Додатні раціональні і дійсні числа. Вимірювання довжини відрізка, поняття дробу. Рівносильні дроби. Додатне раціональне число. Нескоротний запис раціонального числа.

Раціональним числом називається кожен з класів рівних між собою дробів(а=;;……;;…)
Кажуть, що кожен із дробів класу є зображенням даного раціонального числа. У прикладі зображенням числа а є дроби;;. Серед усіх зображень раціонального числа а існує єдиний нескоротний дріб
Множину додатних раціональних чисел позначають Q_+. Відношення «менше» на множині Q_+. Вводиться таким чином: нехай a,bϵ Q_+., - дроби, що зображують ці числа. Тоді а<b, якщо. Відношення «менше» на множині Q_+. є асиметричним, транзитивним і зв’язним.
Ірраціональним числом називається нескінченний неперіодичний десятковий дріб. Множину додатних ірраціональних чисел позначають І.
Множиною додатних дійсних чисел R ₊ називають об’єднання множин додатних ірраціональних чисел Q_+. і додатних ірраціональних чисел І₊ , тобто R₊= Q₊∪ I₊
З означення множин додатних дійсних чисел випливає, що її можна розглядати як множину нескінченних десяткових дробів, відмінних від 0, 000… та періодичних з періодом 9.
  Вимірювання деякої величини – це порівняння величини даного роду з певною величиною даного роду, взятою за одиницю вимірювання, і вираження результату порівняння числом.
Довжиною відрізка називається додатна величина, визначена для кожного відрізка так, що існує відрізок, довжина якого дорівнює одиниці; рівні відрізки мають рівні довжини; якщо відрізок складаються із скінченного числа відрізків, що не мають спільних внутрішніх точок, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків;
Процес вимірювання довжини відрізка полягає у послідовному відкладанні одиничного відрізка його частин на даному відрізку, довжину якого ми вимірюємо. Спільною мірою двох даних відрізків називають такий третій відрізок, який вкладається ціле число раз у кожному з даних відрізків. Два відрізка, що мають спільну міру, називають суміжними. Якщо спільної міри даних двох відрізків не існує, то вони називаються несумірними.
 Символ, у якому p, n - натуральні числа, називають дробом з чисельником p і знаменником n.
Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити на довільне натуральне число, або поділити на їхній спільний дільник, то одержимо дріб, що дріб, що дорівнює даному. Дріб у якого чисельник і знаменник взаємно прості, називається нескоротним.
Кожному, ставиться у відповідність, сумірному з одиничним відрізком відрізку дріб, за яким можна однозначно визначити цей відрізок, причому кожному класу рівних дробів ставиться у відповідність клас рівних відрізків. Отже, клас рівних дробів можна розглядати, як новий вид числа. Клас рівних дробів називається додатним раціональним числом, а кожний з його дробів – записом або зображенням додатного раціонального числа.
Оскільки кожний клас рівних дробів містить нескінченну множину дробів, то кожне додатне раціональне число має безліч зображень, серед яких виділяється єдине нескоротне зображення, тобто зображення у вигляді нескоротного дробу. Твердження "додатне раціональне число a має своїм зображенням дріб " символічно записується a=.

 

35. Операції над додатними раціональними числами: додавання, віднімання, ділення, множення. Закони цих операцій.
Сумою a + b називається додатне раціональне число, що зображується дробом. Сума будь-яких
додатних раціональних чисел існує і єдина.
  Закони додавання:
1) комутативний: (∀a,b∈Q₊) a+b=b+a
2) асоціативний: (∀a,b,c∈Q₊)a+(b+c)=(a+b)+c
3) монотонності:(∀a,b,c∈Q₊)a=b⟹a+c=b+c
4) скоротності:(∀a,b,c∈Q₊)a+c=b+c⟹a=b
Операція віднімання вводиться як обернена до операції додавання.
Різницею додатних раціональних чисел a і b називається додатне раціональне число c=a-b, якщо a=c+b
Число а називають зменшуваним, b – від’ємником, а операцію відшукування різниці – відніманням. Різниця чисел a,b∈Q₊ існує тоді і тільки тоді, коли a>b.
Добутком a*b називається додатне раціональне число, що зображується дробом. Числа a i b називають множниками, операцію знаходження добутку – множенням. Для будь-яких додатних раціональних чисел добуток існує і єдиний.
Закони множення:
1) комутативний: (∀a,b∈Q) a*b=b*a
2) асоціативний: (∀a,b,c∈Q₊) a*(b*c)=(a*b)*c
3) монотонності: (∀a,b,c∈Q₊) a=b⟹a*c=b*c
4) скоротності: (∀a,b,c∈Q₊)a*c=b*c⟹a=b
5) дистрибутивний відносно додавання: (∀a,b,c∈Q₊) a*(b+c)=a*b+a*c
Часткою додатних раціональних чисел a I b називається таке додатне раціональне число c=a:b, що a=dc*b. Число а називається діленим, b- дільником,а операція знаходження частки – діленням. Для будь-яких додатних раціональних чисел a I b існує, причому єдина частка.