Метод параллельного переноса. Построить трапецию по четырём сторонам.

 

Задача 1.

Построить трапецию по четырём сторонам.

 

И д е я. Произвести параллельный перенос боковой стороны трапеции.

У к а з а н и е. После параллельного переноса боко- вой стороны трапеции получится треугольник, ко- торый легко построить по трём сторонам.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны стороны трапеции BC = a, AB = b, CD = c, AD = d. Перенесём боковую сторону b вдоль основания a, получим параллелограмм ABCA.

−

Отрезок A D = d a. Следовательно, треугольник A CD можно построить по трём сторонам. Для того, чтобы получить точки A и B, достаточно перенести отрезок A C вдоль прямой A D на расстояние, равное a.

 

 

Задача 2.

Между двумя окружностями провести отрезок, делящийся пополам в данной точ- ке A.

 

И д е я. Предположить, что искомый отрезок построен, и воспользоваться парал- лельным переносом.

У к а з а н и е. Рассмотреть окружности с центрами O и O. Пусть XY – искомый отрезок. Продолжить XO до X и перенести первую окружность так, чтобы X совместилась с Y.

Указ ани е. Так как XY Y X – параллелограмм с диагональю XY, то точка

A – её середина.

 

Р е ш е н и е. Рассмотрим окружности с центрами O и O. Пусть XY – искомый отрезок. Продолжим XO до X и перене- сём первую окружность так, чтобы X сов- местилась с Y. Получим параллелограмм XY Y X с диагональю XY, серединой ко- торой будет точка A.

Для решения задачи надо перенести первую окружность вдоль прямой OA на расстояние OO = 2 OA. Проведя прямую через полученную точку пересечения Y и точку A, найдём точку X.

Задача может иметь одно, два или ни одного решения.

 

 

Задача 3.

Построить треугольник, зная m _a, m _c и ∠(m _b, a).

И д е я. Предположить, что треугольник построен, и провести дополнительное построение.

У к а з а н и е. Пусть даны медианы AN = m _a и CK = m _c треугольника ABC и угол MBC = α. Пусть медианы пересекаются в точке O. Достроить Δ BOC до параллелограмма BOCA.

3

3

У к а з а н и е. Сначала построить треугольник Δ OBA. Для этого на отрезке OA = ² m _a отметить середину N и получить вершину B как точку пересече- ния двух дуг: дуги, опирающейся на отрезок ON и вмещающей угол α, и дуги, проведённой из точки A радиусом ² m _c.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны медианы AN = m _a и CK = m _c треугольника ABC и угол MBC = α. Пусть медианы пересекаются в точке O. Достроим Δ BOC до параллелограмма BOCA.

Общая последовательность действий такова.

1)

3

3

Сначала построим треугольник OBA. Для этого на отрезке OA = ² m _a отметим середину N и получим вершину B как точку пересечения двух дуг: дуги, опирающейся на отрезок ON и вмещающей угол α, и дуги, проведённой из точ- ки A радиусом ² m _c.

²⁾ Вершину A получим, отложив на прямой OA

отрезок OA = OA.

3) Вершину C получим, отложив на прямой BN

отрезок NC = NB.

 

 

Задача 4.

Через точку A внутри угла провести прямую так, чтобы отрезок, заключённый между сторо- нами, делился точкой A пополам.

 

И д е я. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Ук азани е. Отложить на прямой OA отрезок AB = OA. Через точку B провести прямые, па- раллельные сторонам угла.

 

Р е ш е н и е. Отложим на прямой OA отрезок AB = OA. Через точку B проведём прямые, параллельные сторонам угла. Получим параллелограмм OCBD.

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то

CA = AD. Следовательно, CD – искомая прямая.

 

 

Задача 5.

Построить трапецию, зная диагонали, угол между ними и одну из боковых сторон.

 

И д е я. Использовать параллельный перенос од- ной из диагоналей трапеции.

У к а з а н и е. Пусть даны длины диагоналей AC и BD и длина боковой стороны CD. Перене- сти диагональ BD в отрезок CE вдоль основа- ния BC.

У к а з а н и е. Треугольник ACE легко постро- ить по двум сторонам и углу между ними.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны длины диагоналей AC и BD и длина боковой стороны

CD. Перенесём диагональ BD в отрезок CE вдоль основания BC.

