Цепи переменного синусоидального тока

 

Основные потребители электроэнергии предприятий стройиндустрии используют переменное напряжение, форма которого меняется по синусоидальному закону. Синусоидальная величина (см. рис.8) описывается функцией вида а=A _m sin(ω t+φ). Величина А _m называется амплитудой, ω –угловой частотой, а φ – начальной фазой, показывающей положение синусоидальной величины относительно точки, с которой начинается анализ процесса). Величина (ω t+φ) определяет положение точки, описывающей положение синусоидальной величиной в пространстве и времени, и называется фазой.

Рис. 8. Графики синусоидальных величин

 

На рис. 8 приведены графики (временные диаграммы) двух синусоидальных величин u₁=U_м1sin(ωt+φ₁) и u₂=U_м2sin(ωt+φ₂), имеющих одинаковую частоту. Величина Δφ= (ωt+φ₁)-(ωt+φ₂)=φ₁-φ₂ называется сдвигом фаз между двумя величинами.

В цепи переменного тока используются нагрузки (потребители) трех типов: активная, индуктивная и емкостная. Активная нагрузка представляет собой активное сопротивление. В ней вся подводимая от источника мощность (энергия) необратимо преобразуется в другие виды энергии. Ее величина зависит от параметров проводника, образующего это сопротивление. Индуктивное сопротивление определяется процессом создания в проводнике магнитного поля, для концентрации которого проводник скручивается в катушку, называемую катушкой индуктивности. Емкостное сопротивление определяется процессом концентрации электрического поля в конденсаторе. Величина индуктивного и емкостного сопротивлений зависит как от параметров катушки индуктивности и конденсатора, так и от частоты переменного тока в них. Электрическая энергия, подводимая к ним, хранится кратковременно, потом возвращается обратно в источник. Такая энергия называется реактивной. Элементы, в которых используется реактивная энергия, – реактивными сопротивлениями.

В катушке индуктивности напряжение опережает ток на угол 90˚, так как для создания в ней переменного тока необходимо преодолеть наводимую э.д.с. В конденсаторе ток опережает напряжение на тот же угол 90˚, потому что напряжение в нем появляется только после его зарядки, для чего требуется его переместить, то есть пропустить ток.

Синусоидальные величины можно изображать векторами. Величина вектора синусоидальной величины равна ее амплитудному значению, а расположение на плоскости определяется начальной фазой. Начальную фазу обычно отсчитывают от горизонтальной оси координат. Если принять, что вектор U_м вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то его проекция на вертикальную ось Y будет описываться синусоидальной функцией u=U_мsin(ωt+φ).

При построении векторной диаграммы электрической цепи следует отложить на одной плоскости вектора всех величин (токов, напряжений, э.д.с. и пр.) с учетом их взаимного расположения (начальных фаз). Рекомендуется (если начальные фазы отдельных величин не заданы), первой откладывать вектор той величины, которая является общей для большинства элементов цепи.

При соединении активных и реактивных сопротивлений фазовые сдвиги между токами и напряжениями в отдельных сопротивлениях остаются прежними, но при этом меняются фазовые сдвиги между токами и напряжениями в отдельных ветвях цепи и в источнике. Если ток в цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости меняется по закону i = I_msin (ω t) (он одинаков во всех элементах цепи), то на напряжение на активном сопротивлении имеет вид u_R = I_mRsin (ω t +φ), на индуктивном – u_L = I_mX_Lsin (ω t +π/2), а на емкости – u _с = I_mX _С sin (ω t -π/2). Закон Ома соответственно может быть записан: U_R = I_mR, U_L = I_mX_L, U _с = I_mX _С.

При построении векторной диаграммы может оказаться, что:

ü ток совпадает по фазе с напряжением, если индуктивное и емкостное сопротивления равны.

ü ток опережает напряжение, что может быть в случае, когда емкостное сопротивление больше индуктивного, цепь имеет емкостной характер.

ü ток отстает от напряжения, если индуктивное сопротивление больше емкостного, и цепь имеет индуктивный характер.

Векторная диаграмма для такой цепи, если индуктивное сопротивление больше емкостного, имеет вид (см. рис. 9). Для определения результата влияния напряжений на отдельных последовательно соединенных элементах цепи на общее напряжение вектора соответствующих напряжений складываются геометрически.

 

Рис. 9. Векторная диаграмма цепи

 

В зависимости от соотношения величин сопротивлений индуктивности и емкости, фазовый сдвиг между полным током и напряжением может быть либо положительным, когда индуктивное сопротивление больше емкостного и цепь носит индуктивный характер, либо отрицательным, когда индуктивное сопротивление меньше емкостного и цепь имеет емкостной характер. Фазовый сдвиг принято отсчитывать от того параметра, который является общим для всей цепи (в данном случае, это общий ток).

