Метод симметрии и спрямления. Построить треугольник, зная P, α и h a .

 

Задача 1.

Построить треугольник, зная P, α и h _a.

И д е я. Развернуть треугольник на прямую.

У к а з а н и е. Пусть треугольник ABC уже построен. На прямой BC отложить отрезки BB = AB и CC = AC.

Ук азани е. Δ AB C легко построить по стороне, противолежащему углу и вы- соте.

Р е ш е н и е. Пусть треугольник ABC уже построен. На прямой BC отложим отрезки BB = AB и CC = AC.

 

 

Треугольники BB A и CC A равнобедренные с углами при основании соот-

β

ветственно

2

и γ. Следовательно, у треугольника AB C сторона B C = P и

2

∠ B AC = π     β  γ = π + α.

− 2 − 2    2  2

Таким образом, для того чтобы построить Δ ABC, сначала нам надо построить

Δ AB C по стороне, противолежащему углу и высоте.

Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекут B C в точках

B и C.

Задача 2.

Даны две окружности и между ними прямая. Начертить равносторонний тре- угольник так, чтобы две его вершины были на окружностях, а одна из высот лежала на данной прямой.

 

И д е я. Отразить одну из окружностей относительно прямой.

У к а з а н и е. Точка пересечения окружностей – одна из вершин искомого тре- угольника.

Р е ш е н и е. Пусть даны окружности с центрами O ₁ и O ₂ и прямая m. Отразим первую окружность относительно прямой. Пусть A – точка пересечения отражён- ной окружности со второй окружностью, а B – симметричная ей точка на первой окружности.

 

Теперь отметим на прямой m точку C так, чтобы AC = AB. Треугольник

ABC будет равносторонним, и его высота будет лежать на m.

В зависимости от числа точек пересечения окружностей задача может иметь одно, два или ни одного решения.

 

 

Задача 3.

Дана прямая m и две точки A и B по одну сторону от неё. Найти на m такую точку X, чтобы AX составлял с m угол, вдвое больший, чем BX.

И д е я. Построить окружность, касающуюся прямой m с центром в точке B.

 

У к а з а н и е. Отразить построенную ок- ружность относительно прямой m и про- вести к отражённой окружности касатель- ную через точку A.

 

Р е ш е н и е. Построим окружность, каса- ющуюся прямой m с центром в точке B. Отразим еёотносительно прямой m и про- ведём к отражённой окружности касатель- ную через точку A.

Точка пересечения этой касательной с прямой m и есть искомая точка (см. рису- нок).

 

 

Задача 4.

Внутри угла даны точки A и B. Построить равнобедренный треугольник, осно- вание которого лежит на одной стороне угла, вершина – на другой, а боковые стороны проходят через точки A и B.

 

И д е я. Отразить точку A симметрично относительно прямой OM в точку A  , где O – вершина угла, а M – вершина искомого равнобедренного треугольника. Ук азани е. Выразить ∠ A MB через величину данного угла.

 

Ре ше ни е. Пусть O – вершина данного угла α, MH – высота искомого треуголь- ника. Отразим точку A относительно пря- мой OM, получим A. Имеем

2

∠ A MB = 2∠ OMH = 2 π   − α = π − 2 α.

−

Следовательно, для того чтобы опреде- лить вершину M, надо найти точку пе- ресечения дуги, опирающейся на отрезок A B и вмещающей угол π 2 α, со сторо- ной данного угла.

 

 

Задача 5.

Дана прямая AB и две окружности, лежащие по одну сторону от прямой. Найти на прямой AB точку, касательные из которой составляют с этой прямой равные углы.

 

И д е я. Отразить одну из окружностей относительно прямой AB.

У к а з а н и е. Провести внутреннюю касательную ко второй окружности и отра- жённой окружности.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны окружности с центрами O ₁ и O ₂ и прямая AB. Рас- смотрим отражение первой окружности относительно прямой AB. Внутренняя касательная к окружностям с  центра-

ми   O 1 и   O ₂  пересечет  прямую   AB

в точке X. Обозначим через M, N, N

точки касания окружностей с центрами

O ₂, O ₁, O 1 

с касательными, проведённы-

ми из точки X.