В треугольнике ACE боковые стороны равны диагоналям трапеции, а угол ACE равен углу между диагоналями. Следовательно, этот треугольник мы можем построить. Для того чтобы найти вершину D, надо сделать засечку циркулем из C на прямой AE радиусом, равным длине боковой стороны CD. После этого, достроив Δ CDE до параллелограмма, получим вершину B.

 

 

Задача 6.

Построить четырёхугольник, зная две диагонали, две противолежащие стороны и угол между ними.

И д е я. Использовать параллельный перенос одной из диагоналей четырёхуголь- ника.

−

У к а з а н и е. Пусть даны стороны AB = a, CD = c, угол между ними ∠ AC D = α и две диагонали четырёхугольника. Тогда ∠ B C D = π α. Достроить Δ ABC до параллелограмма ABXC.

У к а з а н и е. Треугольник XCD можно по- строить по двум сторонам и углу между ними. У к а з а н и е. Треугольник BDX легко по- строить по трём сторонам.

Р е ш е н и е. Пусть даны стороны AB = a, CD = c, угол между этими сторонами

−

∠ AC D = α и две диагонали четырёхугольни- ка. Тогда ∠ B C D = π α. Достроим Δ ABC до параллелограмма ABXC.

−

Тогда CX = a и ∠ XCD = ∠ B C D = π α. Следовательно, Δ XCD мы можем построить по двум сторонам и углу между ними. Посколь-

ку отрезки BX и BD равны диагоналям тра- пеции, мы можем построить Δ BDX по трём сторонам. Так получим вершину B. Достро- ив Δ BCX до параллелограмма, найдём вер- шину A.

 

 

Задача 7.

Через данную точку M провести прямую так, чтобы разность расстояний до неё от двух данных точек A и B была равна данной длине.

И д е я. Предположить, что прямая проведена, опустить на неё перпендикуляры из данных точек и использовать параллельный перенос.

Указ ани е. Пусть A и B – основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B на искомую прямую. Перенести отрезок A B параллельно в отрезок AC. У к а з а н и е. Прямоугольный треугольник ABC легко построить по гипотенузе AB и катету CB, равному данной в условии задачи разности расстояний.

 

Ре ше ни е. Пусть A и B – основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B на искомую прямую. Перене- сём отрезок A B параллельно в отрезок AC.

Треугольник ABC является прямоугольным с извест- ной гипотенузой AB и катетом CB, равным данной в условии задачи разности расстояний.

Для того чтобы построить нужную прямую, надо сна- чала построить треугольник ABC по катету и гипотенузе, а потом провести через точку M прямую, параллельную отрезку AC.

 

 

Задача 8.

В данный остроугольный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диа- гональю (одна сторона прямоугольника лежит на основании треугольника).

 

И д е я. Вершину треугольника перенести параллельно основанию так, чтобы по- лучился прямоугольный треугольник.

У к а з а н и е. Пусть в треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN. Перене- сти вершину C параллельно AB так, чтобы треугольник ABC был прямоуголь- ным. Так как LL = KK, прямоугольник KLMN при этом перейдёт в равный ему прямоугольник K L M A.

У к а з а н и е. Диагональ прямоугольника K L M A будет принимать минималь- ное значение в случае, когда AL ⊥ BC.

Р е ш е н и е. Пусть в треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN. Перенесём вершину C параллельно AB так, чтобы треугольник ABC был прямоугольным. Так как LL = KK, пря- моугольник KLMN при этом перейдёт в равный ему прямоугольник K L M A.

Диагональ прямоугольника K L M A будет принимать минимальное значение в случае, ко-

гда AL ⊥

BC. То есть в Δ ABC надо про-

 

вести AL ⊥ BC и построить прямоугольник

K L M A с такой диагональю. Этот прямоуголь-

ник и будет искомым прямоугольником.

Осталось совершить обратный параллельный перенос прямоугольника вдоль AB на расстоя- ние L L.

 

 

Задача 9.

Даны три параллельные прямые. Провести через данную точку секущую так, что- бы разность отрезков между параллелями была равна заданной величине.

 

И д е я. Использовать методы симметрии и параллельного переноса.

 

У к а з а н и е. Пусть даны прямые m n k, точка A и отрезок d, равный разно- сти отрезков между параллелями. Провести прямую m, симметричную прямой m относительно n.

−

У к а з а н и е. Пусть секущая пересекает параллельные прямые в точках M, N, M, K. Из равенства отрезков MN = M N следует, что KM   = KN MN, то есть является разностью отрезков секущей.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны прямые m n k, точка A и отрезок d, равный разно- сти отрезков между параллелями. Проведём прямую m, симметричную прямой m относительно n. Пусть секущая пересекает параллельные прямые в точках M, N, M ,K.

