Сборник задач к практическим занятиям (2-й семестр)

О. А. Шушерина

 

Математика

Сборник задач к практическим занятиям (2-й семестр)

Направления подготовки

080200.62 Менеджмент (группы 81–1, 2, 5),

080400.62 Управление персоналом (группы 81-6, 9, 12, 13)

Квалификация выпускника - бакалавр

Красноярск

2014

 

Содержание

Модуль 1. Линейная АЛГЕБРА

Матрицы, операции над ними

Определители, вычисление и свойства

3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера

4. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

5. Контрольная работа №1 «Линейная алгебра» (вариант 0)

 

Модуль 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

 

6. Векторы на плоскости

7. Прямая на плоскости

8. Кривые второго порядка

9. Контрольная работа №2 «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» (вариант 0)

Модуль 3. ОСНОВЫ теориИ вероятностей и математическОЙ статистикИ

 

10. Случайные события и вероятности

11. Вероятности сложных событий

12. Дискретные и непрерывные случайные величины

13. Контрольная работа № 3 «Теория вероятностей» (вариант 0)

14. Описательная статистика

15. Корреляция между случайными величинами

16. Расчетная работа «Элементы математической статистики»

 

Модуль 1. линейная алгебра

Практическое занятие 1.

Матрицы, операции над ними

Задачи для решения на занятии

1. Даны матрицы А и В.

Найти матрицы , ; , , , , .

1) ; 2) .

2. Найти произведение матриц.

1)               2)

3)            4)

Задачи для домашнего решения

3. Даны матрицы А и В.

Найти матрицы , ; , , , .

1) ; 2) .

4. Найти произведение матриц.

1)       2) ;

3)              4)

5. Д аны матрицы  и . Найти матрицу , являющуюся решением уравнением .

Практическое занятие 2.

Определители, вычисление и свойства

Задачи для решения на занятии

1. Вычислить определители второго порядка:

   1) ; 2) ; 3) ;  4) ;   5) .

2. Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников.

   1) ;           2) .

3. Дан определитель . Вычислить алгебраические дополнения для элементов первой строки.

4. Вычислить определитель, используя теорему о разложении.

  1) ;             2) .

Задачи для домашнего решения

5. Вычислить определители второго порядка:

1) ; 2) ;  3) ; 4) ; 5) .

6. Определитель матрицы  равен нулю при   

7. Вычислить определители третьего порядка:

1) по правилу треугольников; 2) используя теорему о разложении

1) ;       2) .

8. Найти значение определителя

Практическое занятие 3.

Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Задачи для решения на занятии

1. Решить систему двух уравнений по формулам Крамера (определителей).

1) ; 2) ;   3) .

   

2. Решить систему уравнений по формулам Крамера (определителей).

1) ;     2) ;

3) .

Задачи для домашнего решения

3. Решить систему двух уравнений по формулам Крамера (определителей).

 

1)        2)

4. Решить систему трех уравнений по формулам Крамера (определителей).

1) 2)

 

Ответы.

1. 1) ; 2) ; 3) общее решение .

2. 1) ; 2) несовместная.

3. 2)

4. 1) .

 

Практическое занятие 4.

Системы линейных уравнений. Метод гаусса

 

Ответы.

1. 1) ; 3) общее решение .

2. 1) ; 3) несовместная.

4. 1) .

 

Практическое занятие 5.

Вариант 0

Практическое занятие 6.

Векторы на плоскости

 

Практическое занятие 7.

Прямая на плоскости

Ответы.

1.  1) -2;    2) 6; 3) (3; 0).                               

2.   1) ;       2) (-5; 0), (0; 2).

3.  1) х – 2у – 5 = 0; 2) у = 0,5х -2,5; 3) .

5.   у = 3х – 5.                                                    

6.   2х – у -2 = 0.

7.   Перпендикулярны.                                         

9.   1) , (-5; 0), (0; 2,5).

10.   1) 2х + у - 1 = 0;    2) у = -2х +1. 