Заметим, что ∠ NXB = ∠ N XB, как симметричные, и ∠ MXA = ∠ N XB, как вертикальные. Следовательно, точка X

есть искомая точка.

 

 

Задача 6.

Точки A и B расположены между параллельными прямыми m и n. Постройте точки M ∈ m, N ∈ n так, чтобы длина ломаной AM NB была наименьшей.

И д е я. Отразить точки A и B относи- тельно прямых m и n соответственно.

У к а з а н и е. Соединить получившиеся точки A и B.

Р е ш е н и е. Рассмотрим A – отражение относительно m точки A и B – отражение относительно n точки B.

Ломаные AM NB и A MNB имеют одинаковую длину. Эта длина принимает своё минимальное значение в случае, когда точки M и N лежат на отрезке A B. Сле- довательно, искомые M и N суть точки пе- ресечения прямых m и n с отрезком A B.

 

 

Задача 7.

В данную окружность вписать прямоугольник, зная разность основания и высоты.

 

И д е я. Диагональ прямоугольника является диамет- ром окружности.

У к а з а н и е. Отложить на большей стороне прямо- угольника известную разность сторон.

 

Р е ш е н и е. Рассмотрим прямоугольник ABCD, впи- санный в окружность. Отметим на AB точку C та- кую, что BC = BC.

 

Треугольник BCC равнобедренный с углами при

−

основании 45^◦. Следовательно, ∠ AC C = 180^◦ 45^◦ = 135^◦ и треугольник AC C можно построить по сторонам AC (равна 2 R), AC (равна данной в условии разности) и углу ∠ AC C = 135^◦.

Точку B можно получить как точку пересечения прямой AC с окружностью,

а вершину D как точку, симметричную B относительно центра окружности.

 

 

Задача 8.

Построить треугольник по стороне, прилежащему углу и разности остальных сто- рон.

 

И д е я. Предположить, что искомый треугольник построен, и проанализировать данные.

У к а з а н и е. Отложить на большей из двух неизвестных сторон отрезок, равный меньшей стороне.

 

Р е ш е н и е. Пусть требуемый треугольник ABC построен по известной стороне AB = c, углу A, равному α, и разности двух других сторон, равной b − a. Отложим на стороне CA отрезок CC, равный CB. Тогда AC = b − a. Треугольник ABC легко построить по сторонам c, b − a и углу между ними α.

 

Так как треугольник BCC равнобедренный, точку C можно найти как точку пересечения серединного перпендикуляра к BC с прямой AC.

 

 

Задача 9.

Построить четырёхугольник ABCD, зная его стороны, если диагональ AC делит угол A пополам.

 

И д е я. Отразить вершину D относительно прямой AC.

У к а з а н и е. Треугольник BCD легко построить по трём сторонам.

 

Р е ш е н и е. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Так как ∠ CAD = ∠ CAB, то D (от- ражение точки D относительно AC) будет лежать на прямой AB. В треугольнике BCD

стороны

BC,  CD = CD,    BD = AB − AD

выражаются через данные стороны четырёх- угольника. Следовательно, мы можем постро- ить его по трём сторонам.

Вершину A можно получить, отложив от B на прямой BD отрезок, равный BA. Вер- шина D есть отражение D относительно прямой AC.

 

 

Задача 10.

Найти сумму перпендикуляров, опущенных на стороны равнобедренного треугольника из точки, взятой на основании.

 

И д е я. Отразить основание одного из пер- пендикуляров относительно основания.

У к а з а н и е. Показать, что искомая сумма равна высоте, проведённой к боковой стороне треугольника.

Ре ш е н и е. Пусть DM и DN – перпенди- куляры, опущенные на боковые стороны из точки D. Рассмотрим M – отражение точ- ки M относительно основания AC. Из равен- ства углов ∠ M AD = ∠ M AD = ∠ NCD сле-

дует параллельность прямых AM BC.

Так как M D и DN перпендикулярны па- раллельным прямым, точки M ,D и N ле- жат на одной прямой и их сумма равна рас- стоянию между этими прямыми.

В результате сумма DM + DN = DM + DN равна расстоянию от точки A до стороны BC, то есть высоте, проведённой к боковой стороне треугольника.

 

 

Задача 11.

Найти сумму перпендикуляров, опущенных из точки, взятой внутри равносторон- него треугольника, на его стороны.

