Занятие по математике №10 группа 3аб дата проведения: 21. 10. 20г.

Тема: Производные основных элементарных функций

Цель занятия: рассмотреть формулы вычисления производных основных элементарных функций и научиться их применять при вычислении производных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение элементарной функции;

2) производная показательной функции;

2) производные тригонометрических функций;

3) производная логарифмической функции.

Теоретический материал для самостоятельного изучения темы

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=a^x, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

a^x=e^{xln a} (1)

так как e^{xln a}= (e^{ln a})^х= а^х.

Стоит отметить свойств о функции е^х: производная данной функции равна ей самой

(e^x) ' = e^x. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(e^kx+b) ' = ke^kx+b. (3)

Производная для a^x:

(a^x) ' = a^xlna. (4)

Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

(5)

Производная функции lnх выражается формулой

(6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

(7)

(8)

Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Правила нахождения производных.

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Правило константы	y = C = y ' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
Правило суммы	y = f(x) + g(x) = y ' = f '(x) + g'(x)
Правило умножения	у = (fg)' = f 'g+g'f
Правило деления
Правило сложной функции	если y = f(x), u = g (y), то функция u =g(f(x)) - сложная функция, или суперпозиция. u' = g(f(x))' = g'(y)*f '(x)
Обратная функция	если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функции x = f ^-1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f ^-1(y))у=у0 =

 

Примеры и разбор решения заданий

Найти производную:

Пример №1. f(x) = 3lnx

Решение:

Ответ:

Пример №2. f(x) = 3·e^2x

Решение: (3e^2x) ' = 3·2· e^2x = 6 ·e^2x

Ответ: 6 ·e^2x

Пример №3. f(x) = 2^x

Решение: (2^x) ' = 2^xln2

Ответ: 2^xln2

Домашнее задание: прочитать §47, стр. 245 (учебник: Алгебра. 10-11класс. Ш.А. Алимов), составить краткий конспект занятия, решить №802, 803 (2,4,6)

Выполненное задание отправлять на электронную почту: [e-mail]

или страницу вКОНТАКТЕ - https://vk.com/id592773352

Индивидуальные консультации по тел.: [phone]