Первое уравнение Максвелла –

Обобщение закона полного тока

Рис. 3.1

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля  по замкну­тому контуру   равна полному току, протекающему через поверхность , ограниченную контуром  (рис. 3.1)

,

где  - объемная плотность тока проводимости;  - объемная плотность стороннего тока;   - вектор электрического смещения.

Дифференциальная форма записи этого уравнения имеет вид

,

где  - объемная плотность смещения.

Введение тока смещения связало уравнения Максвелла в систему, реше­нием которой в общем случае является электромагнитная волна.

 

Второе уравнение Максвелла - обобщение закона

Электромагнитной индукции Фарадея

Циркуляция вектора напряженности электрического поля   по замкнутому контуру  равна скорости изменения магнитного потока , взятой с обратным знаком: .

При изменении магнитной индукции  или деформации и перемеще­нии проводящего контура  в нем возникает ЭДС индукции. Дифференциальная форма записи этого уравнения .

Изменение магнитного поля во времени () вызывает появление вихревого электрического поля в пространстве.

Третье уравнение Максвелла - теорема о потоке вектора

Электрической индукции

Рис. 3.2

Поток вектора электрической индукции  сквозь замкнутую по­верхность  равен полному заряду , находящемуся в объеме , ог­раниченном поверхностью   (рис. 3.2):

,

где  - объемная плотность заряда;  - внешняя нормаль к поверхности.      

Дифференциальная форма записи этого уравнения . Источником силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

 

Четвертое уравнение Максвелла -

Закон непрерывности магнитного поля

Поток вектора магнитной индукции  через замкнутую поверх­ность  равен нулю: .

В дифференциальной форме . В природе нет магнитных за­рядов, которые являлись бы источниками или стоками силовых линий магнитного поля, поэтому магнитные силовые линии поля всегда зам­кнуты.                                            

К основным принципам электродинамики относится закон сохране­ния заряда    или . Минус обозначает, что при вытекании тока из объема заряд в последнем уменьшается.

Дифференциальная форма записи этого уравнения:

.

Материальные уравнения: , .

 

Обобщенный закон Ома: , где     - удельная проводимость среды.

 

Задачи

3.1. Определить циркуляцию векторов  и  по контуру с координатами (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0), если плотность тока проводи­мости , ^ плоскости ; плотность тока смещения ; .

3.2. Определить циркуляцию векторов  и  по контуру (см. 3.1), если объемная плотность тока проводимости , а вектор электрического смещения .

3.3. Квадратная рамка со стороной = 1 м находится в поле . Магнитная проницаемость среды , плоскость рамки перпендикулярна к . Определить ЭДС, наведенную в рамке.

3.4. Дано . Доказать, что для переменных во времени полей в однородной изотропной среде без свободных токов и зарядов ^ . Считая , показать, что ^ .

+          +          +         +                                                    +          +          +          +                                                                             Рис. 3.3

3.5. Проводник длиной  движется со скоростью   в равномерном магнитном поле, напряженность которого равна , пересекая силовые линии под углом . Вычислить ЭДС между концами проводника (рис. 3.3).

3.6. Вычислить напряженность магнитного поля , где - расстояние от оси прямолинейного бесконечного проводника, по которому протекает ток .

Рис. 3.4

3.7. Пластины плоского конденсатора, подключенного к источнику ЭДС = const, сближаются со скоростью . Вычислить плотность тока смещения и величину тока во внешней цепи, если площадь пластин , а расстояние между пластинами при = 0 равно . Краевой эффект не учитывать.

3.8. В однородном магнитном поле с напряженностью  вращается прямоугольная плоская рамка со ско­ростью . Длина сторон равна  и , число витков , магнитная проницаемость среды ,  - число оборотов в секунду. Вычислить ЭДС в рамке (рис. 3.4).    

3.9. Напряженность поля в некоторой области меняется по закону , , ; . Найти объемную плотность заряда в данной области, если   .

3.10. Некоторое тело с диэлектрической проницаемостью   и проводимостью    в момент времени  имеет плотность заряда . Oпpeделить, за какое время во внутренней части тела объемная плотность заряда  уменьшится вдвое. Нарушается ли закон сохранения заряда?

3.11. Задано поле :          

где  - радиус-вектор. Найти распределение зарядов, образовавших такое поле.

3.12. В некоторой области с диэлектрической проницаемостью  задано поле . Вычислить объемную плотность заряда.

3.13. В проводящей среде с проводимостью = 8 См/м постоян­ный ток создает магнитное поле . Определить электрическое поле  в среде.   

3.14. Задано поле . Показать, что оно не может быть ни электрическим, ни магнитным.       

3.15. В свободном пространстве () задано электромагнит­ное поле своими составляющими , . При каких значениях  и  это поле удовлетворяет уравнениям Максвелла.           