−

Из равенства отрезков MN = M N следу- ет, что KM = KN MN, то есть является разностью отрезков секущей.

В целом построение выглядит так: снача- ла строим m, потом из произвольной точки K прямой k делаем засечку на m радиусом, равным d. Так мы получим точку M. Оста- лось провести через данную точку A прямую, параллельную построенной секущей.

 

Задача 10.

Построить трапецию ABCD, зная боковую сторону CD, угол между диагоналя- ми, расстояние между параллельными сторонами и отрезок, соединяющий сере- дины боковых сторон.

 

И д е я. Пусть трапеция построена. Перенести диагональ BD в отрезок CE па- раллельно вдоль основания BC.

У к а з а н и е. Треугольник ACE можно построить по основанию, высоте и из- вестному углу.

 

Р е ш е н и е. Пусть нам дана высота трапеции, длина средней линии и длина бо- ковой стороны CD. Перенесём диагональ BD в отрезок CE параллельно вдоль основания BC.

Рассмотрим треугольник ACE. Так как средняя линия трапеции равна полу- сумме оснований, отрезок AE равен двум средним линиям, угол ACE равен углу между диагоналями, а высота Δ ACE рав- на высоте трапеции. Следовательно, этот треугольник мы можем построить по осно- ванию, высоте и известному углу. Для того чтобы найти вершину D, надо сделать за-

сечку циркулем из C на прямой AE радиусом, равным длине боковой стороны

CD. После этого, достроив Δ CDE до параллелограмма, получим вершину B.

 

 

Задача 11.

Построить треугольник по b, c и m _a.

 

И д е я. Использовать вспомогательное построение: достроить треугольник до па- раллелограмма.

У к а з а н и е. Предположить, что треугольник ABC с данными сторонами AC = b, AB = c и медианой AM = m _a построен. Отложить точку A на прямой AM так, что M A = AM.

У к а з а н и е. Построить Δ ABA по трём известным сторонам.

 

Р е ш е н и е. Рассмотрим треугольник ABC с данными сторонами AC = b, AB = c и медианой AM = m _a. От- ложим точку A на прямой AM так, что M A = AM. Четырёхугольник ABA C будет параллелограммом со сторонами, равными b и c, и диагональю AA = 2 m _a. Для построения Δ ABC надо сначала построить Δ ABA по трём известным сторонам, а потом, достро-

ив его до параллелограмма, получить вершину C.

 

 

Задача 12.

Построить четырёхугольник, зная его стороны и отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон.

 

И д е я. Использовать вспомогатель- ный параллелограмм, стороны кото- рого параллельны и равны диагона- лям искомого четырёхугольника.

Ук азани е. Пусть ABCD – иско- мый четырёхугольник, а точки X и Y взяты таким образом, что четы- рёхугольники ABXC и ACY D яв- ляются параллелограммами. Цель – построить вспомогательный парал- лелограмм BXY D, а потом восста- новить четырёхугольник ABCD.

У к а з а н и е. Построить Δ BCY по трём сторонам.

У к а з а н и е. Построить Δ CXD по медиане и двум сторонам.

 

Ре ше ни е. Пусть ABCD – искомый четырёхугольник, а точки X и Y взяты таким образом, что четырёхугольники ABXC и ACY D являются параллелограм- мами. Наша цель – построить вспомогательный параллелограмм BXY D, а потом восстановить четырёхугольник ABCD.

 

В теоретической части было показано, что диагонали параллелограмма BXY D

вдвое больше средних линий исходного четырёхугольника.

Рассмотрим Δ BCY. У него стороны BC и CY (CY = AD) равны сторонам исходного четырёхугольника, а сторона BY вдвое больше отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD. Следовательно, Δ BCY мы можем построить по трём сторонам.

Теперь построим точки X и D. Обозначим через E середину стороны BY и рассмотрим Δ CXD. Точки C и E уже построены. То есть в Δ CXD дана медиана и стороны CX (CX = AB)и CD, которые равны данным в условии задачи сторо- нам четырёхугольника. Построив Δ CXD по медиане и двум сторонам (см. пред. задачу), мы определим точки X и D. А достроив Δ BCX до параллелограмма, получим вершину A.

 

 

Задача 13.

Построить четырёхугольник, зная четыре его стороны и угол между двумя про- тивоположными сторонами.