11. 1) 2х – 3у + 7 =0,    2) х = 2.

12. Параллельны.

 

Практическое занятие 8.

Кривые второго порядка

Эллипс

3. Составить каноническоеуравнение эллипса, если его полуоси равны 5 и 3.

4. Привести уравнение эллипса   к каноническому виду. Построить эллипс.        

Гипербола

5. Составить каноническоеуравнение гиперболы, если его оси равны 12 и 8. построить гиперболу.

6. Дано уравнение гиперболы . Найти: 1) полуоси, 2) координаты фокусов, 3) уравнения асимптот. Построить гиперболу.

Парабола

7. Приведите уравнение параболы   к виду . Найдите координаты вершины параболы. Постройте параболу.

Ответы.

1.    1) х² + у² =16; 2) (х + 6)² + (у - 8)² = 100.

2.    3; (0; -3).             3. .                4. .

5. .        6. 1) 4; 3; 2) (-5; 0); (5; 0); 3) .

7.   у =(х + 1)² - 4;   (-1; -4).

8. 1) (х -2)² + (у + 1)² = 4; 2) (х +1)² + (у - 3)² = 25.

9. 2; (-2; 0).                  10. .                        

11.   .   

12. 1) ; ; 2) (; 0); (; 0);     3) .

13. у =(х – 1)² - 4; (1; - 4).

Практическое занятие 9.

Контрольная работа № 2

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Вариант 0

Практическое занятие 10.

Случайные события

1. Победитель соревнования награждается призом (событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ). Выразите с помощью операций над событиями , ,  следующие события:

 - Победитель награжден одновременно призом, премией и медалью;

 - Победитель награжден призом, или премией, или и тем и другим;

 - Победитель награжден призом и премией без выдачи медали.

2. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число очков. Рассмотрим события:

 – число очков кратно трем;  – число очков нечетно.

Сформулировать, в чем состоят события:  1) ; ; 2) ; 3) .

Вероятность события

3. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность того, что на верхней грани выпадет: 1) 5 очков; 2) число очков, кратное трем; 3) число очков, меньшее 5; 4) менее семи очков.

4. На 5 карточках написаны буквы А, Г, И, К, Н. Вынимают одну за другой карточки и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово «книга»?

5. Студент забыл две последние цифры телефонного номера. Помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран верно.

6. В ящике 15 деталей, среди которых – 3 бракованных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:    1) нет бракованных; 2) одна бракованная; 3) все бракованные.

7. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, выпавших в первый и второй раз. Вычислить вероятности событий:

А – оба раза выпало число 6;     В – число 6 не выпало ни разу.

Ответы

3. 1) 1/6; 2) 1/3;   3) 2/3;   4) 1.

4. 1/120.

5. 1/90.

6. 1) 44/91; 2) 198/455; 3) 1/455.

7. 1/6;   2) 35/36.

8. 1) 1/2; 2)

9. 1/24.

10. 1/210.

11. 1) 56/165; 2) 32/495; 3) 1/495.

 

Практическое занятие 11.

ВЕРОЯТНОСТИ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ

Условная вероятность

3. В комнате находится 8 женщин и 6 мужчин. Случайным образом вызывают по одному двух человек. Найти вероятность того, что:

1) все вызванные – женщины; 2) среди вызванных одна женщина.

4. Студент знает ответы на 20 вопросов из 25. Вопросы задаются последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса – счастливые.

Формула Бернулли

8. В городе 4 коммерческих банка. У каждого банка риск банкротства в течение года составляет 60%. Какова вероятность того, что из четырех банков обанкротятся:

1) ровно три банка; 2) не более одного банка?

9. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что станок потребует внимание рабочего в течение часа, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение часа внимание рабочего потребует следующее количество станков:

1) один;            2) менее двух; 3) не менее одного и не более двух;

4) менее трех;   5) не менее трех; 6) хотя бы один.

Практическое занятие 12.

Практическое занятие 13.

