Односторонние конечные пределы

Предел функции

Предел функции в точке

Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки.

Определение. - окрестностью точки a называется интервал длины  с центром в точке a, т.е. множество .

Если из интервала удалить точку a, то получим множество, называемое проколотой окрестностью точки a, обозначается: .

Пример. Исследуем функцию  в окрестности точки . Функция определена для всех .

 

                                                    Рис.1

Из рис.1 видно, что значения функции близки к 2, если значения x близки к 1. В этом случае говорят, что функция стремится к 2, если x стремится к 1, и пишут:

Определение предела по Коши («на языке »):

Число А называется пределом функции  в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, точки a, и для каждого  найдется такое  что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Коротко: .

Или, используя понятие окрестности: .

Геометрический смысл предела функции: , если для любой - окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, что для всех  из этой окрестности соответствующие значения функции  не выйдут за пределы полосы, ограниченной прямыми , .

y

A

a

x

Рис.2

Односторонние конечные пределы

Число  называется пределом функции  справа в точке x, если .

Аналогично, число  называется пределом функции  слева в точке x, если .

Числа  и  характеризуют поведение функции в левой и правой полуокрестностях точки а, их называют односторонними пределами.

Пределы функции справа и слева в точке а можно обозначать   и соответственно.

x

Пример.

, , .                       

                                                                                                      Рис.3

Теорема 1. Функция  имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны между собой, т.е.:

.

 

Бесконечные пределы в конечной точке

 

Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точки а, имеет в этой точке бесконечный предел и пишут , если .

В этом случае функцию  называют бесконечно большой при .

y

Геометрический смысл: График функции   для всех  лежит вне горизонтальной полосы .

Пример. Найти пределы функции  при .                                             

Решение.

x

;    .

        

                                                                                                                         Рис.4                                                                                                                          

Конечный предел в бесконечности

 

Говорят, что число А есть предел функции  при   и пишут .

Пример. Найти пределы функции  при . (см. рис.4)

Решение. ; .

Бесконечный предел в бесконечности

Говорят, что функция   имеет бесконечный предел при   и пишут .

y

Пример. Найти предел функции   при .

 

Решение.

x

 

                                                                                                                        Рис.5

Замечание 1. ; .

Замечание 2. Не всякая функция при будет иметь конечный или бесконечный предел. Например, функции  и   никакого предела не имеют.

Примеры

1. Функция  является бесконечно малой при .

2. Функция  является бесконечно малой при .

3. Функция  является бесконечно малой при .

На «языке »: функция  является бесконечно малой при   тогда и только тогда, когда .

Замечание. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бесконечно малой функцией (б.м.ф. или б.м.).

Теорема 2.1. Если  – б.м. при , то  – бесконечно большая при . Обратно: если  – бесконечно большая при , то  – бесконечно малая при

Пример. Функция  является бесконечно малой при , а функция – бесконечно большой при .

Теорема 2.2.   Сумма бесконечно малых при   функций есть функция бесконечно малая.

Теорема 2.3. Произведение бесконечно малой при  на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть функция бесконечно малая при .

Следствие 1. Если  и  – бесконечно малые при   функции, то  – бесконечно малая при  функция.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой при  функции на постоянное число есть бесконечно малая при   функция.

Теорема 2.4. Частное от деления бесконечно малой при  функции на функцию, имеющую конечный предел, есть функция бесконечно малая при , т.е.  –  бесконечно малая, где .

2.2.  Связь между функцией и ее пределом.

 

Теорема 2.5. Если функция  имеет конечный предел в точке , то она может быть представлена в виде суммы своего предела и бесконечно малой при , т.е. если , то , где  – б.м. при .

Обратная теорема 2.6.

Если функция  может быть представлена в виде суммы постоянного числа А и некоторой б.м. при , то она имеет пределом число А  при .

 

Теоремы о пределах.

Теорема 2.7. Пусть функции  и  имеют конечные пределы в точке , причем

1. .

2. .

3.    при .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел целой положительной степени равен степени от предела:

.

Примеры.

1. .

2. .

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел (см. выше замечание 2 п.1.5). Во многих вопросах математического анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В этих случаях пользуются признаками существования предела.

 

Теорема 2.8 (о пределе промежуточной функции). Пусть функции ,  и  определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, может быть, точки а, и функции  и  имеют в точке а предел, равный А, т.е.

. Пусть, кроме того, выполняются неравенства . Тогда

.

Второй замечательный предел

; .

Пример. Найти .

Непрерывность функций

Точки разрыва

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 4.3. Точка а называется точкой разрыва функции , если эта функция либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в этой точке. 

Следовательно, а – точка разрыва функции , если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

1. ;

2. ;

3. .

Определение 4.4. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е. , . При этом:

1. если , то а – точка неустранимого разрыва, величина называется скачком функции в точке разрыва первого рода;

2. если , то а – точка устранимого разрыва. Полагая , получим функцию, непрерывную в точке а и совпадающую с  при :

В этом случае говорят, что функция доопределена по непрерывности в точке а.

Определение 4.5. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y

Примеры. Найти точки разрыва функций, исследовать их

характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по

3

непрерывности.

1.

x

; ;

 – точка разрыва первого рода (скачок), (рис.9).        Рис.9                                                                                          

y

1

2. ;  – точка устранимого разрыва первого рода, (рис.10).

x

. Доопределим эту функцию по непрерывности,

                                                                                                              

                                                                                                                                  Рис. 10

y

получим функцию                                                                

x

3. ; – точка разрыва второго рода, (рис.11) т.к.

.                                                                                    Рис.11                                                                 

Предел функции

Предел функции в точке

Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки.

Определение. - окрестностью точки a называется интервал длины  с центром в точке a, т.е. множество .

Если из интервала удалить точку a, то получим множество, называемое проколотой окрестностью точки a, обозначается: .

Пример. Исследуем функцию  в окрестности точки . Функция определена для всех .

 

                                                    Рис.1

Из рис.1 видно, что значения функции близки к 2, если значения x близки к 1. В этом случае говорят, что функция стремится к 2, если x стремится к 1, и пишут:

Определение предела по Коши («на языке »):

Число А называется пределом функции  в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, точки a, и для каждого  найдется такое  что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Коротко: .

Или, используя понятие окрестности: .

Геометрический смысл предела функции: , если для любой - окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, что для всех  из этой окрестности соответствующие значения функции  не выйдут за пределы полосы, ограниченной прямыми , .

y

A

a

x

Рис.2

Односторонние конечные пределы

Число  называется пределом функции  справа в точке x, если .

Аналогично, число  называется пределом функции  слева в точке x, если .

Числа  и  характеризуют поведение функции в левой и правой полуокрестностях точки а, их называют односторонними пределами.

Пределы функции справа и слева в точке а можно обозначать   и соответственно.

x

Пример.

, , .                       

                                                                                                      Рис.3

Теорема 1. Функция  имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны между собой, т.е.:

.