 

И д е я. Использовать вспомогательный параллелограмм, стороны которого па- раллельны и равны диагоналям искомого четырёхугольника.

У к а з а н и е. Построить сначала вспомогательный параллелограмм BXY D, сто- роны которого параллельны и равны диагоналям искомого четырёхугольника ABCD.

У к а з а н и е. Построить Δ CXD по двум сторонам и углу между ними.

У к а з а н и е. Построить Δ BCY по медиане CE и двум сторонам BC и CY.

 

Р е ш е н и е. Построим сначала вспомогательный параллелограмм BXY D, сто- роны которого параллельны и равны диагоналям искомого четырёхугольника ABCD.

Угол XCD равен углу меж- ду прямыми, содержащими сторо- ны AB и CD (см. теоретическую часть). Следовательно, в Δ CXD стороны CX (CX = AB) и CD равны сторонам исходного  четырёх-

угольника и ∠ XCD известен. По- строив Δ CXD, мы определим точ- ки X и D. Для того чтобы постро-

ить точки B и Y, построим Δ BCY по медиане CE и двум сторонам BC и CY (CY = AD), которые равны сторонам четырёхугольника ABCD. Достроив Δ BCX до парал- лелограмма, получим вершину A.

532                                                                                   Указания и решения

Задача 14.

Построить биссектрису угла, вершина которого недоступна.

 

И д е я. Предположить, что биссектриса построена, и провести из любой точки биссектрисы две прямые, параллельные сторонам угла.

У к а з а н и е. Расстояния от построенных прямых до соответствующих сторон уг- ла будут одинаковыми.

 

Р е ш е н и е. Пусть стороны угла лежат на прямых k и n, пересекающихся в точке O. Через точку O, лежащую на биссектрисе m, проведём прямые, параллельные сторо- нам угла.

В силу равенства углов при параллель- ных прямых биссектрисой построенного угла будет также прямая m. Отметим, что расстояния между параллельными прямы- ми будут равными.

Следовательно, если вершина O недо- ступна, то надо провести две прямые на

равном расстоянии от сторон исходного угла и для угла с уже доступной верши- ной построить биссектрису.

 

 

Задача 15.

Даны две точки A и B и между ними две параллели m и n. Провести между этими параллелями в данном направлении отрезок CD так, чтобы сумма AC +

+ CD + BD была минимальной.

 

И д е я. Использовать параллельный перенос от- резка CD.

У к а з а н и е. Пусть отрезок CD с концами на параллелях m и n проведён в заданном на- правлении. Перенести его параллельно в отрезок C B, тогда

AC + CD + BD = AC + CC + BC .

Р е ш е н и е. Пусть отрезок CD с концами на па- раллелях m и n проведён в заданном направле- нии. Перенесём его параллельно в отрезок C B, тогда

AC + CD + BD = AC + CC + BC .

Следовательно, задача свелась к отысканию на прямой m точки C такой, что сумма AC + CC минимальна. Значит, в качестве точки C надо взять точку пересечения прямой m с отрезком AC.

 

 

Задача 16.

На окружности даны две точки A и B. В данном направлении провести хорду

XY так, чтобы сумма хорд AX и BY была равна заданной величине.

 

И д е я. Провести хорду AA параллельно заданному в условии направлению и использовать метод симметрии и спрямления для нахождения точки Y.

У к а з а н и е. Надо построить точку Y такую, что BY + Y A имеет заданную длину, а эта зада- ча была решена в предыдущем разделе методом симметрии и спрямления.

 

Ре ш е н и е. Пусть X, Y – искомые точки. Про- ведём хорду AA в заданном в условии направ- лении. Отрезок A Y = AX, так как у вписанной трапеции AA YX боковые стороны равны.

Итак, всё свелось к построению точки Y та- кой, что BY + Y A имеет заданную длину, а эта задача была решена нами в предыдущем разделе методом симметрии и спрямления.

 

Задача 17.                          

Построить прямоугольник с данной стороной так, чтобы его стороны проходили через четыре заданные точки.

 

И д е я. Пусть прямоугольник построен. Проанализировать, что нам известно.

У к а з а н и е. Пусть даны точки A, B, C, D и отрезок длины a. Рассмотреть пер- пендикуляр AH, опущенный из точки A на противоположную сторону искомого прямоугольника.

У к а з а н и е. Треугольник ACH можно построить по известной гипотенузе AC

и катету AH = a.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны точки A, B, C, D и от- резок длины a. Рассмотрим перпендикуляр AH, опущенный из точки A на противоположную сторону искомого прямоугольника.