 

Вариант 0.

Практическое занятие 14.

Описательная статистика

Статистическое распределение. Полигон и гистограмма

1. В организации работает 16 сотрудников. Ниже приведены данные опроса этих сотрудников о размере денежных премий (тыс. руб.), полученных ими в течение года:

2, 2, 1, 0, 5, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1.

1) Составить статистическое распределение выборки.

2) Найти моду вариационного ряда.

3) Построить полигон частот статистического распределения.

2. Получена выборка измерения массы тела 25 студентов-юношей:

 52,3; 54,6; 51,8; 58,7; 55,4; 59,3; 44,1; 61,2; 62,3; 64,1;

 65,7; 69,2; 63,8; 67,2; 64,7; 69,6; 67,8; 66,1; 65,6; 71,6;

 73,2; 75,9; 78,1; 86,7; 81,8.

1) Составить интервальное статистическое распределение выборки с числом частичных интервалов, равным 5 (выбрать 40 в качестве нижней границы крайнего левого интервала и 90 в качестве верхней границы крайнего правого интервала).

2) Построить гистограмму частот статистического распределения.

12, 13, 14, 19, 22.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию измерений.

4. Из генеральной совокупности извлечена выборка

	0	1	2	5
	12	3	4	2

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Ответ. 1; 2,4.

5. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью  неизвестной генеральной средней  в случае нормального распределения генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя  и объем выборки .

Ответ. .

6. Результаты измерения количества  (%) в нефтеносном пласте среди случайно отобранных 100 образцов проб нефти приведены в таблице:

%	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90
	2	10	22	30	18	14	4

 

1) Построить гистограмму частот статистического распределения признака.

2) Найти доверительные интервалы для оценки генерального среднего значения и генерального среднего квадратического отклонения количества  (%) в пробах нефти, при условии нормального распределения этого признака, если надежность .

Ответ. ; ; ; .

2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 3, 3, 3, 3.

1) Составить статистическое распределение выборки.

2) Найти моду вариационного ряда.

3) Построить полигон частот статистического распределения.

8. Получена выборка результатов измерения роста студентов-юношей, обучающихся на втором курсе одной из специальностей (см):

179, 167, 181, 183, 166, 177, 173, 174, 178, 164,

172, 169, 177, 173, 176, 172, 174, 174, 162, 176,

176, 173, 179, 181, 166, 182, 161, 167, 174, 171

1) Составить интервальное статистическое распределение выборки с числом частичных интервалов, равным 5 (выбрать 160 в качестве нижней границы крайнего левого интервала и 185 в качестве верхней границы крайнего правого интервала).

2) Построить гистограмму частот статистического распределения.

9. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 11, 12, 15, 20, 22, 18, 17, 21. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию измерений.

Ответ. 17; 14,5.

10. Из генеральной совокупности извлечена выборка

	0	2	3	5
	5	15	4	2

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Ответ. 1; 2,4.

11. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью  неизвестной генеральной средней  в случае нормального распределения генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя  и объем выборки .

Ответ. .

Ответы.

1.

	0	1	2	5
	8	3	4	1

Мода = 0.

2.

(кг)	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90
	1	6	12	4	2

 

3. 16; 14,8.

4. 1; 2,4.

5. .

6. ; ; ; .

7.

	2	3	4	5
	9	12	3	1

Мода = 3.

8.

	160-165	165-170	170-175	175-180	180-185
	3	5	10	8	4

 

9. 17; 14,5.

10. 2; 1,68.

11. .

Практическое занятие 15

О. А. Шушерина

 

Математика

Сборник задач к практическим занятиям (2-й семестр)

Направления подготовки

080200.62 Менеджмент (группы 81–1, 2, 5),

080400.62 Управление персоналом (группы 81-6, 9, 12, 13)

Квалификация выпускника - бакалавр

Красноярск

2014

 

Содержание

Модуль 1. Линейная АЛГЕБРА

Матрицы, операции над ними