3.16. Показать, что электромагнитное поле в вакууме , , ни при каких  и  не удовлетворяет уравнениям Максвелла.

Рис. 3.5

3.17. Самолет летит горизонтально, со скоростью =200 м/с. Вычислить разность потенциалов между концами крыльев, если расстояние между ними 30 м, а вертикальная составляющая напряженности маг­нитного поля земли = 0,02 А/м. Можно ли построить прибор, измеряющий таким образом скорость самолета?

3.18. По бесконечному прямоли­нейному проводнику протекает посто­янный ток . Плоская рамка (рис. 3.5) удаляется от проводника со скоростью . Вычислить ЭДС в рамке, если чис­ло витков в ней равно , а параметры среды , .

3.19. При какой частоте отноше­ние плотностей токов смещения и про­водимости в меди ( =5,7×10⁷ См/м,  ) будет таким же, как и в сухой почве ( = 10^-4 См/м, = 2 ) на частоте = 10³ Гц?

3.20. Определить частоту , при которой амплитуды объемной плотности тока смещения и плотности тока проводимости будут равны:

1) среда - медь ( =57×10⁶ См/м; =1); 2) среда - морская вода ( =4 См/м; =80); 3) среда - фарфор ( =10^-13 См/м; = 6).

3.21. Вычислить, на какой частоте плотности токов смещения и проводимости будут одинаковыми в среде с =10^-2 См/м, .

+           +              +           +                               +           +              +           +                                                                           +            +            +             +   Рис. 3.6

3.22. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиусом   , вращается с угловой скоростью  в однородном магнитном поле . Чему равны частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутрен­нее сопротивление вольтметра равно , a сопротивление остальных частей цепи пренебрежимо мало? Предположить, что поле, создаваемое током, мало по сравнению с полем  (рис. 3.6).

3.23. По прямолинейному проводнику протекает ток  (рис. 3.7). Вычислить ЭДС, наведенную в рамке, состоящей из 10 вит­ков, если = 0,5 м; =5 см; =10 см; =1 A; =10³ 1/с. Паpаметpы окружающей сpеды: , .

+       +       +       +                   +       +       +      +                           +        +       +      +   Рис. 3.8

Рис. 3.7

3.24. Металлический стержень длиной  вращается с угловой ско­ростью  в однородном магнитном поле . Вычислить ЭДС в стержне (рис. 3.8).

                        

 4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

 

Граничные условия - это форма уравнений Максвелла для точек, принадлежащих граничной поверхности, в которых параметры среды ме­няются скачком. В этих точках уравнения Максвелла в дифференциаль­ной форме теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определя­ющими поведение векторов поля при переходе через границу раздела сред.

Граничные условия получаются из интегральных уравнений Макс­велла с использованием предельных переходов. Исходя из первого уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности магнит­ного поля  

                                      ,                   (4.1)

получают граничные условия для касательных составляющих вектора

                        или ,       (4.2)

где  - единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный в первую среду.

Это означает, что разность между касательными составляющими вектора  на границе раздела сред равна поверхностному току; при отсутс­твии последнего   

                                                ,                                     (4.3)

т.е. составляющие непрерывны.      

Исходя из второго уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности электрического поля

                              ,                           (4.4)   

получают граничные условия для касательных составляющих напряженно­сти электрического поля                  

                                 или ,             (4.5)

которые на границе раздела сред непрерывны. 

 Третье уравнение Максвелла, определяющее поток вектора электричес­кого смещения

                                ,                                 (4.6)

позволяет получить граничные условия для нормальных компонент вектора      

                        или .              (4.7)

Аналогично из четвертого уравнения Максвелла о потоке вектора маг­нитной индукции  

                                                                               (4.8)

получаются граничные условия для нормальных составляющих вектора

                            или .                        (4.9)

Записанные выше граничные условия являются основными, они получают­ся непосредственно из уравнений Максвелла. Граничные условия для составляющих , ,  и  получают, используя соотношения (4.2), (4.5), (4.7), (4.9) и материальные уравнения состояния среды

                         , .                             (4.10)

 

Задачи

4.1. По границе раздела сред протекает ток . В первой среде = 0. Определить магнитное поле во второй среде вблизи поверхнос­ти.

4.2. По плоской поверхности раздела металл-диэлектрик течет поверхностный ток . Определить уравнения силовых линий вектора .          

4.3. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора  (  и ). Определить вектор  у поверхности в первой среде при условии, что поверхностный ток отсутствует ( = 0) (рис. 4.1).

Рис. 4.1                                             Рис. 4.2

4.4. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора  (  и ). Определить вектор  у поверхности в первой сре­де, если на границе раздела отсутствуют свободные заряды ( =0) (рис. 4.2).

