Выбор образующего многочлена по заданному объему кода и заданной корректирующей способности.

 

По заданному объему кода однозначно определяется число информационных разрядов k. Далее необходимо найти наименьшее n, обеспечивающее обнаружение или исправление ошибок заданной кратности. В случае циклического кода эта проблема сводится к нахождению нужного многочлена g (x).

Обнаружение одиночных ошибок. Любая принятая по каналу связи кодовая комбинация h (x), возможно содержащая ошибку, может быть представлена в виде суммы по модулю два неискаженной комбинации кода f (x) и вектора ошибки ξ (x):

.                                                                       (3)

При делении h (x) на образующий многочлен g (x) остаток, указывающий на наличие ошибки, обнаруживается только в том случае, если многочлен, соответствующий вектору ошибки, не делится на g (x): f (x) - неискаженная комбинация кода и, следовательно, на g (x) делится без остатка.

Вектор одиночной ошибки имеет единицу в искаженном разряде и нули во всех остальных разрядах. Ему соответствует многочлен ξ (x) = х ⁱ. Последний не должен делиться на g (x). Среди неприводимых многочленов, входящих в разложении х ^{n +1}, многочленом наименьшей степени, удовлетворяющим указанному условию, является x +1. Остаток от деления любого многочлена на x +1 представляет собой многочлен нулевой степени и может принимать только два значения: 0 или 1. Все кольцо в данном случае состоит из идеала, содержащего многочлены с четным числом членов, и одного класса вычетов, соответствующего единственному остатку, равному 1. Таким образом, при любом числе информационных разрядов необходим только один проверочный разряд. Значение символа этого разряда как раз и обеспечивает четность числа единиц в любой разрешенной кодовой комбинации, а следовательно, и делимость ее на х +1.

Полученный циклический код с проверкой на четность способен обнаруживать не только одиночные ошибки в отдельных разрядах, но и ошибки в любом нечетном числе разрядов.

Исправление одиночных или обнаружение двойных ошибок. Прежде чем исправить одиночную ошибку в принятой комбинации из n разрядов, необходимо определить, какой из разрядов был искажен. Это можно сделать только в том случае, если каждой одиночной ошибке в определенном разряде соответствуют свой класс вычетов и свой опознаватель. Так как в циклическом коде опознавателями ошибок являются остатки от деления многочленов ошибок на образующий многочлен кода g (x), то g (x) должно обеспечить требуемое число различных остатков при делении векторов ошибок с единицей в искаженном разряде. Как отмечалось, наибольшее число остатков дает неприводимый многочлен. При степени многочлена r = n - k он может дать 2 ^{n - k} -1 ненулевых остатков (нулевой остаток является опознавателем безошибочной передачи).

Следовательно, необходимым условием исправления любой одиночной ошибки является выполнение неравенства

,                                                                         (4)

где  - общее число разновидностей одиночных ошибок в кодовой комбинации из n символов; отсюда находим степень образующего многочлена кода

                                                                   (5)

и общее число символов в кодовой комбинации. Наибольшие значения k и n для различных m можно найти, пользуясь табл. 4.

Как указывалось, образующий многочлен g (x) должен быть делителем двучлена х ^{n +1}. Доказано, что любой двучлен типа  может быть представлен произведением всех неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа r (от 1 до r включительно). Следовательно, для любого m существует по крайней мере один неприводимый многочлен степени r, входящий сомножителем в разложение двучлена х ^{n +1}.

Таблица 4

r	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	1	3	7	15	31	63	127	255	511	1023
k	0	1	4	11	26	57	120	247	502	1013

 

Пользуясь этим свойством, а также имеющимися таблицами многочленов, неприводимых при двоичных коэффициентах, выбрать образующий многочлен при известных n и k несложно. Определив образующий многочлен, необходимо убедиться в том, что он обеспечивает заданное число остатков.

Пример 7. Выберем образующий многочлен для случая n =15 и k =4.

Двучлен x ¹⁵+1 можно записать в виде произведения всех неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа 4. Последнее делится на 1, 2, 4.

В таблице неприводимых многочленов находим один многочлен первой степени, а именно х +1, один многочлен второй степени х ²+ х +1 и три многочлена четвертой степени: х ⁴+ x +1, х ⁴+ х ³+1, х ⁴+ х ³+ х +1. Перемножив все многочлены, убедимся в справедливости соотношения (х +1)(х ²+ х +1)(х ⁴+ х +1)(х ⁴+ х ³+l)(x ⁴+ x ³+ + x ²+ x +1)= x ¹²+1.

Один из сомножителей четвертой степени может быть принят за образующий многочлен кода. Возьмем, например, многочлен х ⁴+ х ³+1, или в виде двоичной последовательности 11001.

Чтобы убедиться, что каждому вектору ошибки соответствует отличный от других остаток, необходимо поделить каждый из этих векторов на 11001.

Векторы ошибок младших разрядов имеют вид:

00...0001, 00...0010, 00...0100, 00...1000.