 

И д е я. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

 

У к а з а н и е. Провести через точку, из которой опущены перпендикуляры, прямую, параллельную одной из сторон треугольника.

 

Р е ш е н и е. Пусть даны равносторонний треуголь- ник ABC и точка D внутри него. Обозначим че- рез M, N, K основания перпендикуляров, опущен- ных из D на стороны AB, BC, AC.

Проведём через D отрезок A C AC. Соглас- но утверждению предыдущей задачи,

DM + DN = BH ,

где BH – одна из равных высот равностороннего треугольника Δ A BC.

Так как DK = H H, то

DM + DN + DK = BH + H H = BH,

то есть сумма перпендикуляров из точки внутри равностороннего треугольника равна высоте исходного треугольника.

 

 

Задача 12.

На окружности даны точки A и B. Отыскать на ней точку X такую, что AX + BX = a, где a – заданный отрезок.

 

И д е я. Пусть задача решена и точка X уже най- дена. Отложить на прямой BX отрезок XC = AX.

У к а з а н и е. Треугольник ABC легко построить.

 

Р е ш е н и е. Пусть задача решена и точка X уже найдена. Отложим отрезок XC = AX на прямой BX. Заметим, что угол AXB = α известен как угол, опирающийся на известную дугу. Тогда в рав- нобедренном треугольнике AXC углы при основа-

α

нии равны.

2

Следовательно, треугольник ABC мы можем

построить по основанию AB, противолежащему

α

углу

2

и боковой стороне, равной a. Его сторона

BC пересечёт окружность в искомой точке X.

 

 

Задача 13.

На окружности даны точки A и B. Отыскать на ней точку X такую, что

AX − BX = a, где a – заданный отрезок.

 

И д е я. Пусть задача решена и точка X уже найдена. Отложить на отрезке AX

отрезок XC = BX.

У к а з а н и е. Треугольник ABC легко построить.

 

Р е ш е н и е. Пусть задача решена и точка X уже найдена. Отложим на отрезке AX отре- зок XC = BX. В равнобедренном треугольнике

−

BXC углы при основании равны 90^◦ α  , где

2

угол α = ∠ AXB известен как угол, опирающий-

ся на известную дугу.

Рассмотрим треугольник ABC. У него из- вестны основание AB, сторона AC = a и угол

∠ ACB = 90^◦ + α. Построив треугольник ABC

2

и продолжив его сторону AC до пересечения с

окружностью, мы получим искомую точку X.

 

Задача 14.

Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых равна заданному отрезку.

 

И д е я. Использовать одну из предыдущих задач про сумму расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон.

У к а з а н и е. Отложить от точки пересечения прямых во все четыре стороны отрезки, равные заданному отрезку.

У к а з а н и е. Соединить последовательно получившиеся четыре точки на прямых и показать, что получившийся прямоугольник – искомое ГМТ.

 

Ре ш е н и е. Пусть прямые m и n пере- секаются в точке O. Отметим на прямой m точку A, находящуюся на заданном расстоянии d от прямой n. Отложим от- резки, равные OA, на других лучах, вы- ходящих из O. Получим четыре точки A, B, C и D, которые являются верши- нами четырёх равнобедренных треуголь- ников с общей вершиной O.

Согласно одной из предыдущих за- дач, сумма расстояний от любой точки на основании равнобедренного треуголь- ника до боковых сторон равна высоте, проведённой к боковой стороне. Следова- тельно, искомое ГМТ есть четыре отрез-

ка, являющиеся сторонами прямоугольника ABCD.

 

 

Задача 15.

На данной прямой найти такую точку, что разность расстояний от неё до сторон данного угла равна данному отрезку.

 

И д е я. Провести прямую, параллельную одной из сторон угла и отстоящую от неё на расстоянии, равном длине данного в условии задачи отрезка.

У к а з а н и е. Показать, что биссектриса нового угла пересечёт данную прямую в искомой точке.

 

Р е ш е н и е. Пусть дана прямая m и угол со сторонами k и n. Построим прямую n n на расстоянии d, равном длине дан- ного в условии задачи отрезка. Биссектри- са угла со сторонами k и n пересечёт пря- мую m в искомой точке M.