Если индуктивное и емкостное сопротивления равны, то влияние индуктивности компенсируется влиянием емкости, ток и напряжение источника совпадают по фазе, фазовый сдвиг окажется равным нулю, как и на активном сопротивлении. Для источника напряжения цепь ведет себя так же, как если бы в ней было включено только активное сопротивление. Говорят, что цепь имеет активный характер.

Треугольник, образованный векторами U_R, U_L + U_C, U, называют треугольником напряжений (рис.10,а). Если стороны треугольника напряжений умножить на ток в цепи, то получится подобный ему треугольник мощностей (рис. 10,б), стороны которого пропорциональны мощностям на отдельных участках цепи. А если стороны треугольника разделить на ток в цепи, то получится треугольник сопротивлений (рис.10,в).

 

а                                       б                                     в

Рис. 10. Треугольники напряжений, мощностей и сопротивлений

 

Из треугольников напряжений, сопротивлений и мощностей получаются важные для расчета электрических цепей соотношения:

; ;

. .

Так как мощность на отдельных сопротивлениях пропорциональна величине сопротивления, а напряжения на индуктивности и емкости противофазны, то энергия накапливается в них со сдвигом на полпериода. Поэтому полная мощность может быть определена из треугольника мощностей, получаемого из векторной диаграммы по теореме Пифагора.

В случае равенства индуктивного и емкостного сопротивлений полная мощность определяется только мощностью, потребляемой активным сопротивлением, а мощности на индуктивности и емкости взаимно компенсируют друг друга. Они обмениваются энергией между собой, не затрагивая источник. Такой режим цепи называется резонансом напряжений. В этом случае на индуктивности и емкости могут быть очень большие напряжения и мощности (во много раз превышающие напряжение и мощность и источника энергии). Этот эффект полезен и даже необходим в технике связи. В промышленности же он вреден.

Частота, на которой в цепи наступает резонанс, называется резонансной частотой. Она зависит от параметров цепи, в основном индуктивности и емкости.

Резонанс может быть и в параллельной цепи, когда индуктивный, емкостной и активный элементы соединены параллельно. В этом случае резонанс носит название резонанса токов и токи на индуктивности и емкости могут значительно превышать токи источника. Резонансная частота также зависит от величины реактивных элементов.

Если выбрать нулевую начальную фазу тока в неразветвленной RLC-цепи, то вектор напряжения на активном сопротивлении будет совпадать с током, вектор напряжения на индуктивности – опережать вектор тока на 90˚, а вектор напряжения на емкости – отставать на 90˚. Поворот вектора против часовой стрелки можно получить, умножив его на мнимую единицу j, а по часовой стрелке – на -j. Точно также можно рассуждать и для токов, сопротивлений и мощностей. Это позволяет применить для записи напряжений в цепи переменного тока комплексные числа. Достаточно считать все параметры цепи на активном сопротивлении действительной частью комплексного числа, а на реактивном – мнимой.

Тогда вид законов Ома и Кирхгофа для цепи переменного тока будет отличаться от их записи для цепи постоянного тока введением комплексных параметров.

При расчете цепей переменного тока используются три формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. При выполнении расчетов часто приходится переходить от одной формы записи к другой.

,

А_д и А_м соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

В промышленности важно уменьшить циркулирование реактивной энергии по подводящим проводам (линиям передачи энергии). Соотношение между активной и полной энергиями в цепи носит название коэффициента мощности и определяется косинусом фазового сдвига между полными током и напряжением цепи .

Для повышения коэффициента мощности необходимо уменьшать полную реактивную энергию цепи. Так как потребители не могут быть чисто активные и часто преобладают индуктивные потребители (трансформаторы, двигатели, пускатели), то обычно Q_L > Q_C, что требует уменьшать индуктивную составляющую реактивной мощности цепи. Но эта величина ограничена используемыми агрегатами, оборудованием, поэтому не может быть существенно уменьшена даже при тщательном выборе оборудования и их оптимальном использовании.

Обычно используют прием компенсации энергии устройств, имеющих индуктивный характер, устройствами, имеющими ярко выраженный емкостной характер. Для этого в цепь включают емкостные элементы (конденсаторы) такой величины, чтобы реактивная энергия, потребляемая ими, была близка к реактивной энергии машин, имеющих индуктивный характер. Самый простой способ для этого – включать параллельно всей цепи компенсирующие конденсаторы, реактивная энергия которых близка к энергии, которую требуется компенсировать. Для повышения коэффициента мощности потребителей с емкостным характером часто используют включение асинхронных машин в режиме холостого хода.

