Поняття про рівняння лінії. Рівняння кола. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

Рівняння F(x;y)=0 називається рівнянням деякої лінії L в заданій системі координат, якщо цьому рівнянню задовольняють координати (х;у) будь-якої точки, яка лежить на лінії L і не задовольняють координати ніякої точки, що не лежить на цій лінії.

Рівняння кола. Рівнянням лініїна площині в декартових координатах називається рівняння з двома невідомими х та у, яке задовольняють координати довільної точки цієї лінії і тільки вони.

Рівняння прямої. Довільна пряма в декартових координатах х0у має рівняння виду Ах + Ву+ С=0, яке називають загальним рівнянням прямої. у=кх + в - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кутовий коефіцієнт к у рівнянні прямої дорівнює тангенсу гострого кута, який утворює пряма з віссю 0х.

Умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами. Нехай прямі l i l₁ задано, відповідно, рівняннями у=кх + в та у=к₁х + в₁.

Щоб прямі l i l₁ були паралельні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівні: l||l₁ тоді і тільки тоді к = к₁.

Для того, щоб прямі l та l₁були взаємно перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були обернені за величиною і протилежні за знаком.

7. Загальне рівняння прямої. Точка перетину двох прямих.

Довільна пряма L в декартовій системі координат х0у має рівняння виду Ах+Ву+С - загальне рівняння прямої. Якщо в цьому рівнянні коефіцієнт при у відмінний від нуля (В не = 0), то у = -А/Вх – С/В. Позначивши -А/В=k; -С/В=b, одержимо y=kx+b – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кутовий коефіцієнт k у рівнянні прямої дорівнює тангенсу гострого кута, який утворює пряма з віссю 0x. Точка перетину двох прямих належить одночасно двом прямим, тому її координати повинні задовольняти рівняння обох прямих, тобто, бути розв’язком відповідної системи рівнянь. Нехай прямі L і L₁ є розв’язком системи

Ax+By+C =0

A₁x+B₁x+C₁=0

Ця система може мати єдиний розв’язок (прямі перетинаються), не мати розв’язків (прямі паралельні), мати безліч розв’язків (прямі суміщаються).

 

8. Відповідності між елементами двох множин. Способи задання відповідностей.

Бінарною відповідністю а між елементами множини А і В називається будь-яка підмножина декартового добутку А*В

Приклад  А= {2,4,6}, В= {3,5}

а = {(2;3), (2;5)}

a₂ = {(4;3), (4:5), (6;3), (6,5)

Множиною А називають множиною відправлень, а множину В – множиною прибуття.

Способи задання відповідностей:

· Переліком пар

· За допомогою таблиці

· За допомогою графа

· За допомогою графіка

· Характеристичною властивістю

· Рівнянням

Граф відповідності - сукупність точок і стрілок: точками позначають елементи деякої множини, а стрілки вказують, які з елементів множини перебувають у даній відповідності.

Бінарна відповідність між елементами двох числових множин складається з пар чисел, кожну з яких можна зобразити точкою координатної площини і одержати графік даної відповідності.

 

 

9. Бінарні відношення між елементами однієї множини.Відношення обернене та протилежне даному.Властивості бінарних відношень між елементами множини.

Бінарним відношенням α,визначеним у множині М,називають кожну підмножину декартового добутку М × М (α ⊂ M×М). Таким чином відношення – це відповідність,у якій множина відправлень і множина прибуття збігаються. Відношення α^-1  називається оберненим до відношення α. Якщо воно містить ті і тільки ті пари (b;а) для яких (а;b) є: α^-1 ={(b;а) I (a;b)}. Відношення α (заперечення) називається протилежним відношенням α,якщо воно містить ті і тільки ті пари декартового добутку Х× Y,які не належать відношенню α:

 {(a;b)I(a;b) ∈ X ×Y,(a;b) ∉ α}.

Очевидно,що α ∪ α(заперечення) =X×Y, та α ⋂ α(заперечення) = ∅.

Відношення α, визначене у множині М,називають:

· Рефлексивним,якщо кожний елемент множини М знаходиться у цьому відношенні сам з собою:

(∀ a ∈ M) a α a.(відношення «паралельності» прямих, «рівності» є рефлексивним);

2) антирефлексивним,якщо жоден елемент множини М не перебуває у цьому відношенні сам з собою:

(∀ a ∈ M) a α a(заперечення).(відношення «більше», «менше» на числових множинах.

3) симетричним,якщо з того,що елемент а множини М перебуває у даному відношенні α з елементом b випливає,що b також перебуває у відношенні α з а:

 (∀ a,b ∈ M) а α b ⇒ b α а.(відношення «рівності»,паралельності)

4) антисиметричним,якщо з того, що а перебуває у відношенні α з б і навпаки,випливає,що а=b: (∀ a,b ∈ M) а α b∧ b α а⇒ a=b

(відношення «подільності», ≥)

5) асиметричним,якщо з того,що а перебуває у відношенні α з b випливає,що b не перебуває у цьому відношенні з а:

 (∀ a,b ∈ M) а α b⇒ b α а(заперечення). (відношення «більше», «менше»)

6) транзитивним,якщо з того,що а перебуває у відношенні α з b, a b із с випливає

що а перебуває у відношенні α з с: (∀ a,b,с ∈ M) а α b ∧ bас⇒а α с. (відношення «подільності», «паралельності»)

7) зв’язним, якщо з того,що а≠ b випливає, що а перебуває у відношенні α з b або навпаки: (∀ a,b ∈ M) а≠ b⇒ а α b ∨ b α а.(відношення «більше» «менше»