Действительно, если через K, N и N обозначить основания перпендикуляров на соответствующих прямых, то

MN − MK = MN + N N − MK = N N = d.

Задача 16.

Провести окружность, касающуюся двух данных окружностей, так, чтобы радиу- сы, проведённые из центра искомой окружности к точкам касания, образовывали данный угол.

 

И д е я. Предположить, что искомая окружность уже построена, и проанализиро- вать, что известно.

У к а з а н и е. В треугольнике, вершинами которого являются центры трёх окруж- ностей, известны сторона, угол против этой стороны и разность двух других сто- рон.

У к а з а н и е. Использовать одну из предыдущих задач.

 

Р е ш е н и е. Рассмотрим окружности с цен- трами O ₁, O ₂ и радиусами R ₁, R ₂. Пусть ис- комая окружность с центром O уже построе- на.

−               −

В треугольнике O ₁ O ₂ O известны основа- ние O ₁ O ₂, противолежащий угол α и раз- ность сторон O ₁ O O ₂ O = R ₁ R ₂. Для того чтобы построить этот треугольник, надо на отрезке O ₁ O ₂ построить дугу, вмещающую угол α, а на этой дуге найти точку O такую, что разность получившихся хорд будет равна

R ₁ − R ₂. А такую задачу мы умеем решать (см. одну из предыдущих задач).

 

 

Задача 17.

Построить равнобедренный треугольник, зная его бо- ковую сторону a и сумму высоты с основанием s.

 

И д е я. Отложить от основания высоты BD на её продолжении отрезок DE, равный основанию AC треугольника.

У к а з а н и е. Треугольник BCE легко построить по

1

двум сторонам и углу, равному arctg.

2

Ре ш е н и е. Пусть в Δ ABC с высотой BD стороны AB = BC = a, BD + AC = s. Отложим на продол- жении BD отрезок DE = AC. Так как DE = 2 DC, то tg ∠ DEC = 1 / 2.

Для того чтобы построить треугольник ABC, сна-

чала построим отрезок BE = s, отложим от него угол

1

α = arctg

, потом на стороне этого угла сделаем за-

2

сечку из точки B радиусом a. Так мы получим точ-

ку C. Вершину A можно получить как отражение точки C относительно прямой BE.

 

 

Задача 18.

Построить треугольник по a, m _b + b и ∠(m _b, b).

И д е я. Отложить от основания медианы BD на её продолжении отрезок DE, равный стороне AC треугольника.

Указ ани е. Зная угол ∠(m _b, b), легко построить угол DEC.

У к а з а н и е. Треугольник BCE легко построить по двум сторонам и углу BEC.

 

Ре ше ни е. Пусть в Δ ABC с медианой BD сторона BC = a, BD + AC = s. Отложим на продолжении BD отрезок DE = AC.

−

Определим углы α = ∠ DEC и β = ∠ DCE в треугольнике DEC. Для этого на одной стороне угла O, равного 180^◦ ∠(m _b, b), отложим отрезок произвольной длины z, на другой – отрезок длины 2 z. Углы напротив сторон длины z и 2 z будут равны α и β.

Итак, для построения треугольника ABC сначала надо построить отрезок BE = s, потом отложить от него угол α и на стороне этого угла сделать засечку из точки B радиусом a. Из полученной точки C под углом β к EC проведём луч. Он пересечёт BE в точке D. Отложив AD = DC, найдём вершину A.

 

 

Задача 19.

Построить треугольник по b, c и β − γ.

И д е я. Рассмотреть треугольник, симметричный данному, с общей третьей сто- роной.

Ук азани е. Пусть в Δ ABC стороны AC = b,   AB = c. Рассмотреть Δ A BC, симметричный исходному, со сторонами A B = b,                                               A C = c.

У к а з а н и е. Треугольник AA B легко построить по двум сторонам и углу между ними.

 

Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике ABC стороны AC = b, AB = c. Рассмотрим Δ A BC, симметричный исходному, со сто- ронами A B = b, A C = c. В треугольни- ке AA B получаем AB = c, A B = b и

−

∠ ABA = β γ.

Следовательно, треугольник AA B мы

можем построить по двум сторонам и углу между ними. Для того чтобы построить вер-

шину C, проведём через B прямую параллельно AA и отложим на ней C так, что AC = b.