 

Вопросы по теме

1. Чем отличаются цепи переменного тока от цепей постоянного тока?

2. Какими параметрами характеризуется синусоидальный ток?

3. Как параметры синусоидального тока определить по временной диаграмме?

4. Почему катушки индуктивности и конденсатор не учитывают в цепях постоянного тока, но учитывают в цепях переменного тока?

5. Что представляют собой индуктивное и емкостное сопротивления?

6. Какая связь между током и напряжением на индуктивном сопротивлении?

7. Какая связь между током и напряжением на емкостном сопротивлении?

8. В чем отличие активного сопротивления от реактивного?

9. Как определить мощность в цепи переменного тока?

10. В чем отличие мощности на активном и реактивном сопротивлении?

11. Как строится векторная диаграмма?

12. Как по векторной диаграмме определить величину тока (напряжения), начальную фазу и фазовый сдвиг между отдельными параметрами?

13. Как построить треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей? Как из них получить соотношения между активными, реактивными и полными значениями параметров цепи?

14. Как записываются законы Ома и Кирхгофа для цепи переменного тока?

15. В чем особенность расчета цепей переменного тока?

16. Как записать комплексное сопротивление, напряжение, ток и мощность? Как по этим записям определить их активные, реактивные и полные составляющие?

17. Формы записи комплексных чисел.

18. Как перейти от алгебраической формы комплексного числа к показательной?

19. Как записать уравнения Кирхгофа в комплексном виде?

20. Как вычислить мощность цепи в комплексном виде?

21.Что показывает и что характеризует коэффициент мощности? Почему стремятся его повысить? Как это сделать?

 

Задания для самостоятельного выполнения

 

Задание № 1

В катушке индуктивности протекает ток i =3 sin (628 t +45º) A. Катушка имеет индукцию 2 Гн. Определить величину и форму напряжения в катушке, мощность энергии, запасаемой в катушке, построить временную и векторную диаграммы. Чему равно сопротивление катушки? Как меняется во времени мощность энергии в катушке?

 

Задание № 2

К цепи, состоящей из конденсатора емкостью 10 мкФ, приложено напряжение u =127 sin (1000 t +90º) В. Определить величину и форму тока в конденсаторе, построить векторную диаграмму. Чему равен фазовый сдвиг между током и напряжением? Чему равно сопротивление конденсатора?

 

Задание № 3

В цепи, состоящей из активного сопротивления R =30 Ом и индуктивного сопротивления Х _L =40 Ом, протекает синусоидальный ток частотой 50 Гц и амплитудой 2 А. Определить амплитуду напряжения на активном сопротивлении и индуктивности, полное напряжение и сопротивление цепи, построить векторную диаграмму, если начальная фаза ока равна 0. Чему равны активная и реактивная мощности цепи и коэффициент мощности? Как повысить коэффициент мощности?

 

Задание № 4

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму. R =40 Ом, X_L =20 Ом, X_C =50 Ом. Общее напряжение, приложенное к цепи, U=100 В.

 

Задание № 5

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму, если известно, что R=40 Ом, X_L =100 Ом, X_C =70 Ом и в ней протекает ток с действующим значением I=2 А.

Задание № 6

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму, если известно, что R=60 Ом, X_L =20 Ом, X_C =100 Ом, действующее значение напряжения на активном сопротивлении U_Rд =120 В.

 

 

Задание № 7

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму, если известно, что R =30 Ом, X_L =120 Ом, X _C=80 Ом, действующее значение напряжения на индуктивном сопротивлении U_Lд =120 В.

 

Задание № 8

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму, если известно, что R =80 Ом, X_L =20 Ом, X_C =80 Ом. Активная мощность, потребляемая цепью, P=320 Вт.

 

Задание № 9

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления рассчитать токи и напряжения на каждом элементе и построить векторную диаграмму, если известно, что R =40 Ом, X_L =100 Ом, X_C =130 Ом. Реактивная мощность цепи Q=2700 Вар.

 

Задание № 10

В цепи с последовательным соединением индуктивности, емкости и активного сопротивления R =30 Ом, L =0,5 Гн, C =1 мкФ. Возможен ли резонанс напряжений в этой цепи на промышленной частоте 50 Гц?

 

Задание № 11

Определить емкость конденсатора, который следует включить параллельно к электродвигателю мощностью 1500 ВА, работающего на напряжении 380 В и коэффициент мощности которого равен 0,75, для повышения коэффициента мощности силовой сети до 0,9.