные высших порядков

Вторая производная

 

Пусть функция  имеет производную во всех точках интервала . Если функция  дифференцируема в точке , то её производную называют второй производной или производной второго порядка функции  в точке  и обозначают , , , , , .

Таким образом, по определению

.

Пример. Найти .

1. . Пусть , где , тогда , отсюда .

2. .  Пусть , где , тогда , отсюда .

Дифференциал функции

Пусть функция  дифференцируема в точке x, т.е. . Тогда, по теореме о связи между функцией и её пределом, можно записать , где  при , или . Таким образом, приращение функции  представляет собой сумму двух слагаемых  и , которые являются бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , т.к. , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

.

Произведение , представляющее главную часть приращения функции, линейную относительно , называют дифференциалом функции и обозначают  или :

                                                     .                                                          (*)

Найдем дифференциал функции ; в этом случае ,

и, следовательно,  или . Таким образом, дифференциал  независимой переменной x совпадает с её приращением . В этом случае формулу (*) можно записать так:

                                          .                              (**)

Из этого соотношения следует, что

.

Следовательно, производную  можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение производной.

Пусть функция  определена в окрестности точки . Дадим аргументу  некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Тогда при значении аргумента  будем иметь . Найдем приращение функции:

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции  в точке  и обозначают .

Таким образом, по определению

(*)

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, операция вычисления производной функции называется дифференцированием.

Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной:

1. ; , т.е. .

2. ;

3. ;