Степени соответствующих им многочленов меньше степени образующего многочлена g (x). Поэтому они сами являются остатками при нулевой целой части. Остаток, соответствующий вектору ошибки в следующем старшем разряде, получаем при делении 00...10000 на 11001, т.е.

	10000	11001
	11001
	1001

Аналогично могут быть найдены и остальные остатки. Однако их можно получить проще, деля на g (x) комбинацию в виде единицы с рядом нулей и выписывая все промежуточные остатки:

	100000000000000	11001
	11001		остатки
	10010		1001
	11001
	10110		1011
	11001
	11110		1111
	11001
	1110		0111
	11100		1110
	11001
	1010		0101
	10100		1010
	11001
	11010		1101
	11001
	110		0011
	1100		0110
	11000		1100
	11001
	1		0001
	10		0010
	100		0100
	1000		1000

 

При последующем делении остатки повторяются.

Таким образом, мы убедились в том, что число различных остатков при выбранном g (x) равно n =15, и, следовательно, код, образованный таким g (x), способен исправить любую одиночную ошибку. С тем же успехом за образующий многочлен кода мог быть принят и многочлен х ⁴+ x +1. При этом был бы получен код, эквивалентный выбранному.

Однако использовать для тех же целей многочлен x ⁴+ х ³+ х ²+ x +1 нельзя. При проверке числа различных остатков обнаруживается, что их у него не 15, а только 5 Действительно,

	100000000000000	11111
	11111		остатки
	11110		1111
	11111
	00010		0001

Это объясняется тем, что многочлен x ⁴+ х ³+ х ²+ x +1 входит в разложение не только двучлена x ¹⁵+1, но и двучлена х ⁵+1.

Из приведенного примера следует, что в качестве образующего следует выбирать такой неприводимый многочлен g (x) (или произведение таких многочленов), который, являясь делителем двучлена х ^{n +1}, не входит в разложение ни одного двучлена типа x^r +1, степень которого r меньше n. В этом случае говорят, что многочлен q (x) принадлежит показателю степени n.

В табл. 5 приведены основные характеристики некоторых кодов, способных исправлять одиночные ошибки или обнаруживать все одиночные и двойные ошибки.

Таблица 5

Показатель непереводимого многочлена	Образующий многочлен	Число остатков	Длина кода
2	x ^2+ x +1	3	3
3	x ^3+ x +1	7	7
3	x ^3+ x ^2+1	7	7
4	x ^4+ x ^3+1	15	15
4	x ^4+ x +1	15	15
5	x ^5+ x ^2+1	31	31
5	x ^5+ x ^3+1	31	31

Это циклические коды Хэмминга для исправления одной ошибки, в которых в отличие от групповых кодов Хэмминга все проверочные разряды размещаются в конце кодовой комбинации.

Обнаружение ошибок кратности три и ниже. Образующие многочлены кодов, способных обнаруживать одиночные, двойные и тройные ошибки, можно определить, базируясь на следующем указании Хэмминга. Если известен образующий многочлен p (x ^r) кода длины n, позволяющего обнаруживать ошибки некоторой кратности z то образующий многочлен g (x) кода, способного обнаруживать ошибки следующей кратности (z +1), может быть получен умножением многочлена р (х ^r) на многочлен x +1, что соответствует введению дополнительной проверки на четность. При этом число символов в комбинациях кода за счет добавления еще одного проверочного символа увеличивается до n + 1.

В табл. 6 приведены основные характеристики некоторых кодов, способных обнаруживать ошибки кратности три и менее.

Таблица 6

Показатель непереводимого многочлена	Образующий многочлен	Число инф. символов	Длина кода
3	(x +1)(x ^3+ x +1)	4	8
4	(x +1)(x ^4+ x ^3+1)	11	16
5	(x +1)(x ^5+ x +1)	26	32

 

                                                                                  (6)

Обнаружение и исправление независимых ошибок произвольной кратности. Важнейшим классом кодов, используемых в каналах, где ошибки в последовательностях символов возникают независимо, являются коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема. Доказано, что для любых целых положительных чисел r и s < n /2 существует двоичный код этого класса длины n =2 ^r -1 с числом проверочных символов не более r s, который способен обнаруживать ошибки кратности 2 s или исправлять ошибки кратности s. Для произвольного линейного блокового (n, k)-кода, рассчитанного на исправление пакетов ошибок длины b или менее, основным соотношением, устанавливающим связь корректирующей способности с числом избыточных символов, является граница Рейджера:

При исправлении линейным кодом пакетов длины b или менее с одновременным обнаружением пакетов длины l≥ b или менее требуется по крайней мере b + l проверочных символов.

Из циклических кодов, предназначенных для исправления пакетов ошибок, широко известны коды Бартона, Файра и Рида-Соломона.

Первые две разновидности кодов служат для исправления одного пакета ошибок в блоке. Коды Рида-Соломона способны исправлять несколько пачек ошибок.