Треугольник ACH мы можем построить по известной гипотенузе AC и катету AH = a. Для того чтобы построить искомый прямоугольник, надо через точки D и B провести прямые, па- раллельные AH, а через A и C – прямые, парал- лельные HC. Точки пересечения этих прямых и будут вершинами искомого прямоугольника.

 

 

Задача 18.

Даны две окружности и прямая. Провести параллельно этой прямой секущую, отсекающую в окружностях хорды, сумма которых равна заданному отрезку дли- ны s.

 

И д е я. Предположить, что искомая прямая проведена, и провести параллельный перенос одной из окружностей.

У к а з а н и е. Рассмотрим две окружности с центрами O ₁ и O ₂ и прямую   m.

Пусть AD m и AB + CD = s. Перенести вторую окружность так, что хорда CD

перейдёт в хорду BE.

Ук азани е. Пусть P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точек

O ₁  и   O 2 

на прямую AD. Отрезок PQ = s/ 2.

Р е ш е н и е. Рассмотрим две окружности с центрами O ₁ и O ₂ и прямую m. Пусть AD m и AB + CD = s. Перенесём вторую окружность так, что хорда CD перейдёт в хорду BE.

Пусть P и Q – основания перпендику-

ляров, опущенных из точек O ₁ и O 2 на прямую AD. Отрезок PQ = s/ 2.

В целом построение выглядит следую- щем образом. Проведём через O ₂ прямую параллельно m и через O ₁ прямую пер-

пендикулярно   m. Так мы найдём точку   H. Отложив от неё отрезок   H O 2 

 

= s/ 2,

получим центр перенесённой окружности O 2. Эта окружность пересечёт первую окружность в точке B. В результате осталось провести прямую через B парал- лельно прямой m.

 

Метод подобия

Задача 1.             

Построить треугольник по двум уг- лам и высоте, проведённой из третье- го угла.

 

И д е я. Построить треугольник, по- добный искомому.

У к а з а н и е. По двум данным углам построить Δ A B C.

Р е ш е н и е. Сначала по двум дан- ным углам построим Δ A B C.

Для того чтобы построить искомый треугольник A BC с высотой h _a, доста- точно в треугольнике A B C на прямой, содержащей высоту A H , отложить отрезок A H = h _a и через точку H провести прямую BC, параллельную B C .

Задача 2.

Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через заданную внутри него точку.

 

И д е я. Построить вспомогательную окружность с центром O, касающуюся сто- рон угла.

У к а з а н и е. Соединить вершину угла S с заданной точкой A.

 

Р е ш е н и е. Построим вспомогательную окружность с центром O, касающуюся сторон угла.

 

Соединим вершину угла S с заданной точкой A. Пусть A — точка пересечения прямой SA с окружностью. Проведём через A прямую параллельно отрезку A O. Она пересечёт луч SO в точке O – центре искомой окружности.

З а м е ч а н и е. Если через A обозначить вторую точку пересечения прямой SA со вспомогательной окружностью, то, действуя аналогично, получим вторую окружность, проходящую через точку A и касающуюся сторон угла.

 

 

Задача 3.

∈                    ∈                      ∈

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 6, AC = 7. Построить точку S BC, точку Q AC и точку P AB так, чтобы треугольник SQP был равносторонним.

 

И д е я. Построить треугольник (со вписанным в него равносторонним треуголь- ником), подобный данному, а потом с помощью гомотетии преобразовать вписан- ный треугольник в искомый.

Указ ани е. Вписать в угол A равносторонний Δ P Q S.

 

Р е ш е н и е. На сторонах угла A возьмём произвольно точки P , Q и построим равносторонний Δ P Q S. Если точка S попала на сторону BC, то наша задача выполнена. Если нет, то проведём прямую через точку S параллельно BC. Пусть B ,C – точки пересечения этой прямой с лучами AB и AC соответственно.

 

Заметим, что треугольники ABC и

AB C подобны с коэффициентом по-

AB

добия k =

 

AB

, поэтому если мы

применим гомотетию с этим коэффи-

∈

циентом с центром в точке A, то Δ AB C перейдёт в Δ ABC, а вписан- ный в него равносторонний треуголь- ник S Q P перейдёт в искомый тре- угольник SQP. Для того чтобы по- строить точку P AB, достаточно отложить от точки A отрезок длины

·

AP AB

AB

(это мы умеем делать). Ана-

логично строятся точки Q и S.

 

 

Задача 4.

В данный треугольник вписать квадрат.

