Моделирование энергомассопереноса методом конечных элементов

Сущностьметода конечных элементов (МКЭ) в том, что все тело разбивают на некоторое количество частей (элементов) конечного (а не бесконечно малого) объема, настолько простых по форме и внутреннему устройству, что численное интегрирование даже сложных функций по объему каждого из этих элементов не вызывает затруднений. Для приближенного решения задачи в целом необходимо обеспечить только стыковку элементов между собой. Условия стыковки записывают в виде алгебраических уравнений. В некоторых случаях эти уравнения независимы друг от друга и могут быть решены по отдельности, но чаще они образуют систему уравнений, порядок которой зависит от числа конечных элементов (КЭ).

Таким образом, процедура МКЭ состоит в замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений. Существует ряд методов, родственных МКЭ (метод конечных разностей, метод граничных элементов и др.). Каждый из них в чем-то превосходит МКЭ при решении определенного ограниченного круга задач. Однако МКЭ является наиболее гибким и универсальным.

Для упрощения процедуры форму элемента обычно выбирают простой (треугольной или четырехугольной для плоских задач, призматической или пирамидальной для пространственных). Искомую функцию внутри него также описывают простой формулой (обычно полиномом невысокого порядка). Поэтому при небольшом числе элементов решение может получиться весьма грубым. Однако математически доказано, что по мере измельчения элементов погрешность уменьшается и решение неограниченно приближается к точному. Чем грубее и проще элементы, тем мельче они должны быть для достижения заданной точности.

Наличие погрешности при использовании конечного элемента не является свидетельством его непригодности, если эта погрешность убывает при уменьшении размеров элемента и в пределе стремится к нулю. Это не значит, что все виды элементов равноценны. При прочих равных условиях следует предпочесть элементы, дающие наименьшую погрешность при данных размерах и более быстрое ее убывание при уменьшении размеров.

Поскольку число элементов и порядок системы уравнений при моделировании сложных сварочных процессов достигает сотен тысяч, решение такой большой системы уравнений является наиболее серьезным этапом процедуры МКЭ. Часто идут на усложнение элементов (повышение степени полинома внутри элемента) для того, чтобы уменьшить число элементов и порядок системы уравнений. Большую экономию может дать использование интерполяционных функций, близких к ожидаемому решению конкретной задачи, но это снижает степень универсальности программного обеспечения.

На понижение порядка системы уравнений направлена и суперэлементная процедура: несколько обычных элементов объединяют в суперэлемент, исключая из системы уравнений неизвестные, связанные с внутренними границами между объединяемыми элементами, и оставляя те, которые участвуют в стыковке суперэлементов между собой. Тогда число уравнений для суперэлементной модели уменьшается. После решения этой системы уравнений необходимо вернуться к внутреннему устройству суперэлемента и найти значения исключенных ранее внутренних неизвестных.

В общем случае суммарное число операций не уменьшается, но задача упрощается за счет ее разделения на несколько этапов. Сокращение расчетов может быть получено, если в модели много одинаковых суперэлементов. Тогда часть операций для них можно не повторять.

Процедура МКЭ в принципе достаточно проста. Простейшая программа может быть написана и отлажена за неделю. Однако область применения такой программы весьма ограниченна. На создание программы среднего уровня, содержащей средства подготовки данных (среду, аналогичную AutoCAD), эффективные процедуры составления и решения уравнений и визуальную систему анализа результатов моделирования, требуется, по оценке специалистов, от 10 до 100 человеко-лет.

