Бесконечные пределы в конечной точке

 

Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки а, имеет в этой точке бесконечный предел и пишут , если .

В этом случае функцию  называют бесконечно большой при .

y

Геометрический смысл: График функции   для всех  лежит вне горизонтальной полосы .

Пример. Найти пределы функции  при .                                             

Решение.

x

;    .

        

                                                                                                                         Рис.4                                                                                                                          

Конечный предел в бесконечности

 

Говорят, что число А есть предел функции  при   и пишут .

Пример. Найти пределы функции  при . (см. рис.4)

Решение. ; .

Бесконечный предел в бесконечности

Говорят, что функция   имеет бесконечный предел при   и пишут .

y

Пример. Найти предел функции   при .

 

Решение.

x

 

                                                                                                                        Рис.5

Замечание 1. ; .

Замечание 2. Не всякая функция при будет иметь конечный или бесконечный предел. Например, функции  и   никакого предела не имеют.

Бесконечно малые функции. Теоремы о бесконечно малых.

 

Определение. Если , то функция  называется бесконечно малой при   (или просто бесконечно малой).

Примеры

1. Функция  является бесконечно малой при .

2. Функция  является бесконечно малой при .

3. Функция  является бесконечно малой при .

На «языке »: функция  является бесконечно малой при   тогда и только тогда, когда .

Замечание. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бесконечно малой функцией (б.м.ф. или б.м.).

Теорема 2.1. Если  – б.м. при , то  – бесконечно большая при . Обратно: если  – бесконечно большая при , то  – бесконечно малая при

Пример. Функция  является бесконечно малой при , а функция – бесконечно большой при .

Теорема 2.2.   Сумма бесконечно малых при   функций есть функция бесконечно малая.

Теорема 2.3. Произведение бесконечно малой при  на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть функция бесконечно малая при .

Следствие 1. Если  и  – бесконечно малые при   функции, то  – бесконечно малая при  функция.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой при  функции на постоянное число есть бесконечно малая при   функция.

Теорема 2.4. Частное от деления бесконечно малой при  функции на функцию, имеющую конечный предел, есть функция бесконечно малая при , т.е.  –  бесконечно малая, где .

2.2.  Связь между функцией и ее пределом.

 

Теорема 2.5. Если функция  имеет конечный предел в точке , то она может быть представлена в виде суммы своего предела и бесконечно малой при , т.е. если , то , где  – б.м. при .

Обратная теорема 2.6.

Если функция  может быть представлена в виде суммы постоянного числа А и некоторой б.м. при , то она имеет пределом число А  при .

 

Теоремы о пределах.

Теорема 2.7. Пусть функции  и  имеют конечные пределы в точке , причем

1. .

2. .

3.    при .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел целой положительной степени равен степени от предела:

.

Примеры.

1. .

2. .

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел (см. выше замечание 2 п.1.5). Во многих вопросах математического анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В этих случаях пользуются признаками существования предела.

 

Теорема 2.8 (о пределе промежуточной функции). Пусть функции ,  и  определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, может быть, точки а, и функции  и  имеют в точке а предел, равный А, т.е.

. Пусть, кроме того, выполняются неравенства . Тогда

.