 

И д е я. Построить вспомогательный квадрат и воспользоваться преобразованием гомотетии.

У к а з а н и е. Пусть дан треугольник KLM. Построить вспомогательный квадрат

∈         ∈

ABCD такой, что A, B     KM, D  KL. Ук азани е. Провести прямую KC до пересечения со стороной ML.

 

∈

∈

⊥                 ⊥

⊥

Р е ш е н и е. Пусть дан треугольник KLM. Построим вспомогательный квад- рат ABCD такой, что   A, B     KM, D KL. Проведём прямую KC, она пересечёт сторону ML в точ- ке C. Далее проведём B C KM, C D B C и D A D C. Четырёх- угольники ABCD и A B C D подоб- ны (один получается из другого с помо- щью гомотетии с центром в точке K), следовательно, A B C D также явля- ется квадратом.

 

 

Задача 5.

Построить треугольник по α, β, r.

 

И д е я. Вписать окружность данного радиуса в треугольник, подобный данному. У к а з а н и е. По двум данным углам построить Δ A BC, подобный искомому. В угол B вписать окружность данного радиуса.

 

⊥

Р е ш е н и е. По двум данным углам построим Δ A BC, подобный искомому. В угол B впишем окружность данного радиуса. Из центра O опу- стим перпендикуляр OH на сторону A C, на ко- тором отложим OH = r. Через точку H проведём AC OH. Полученный треугольник ABC удовле- творяет заданным условиям.

З а м е ч а н и е. Задача решается аналогичным обра- зом, если вместо угла α задано отношение сторон a и c.

 

 

Задача 6.

Через данную точку провести прямую, отсекающую от двух данных окружностей хорды, пропорциональные их радиусам.

И д е я. Использовать свойства центра подобия окружностей.

У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что любая секущая, проведённая через центр подобия окружностей, отсекает от окружностей хорды, пропорциональные ради- усам.

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что любая секущая, проведённая через центр подобия окружностей, пересекает окружности таким образом, что треугольники ABO и A B O являются гомотетическими. Проведём через центр подобия S и данную точку P прямую. Из подобия треугольников ABO и A B O следует про- порциональность соответствующих отрезков.

 

 

Задача 7.

Дан угол ABC и точка M внутри него. Найти на стороне BC точку X, равно- удалённую от AB и точки M.

И д е я. Использовать преобразование гомотетии.

∈

У к а з а н и е. Из произвольной точки X       BC опустить перпендикуляр X Y на прямую AB и отметить на луче BM точку M такую, что X M = X Y.

У к а з а н и е. Провести через точку M прямую, параллельную прямой M X.

 

∈

Р е ш е н и е. Из произвольной точки X BC опустим перпендикуляр X Y на прямую AB и отметим на луче BM точку M такую, что X M = X Y. Те- перь проведём через точку M прямую, параллельную прямой M X, и полу- чим искомую точку X. Треугольник MXY (где Y – основание перпендику- ляра, опущенного из X на AB) гомо- тетичен треугольнику M X Y и, сле- довательно, также является равнобед- ренным.

З а м е ч а н и е. Задача решается аналогичным образом, если вместо перпендику- ляра XY требуется провести отрезок, образующий с AB заданный угол и нахо- дящийся в известном отношении к MX.

 

 

Задача 8.

Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Провести прямую, пересекающую отрезок AC в точке X, а отрезок BC в точке Y таким образом, что AX = XY = Y B.

И д е я. Построить четырёхугольник, подобный четырёхугольнику AXY B.

У к а з а н и е. На стороне AC отложить отрезок AX произвольной длины d, а на стороне BC – отрезок BY   = AX = d. Провести окружность с центром в X радиусом d и прямую через Y параллельно AB. Пусть Y – точка их пересечения. Провести через неё прямую параллельно BC и получить точки B и C.

У к а з а н и е. Четырёхугольник AX Y B (AX = X Y = Y B = d) подобен искомому.

 

Р е ш е н и е. Построим четырёхугольник, подобный искомому четырёхугольнику AXY B. На стороне AC отложим отрезок AX произвольной длины d, а на сто- роне BC – отрезок BY = AX = d. Проведем окружность с центром в X радиу- сом d и прямую через Y параллельно AB. Пусть Y – точка их пересечения. Про- ведём через неё прямую параллельно BC, получим точки B и C. Треугольник

 

AB C подобен Δ ABC, а четырёхугольник AX Y B (AX = X Y = Y B = d) подобен искомому.