4.5. Среды разделены заряженной поверхностью, и в одной из них поле отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде, если поверхностная плотность заряда , а диэлектрическая проницаемость второй среды ?    

4.6. Определить, по какому за­кону преломляются силовые линии век­тора  при переходе из среды с па­раметрами ,   в среду с параметра­ми , . Показать, что силовые ли­нии на входе и выходе плоскопаралле­льной пластины параллельны (рис. 4.3).  

4.7. Среды различаются магнит­ными проницаемостями (рис. 4.4). Какая из сред имеет большую магнитную проницаемость, если силовые линии идут, как показано на рис. 4.4.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

 

4.8. Два диэлектрика, имеющие плоскую границу раздела, помеще­ны в электрическое поле, перпендикулярное к границе. Величина поля  =10 ^-8 К/м². Графически изобразить картину поля   в первой и второй средах, если на границе раздела имеется заряд = 10^-8 К/м².

4.9. На каком рисунке (рис. 4.5,а,б,в) изображены силовые линии элек­трического поля, магнитного поля, если вторая среда - идеальный проводник?

а                                   б                                    в                                                                             Рис. 4.5

Рис. 4.6

4.10. Среды с плоской границей раздела различаются диэлек­трическими проницаемостями. Угол преломления  (рис. 4.6). Какое соотношение должно выполняться между  и ?

4.11.У поверхности идеального проводника, совпадающей с плос­костью XOY, задан электрический потенциал . Определить поверхностную плот­ность заряда, если среда над проводником - вакуум.

4.12. У поверхности идеального проводника в плоскости XOY за­дано магнитное поле . Чему равен ток, протекающий по участку поверхности XOY в виде ленты, расположенной по оси Х, ширина которой = 0,2 м?

4.13. По бесконечному прямолинейному проводнику течет постоян­ный ток плотностью . Показать, что на границе раздела для магнит­ного поля выполняются граничные условия.

4.14. Радиус металлического шара, несущего заряд , изменяется по закону . Как изменяется  у поверхности шара? Среда вокруг шара - вакуум.

4.15. Определить напряженность электрического поля на расстоянии  от бесконечной заряженной плоскости. Плотность поверхностно­го заряда .

4.16. Показать, что на поверхности раздела двух проводников линии тока испытывают преломление по закону , где   - углы между линиями тока и нормалью к поверхности раздела , а  и  - проводимости сред.

Показать, что на поверхности раздела двух диэлектриков силовые линии вектора  преломляются по закону: .

4.17. По бесконечной плоскости течет ток с поверхностной плот­ностью . Считая плоскость бесконечно тонкой, определить напряжен­ность магнитного поля в точке, отстоящей от нее на расстоянии .

4.18. Плоский конденсатор заполнен двухслойным диэлектриком. Диэлектрическая проницаемость первого слоя , удельная проводимость = 10^-8 См/м. Для второго слоя , = =10^-7 См/м. Толщины слоев  и . Разность потенциалов между обкладками =100 В. Найти поверхностную плотность зарядов  на границе раздела диэлектриков в установившемся режиме и плотность тока проводимости. При каких параметрах диэлектриков =0? Поле считать однородным.

4.19. Цилиндр радиусом , заряженный равномерно с поверхност­ной плотностью , вращается вокруг оси со скоростью . Вычислить напряженность магнитного поля у поверхности цилиндра, если =10 см;  1/с; =10^-17 Кл/м².    

 

5. ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА

 

В макроскопической электродинамике система основных аксиом - уравнений Максвелла - дополняется двумя энергетическими аксиомами:

1) электромагнитная энергия распределена в пространстве с объ­емной плотностью , Дж/м³, где  - объемная плотность энергии электрического поля;  - объемная плотность энергии магнитного поля;

2) величина и направление потока электромагнитной энергии ха­рактеризуются вектором Пойнтинга .

С учетом этого закон сохранения энергии для электромагнитных процессов, происходящих в некотором объеме , ограниченном поверх­ностью   (теорема Пойнтинга), имеет следующий вид:

,

где  - мощность сторонних сил;  - мощность тепловых потерь;  - электромагнитная энергия, запасенная в обьеме ;  - мощность, переносимая электромагнитным полем через поверхность ;  - вектор, по направлению совпадающий с внешней нормалью;  - внешняя нормаль к поверхности .

Таким образом, теорема Пойнтинга утверждает, что мощность сто­ронних сил, действующих в объеме , расходуется на тепловые потери, изменение электромагнитной энергии и излучение за пределы объема.

Отметим, что слагаемые  и  могут быть как положитель­ными, так и отрицательными;  и  всегда положительны.

Для полей, записанных в виде комплексных амплитуд, вводится комплексный вектор Пойнтинга . Среднее значение вектора Пойнтинга

 ,

где  - период колебаний.

Аналогично определяются средние значения и других энергетичес­ких величин.

Задачи