Конспект занятия решения ключевых задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ход занятия:

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация опорных знаний.

- Как вы понимаете термин «касательная»?

- Что такое угловой коэффициент касательной?

- Как влияет угловой коэффициент прямых на взаимное расположение прямых?

- Расставьте этапы алгоритма составления уравнения касательной в правильном порядке.

2. Постановка цели занятия.

Повторение.

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

f′(x0)= tgφ=k
Касательная - это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.            
                          Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0: y=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0).

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

Вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k ( x - x 0).

Значение производной f '( x 0) функции y = f ( x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tg φ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 ( x 0, y 0), где y 0 = f ( x 0). В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f '( x 0) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

y - y 0 = f '( x 0)( x - x 0).

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Алгоритм	Пример №1: f(x)=x2 −2x+3, x0=3
1. Вычислим f(x0)	f(x0)=f(3)=32−2⋅3+3=6
2. Найдем формулу производной функции f′(x)	f′(x)=(x2−2x+3)′=2x−2
3. Вычислим f′(x0)	f′(x0)=f′(3)=2⋅3−2=4
4. Подставим x0, f(x0) и f′(x0) в формулу уравнения касательной y=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0) Пример №2	y=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0) =4(x−3)+6= 4x−12+6= =4x−6

Закрепление знаний при решении задач

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Домашнее задание: повторить теоретический  материал §48, стр.253 (учебник: Алгебра. 10-11 класс. Ш.А. Алимов) рассмотреть решение задач №1,2,3, составить краткий конспект занятия.