Приложения скалярного произведения

Угол между векторами: .

Угол между векторами в координатной форме:

Определение: Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:  или

Нахождение проекции вектора  на направление, заданное вектором .

 или

Проекция произвольного вектора  на какую – нибудь ось u определяется формулой ,  - единичный вектор, направленный по оси u.

Замечание.

Если даны углы a, b, g, которые ось u составляет с координатными осями, то  и для вычисления проекции вектора  на ось u служит формула:

Рис. 2

Если вектор  изображает перемещение материальной точки под действием постоянной силы  (Рис. 3), то работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Рис. 3

Работа силы: .

Задачи

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов  и , если .

Решение: Имеем  (используем свойства скалярного произведения – формулы (5), (6), (7)). По формулам (2) и (9), получаем , ,

Задача 2. Даны точки .

            Вычислить .

Решение: Найдем координаты векторов .

.

 - противоположен вектору , следовательно, . Аналогично .

; .

По формуле (10) найдем

.

Задача 3. Вычислить угол, образованный векторами  и .

Решение: По формуле , получаем

Задача 4. Даны векторы  и . Найти  и .

Решение: Используя формулу (13), получаем

Задача 5. Дан вектор . Найти его проекцию на ось u, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение:  Т. к. ось u составляет с координатными осями равные острые углы, т. е. , то .

Но , и т. к. в этой сумме все слагаемые между собой равны, то ; ; , тогда  (знак плюс перед корнем взят потому, что по условию углы a, b, g - острые, значит косинусы их положительны). Т. к. по условию , , , то по формуле получаем .

 

Лекция №8. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов.

Векторное произведение двух векторов.

Определение: Три некомпланарных вектора ,  и , приведенные к общему началу, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора  кратчайший поворот от первого вектора  ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (Рис. 1) и левую, если по часовой (Рис. 2).

Рис. 1                           Рис. 2

Определение: Векторным произведением вектора  на вектор  называется такой вектор  (Рис. 1), который

1. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах  и как на сторонах, т.е. , где j - угол между векторами  и ;

2. перпендикулярен векторам  и , т. е. ;

3. направлен так, чтобы тройка векторов  была правой.

Векторное произведение обозначается  или .

Следует запомнить, что в результате векторного произведения двух векторов получается вектор.