Определение угла закручивания при кручении.

Относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) θ зависит от крутящего момента и жесткости поперечного сечения вала.

θ = М_к/GJ_p

GJ_p – жесткость поперечного сечения вала круглого сечения при закручивании.

θ = dφ/dz

φ – абсолютный угол закручивания (взаимный угол поворота сечений)

φ = ∫₀¹М_кdz/GJ_p

G – модуль сдвига

J_p – полярный момент инерции

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

При анализе деформаций кручения будем основываться на следующих гипотезах:

1) при кручении круглого вала поперечного сечения, плоские до деформации вала, остаются плоскими и перпендикулярными к его продольной оси и после деформации.

2) радиусы сечения, прямые до кручения, остаются прямыми и при кручении.

3) расстояния между поперечными сечениями не изменяются, но поперечные сечения, вследствие деформации сдвига, поворачиваются друг относительно друга как жесткое целое.

4) касательные напряжения пропорциональны деформации сдвига.

Условие прочности для круглого сечения записывается в виде:

τ_max = М_к*ρ_max/J_p <= [τ],

М_к – максимальный крутящий момент на участке

J_p – полярный момент инерции на том же участке

Учитывая, что W_p = J_p/R, называемый полярным моментом сопротивления, условия прочности приобретает следующий вид:

τ _max = М_к/ W_p <= [τ]

[τ] ~ 0,6 [σ]

Относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) θ зависит от крутящего момента и жесткости поперечного сечения вала.

θ = М_к/GJ_p

GJ_p – жесткость поперечного сечения вала круглого сечения при закручивании.

θ = dφ/dz

φ – абсолютный угол закручивания (взаимный угол поворота сечений)

φ = ∫₀¹М_кdz/GJ_p

G – модуль сдвига

J_p – полярный момент инерции

Если в пределах цилиндрического участка вала длиной l крутящие моменты в сечениях не изменяются, то φ = (М_к l)/(GJ_p).

Условие жесткости при кручении имеет вид

θ_max = М_к/GJ_p <= [θ], где [θ] – допускаемый относительный угол закручивания.

С помощью метода сечений величина внутреннего момента М_к выражается через внешние (скручивающие) моменты T_i. Крутящий момент М_к в любом поперечном сечении равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов T_i в оставленной части.

Правило знаков при кручении. Если смотреть на оставленную часть стержня со стороны внешней нормали к сечению, то М_к будет положительным, если сумма внешних скручивающих моментов поворачивает стержень по часовой стрелке, и отрицательной, если против часовой.

 

Деформации и напряжения при чистом изгибе, правило знаков для изгибающих моментов. Расчеты на прочность при изгибе.  

Изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если в сечении действует один изгибающий момент, а остальные внутренние силовые факторы отсутствуют, изгиб называют чистым. Однако обычно вместе с изгибающими моментами возникают и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным. Стержень, работающий в основном на изгиб, называется балкой.

При изгибе верхняя часть стержня растягивается, нижняя – сжимается. Недеформируемая линия – это нейтральная ось.

a'b'-ab – абсолютное удлинение слоя сечения с координатой y.

ε = a'b'-ab/ab – относительная деформация

a'b' ~ (ρ+y)dφ

ab ~ pdφ

ε = y/ρ

Так как при изгибе слои балки подвержены простому растяжению-сжатию, то связать деформацию с напряжением можно по закону Гука.

σ = Eε = Ey/ρ

Элементарный изгибающий момент, действующий на площадке dA:

M_x = (E/ρ)J_x

1/ρ = M_x/EJ_x – закон Гука при изгибе

Основная формула для определения напряжений при изгибе:

σ_z = (M_x/J_x)*y

y – расстояние от нейтральной оси.

Условие прочности при изгибе:

σ_max = M_x/W_x <= [σ_p]

W_x = bh²/6

Метод сечения для изгиба: изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения.

Правило знаков при изгибе. М_изг считается положительным, если внешние силы изгибают балку выпуклостью вниз. М_изг считается отрицательным, если внешние силы изгибают балку выпуклостью вверх.