В мире существуют десятки коммерческих программных комплексов МКЭ (наиболее известны NASTRAN, ANSYS), в том числе специализированных, для решения сварочных и других технологических задач (SYSWELD, MARC). На их создание были затрачены еще бóльшие усилия. Тем не менее среди них нельзя назвать ни одного, пригодного для решения всех возникающих задач. Поскольку внутренняя часть комплекса является для пользователя «черным ящиком», довольно трудно бывает самостоятельно приспособить его к решению задачи, не предусмотренной разработчиками. Еще одно обстоятельство оказывается не в пользу коммерческих комплексов – огромные размеры текста программ (сотни мегабайт) и обязанность разработчиков поддерживать совместимость новых версий с предыдущими. Теряется гибкость и решение принципиально новых задач дается с трудом, а изменения в аппаратном обеспечении (например, переход с больших ЭВМ на персональные компьютеры) имеют для таких комплексов катастрофические последствия.

Поэтому создание новых программных комплексов МКЭ, прежде всего не универсальных, а направленных на решение конкретного круга задач, сохраняет свою актуальность. При использовании готового программного комплекса МКЭ вполне возможно повысить его эффективность, добавив к нему недостающие элементы. Некоторые коммерческие программные комплексы предусматривают для этого встроенный язык программирования.

 

12.3. Физическое обоснование метода конечных элементов на примере протекания тока через детали в процессе контактной сварки

Продолжим рассмотрение задачи о протекании тока в проводнике и рассмотрим порядок построения модели на основе простейших конечных элементов. При точечной контактной сварке ток протекает через участок свариваемых пластин между электродами (рис. 12.2). Требуется определить электрический потенциал и плотность тока в нескольких заданных узловых точках на поверхности и в толще металла.

Рис. 12.2. Схема контактной точечной сварки двух пластин (а)

и конечно-элементной модели (б)

 

Рассмотрим модель интересующей нас части этих пластин (рис 2, а). Из соображений симметрии можно сократить и упростить моделируемую часть, а влияние не включенных в модель частей заменить при решении граничными условиями на контуре модели. Границы C и D можно считать изолированными (C - исходя из условия симметрии, а D – в связи с тем, что через участок пластины за этой границей ток не протекает). Границу A можно принять за начало отсчета и полагать потенциал на этой границе равным нулю. Тогда потенциал на границе B будет равен половине напряжения между электродами сварочной установки: .  

Разобьем модель (рис. 12.2, б) на ячейки (клетки) так, чтобы каждая граница проходила на равном расстоянии от двух соседних узлов. Закон Ома позволяет установить, какой ток потечет через границу пары ячеек 1 и 2 при разности потенциалов между ними . Если распределение потенциала по длине отрезка между этими точками  считать линейным, то напряженность электрического поля во всех точках элемента будет одинакова и равна . Плотность тока, согласно (12.1) равна (если материал изотропный и его удельное сопротивление во всех направлениях одинаково). Сила тока через границу площадью  пропорциональна разности потенциалов

.

Таким образом, граница между ячейками 1 и 2 эквивалентна по протекающему через нее току электрическому сопротивлению

,                                (12.3)

соединяющему центры этих ячеек - узлы 1 и 2. Такое сопротивление имеет вырезанный из исследуемой пластины проводник с удельным сопротивлением ρ, длиной   с постоянной по длине площадью поперечного сечения, равной площади границы . Назовем каждую такую границу с прилегающими к ней частями двух смежных ячеек конечным элементом. Если добавить в модель аналогичные конечные элементы для каждой пары соседних узлов, то они покроют всю модель. Будем считать, что все заряды, попавшие в одну из ячеек, сосредоточены в ее узле. Тогда построенную модель можно представить в виде электрической схемы (рис. 12.3). Согласно классификации конечных элементов, рассмотренные элементы следует называть стержневыми линейными двухузловыми.

Рис. 12.3. Принципиальная схема конечно-элементной модели

 

Если известны потенциалы на краях пластины и сопротивления конечных элементов, то можно по правилам Кирхгофа получить систему линейных уравнений, неизвестными в которой являются потенциалы внутренних узлов. Это типичная процедура метода конечных элементов по сведению дифференциального уравнения краевой задачи к системе линейных уравнений. Ввод данных, составление и решение системы уравнений и вывод результатов должны быть реализованы в компьютерной программе.