Использование монотонности функций

      при решении неравенств.

В §5 части I мы описываем один из «нестандартных» приёмов, позволяющих в ряде задач получить ответ без большой технической работы в том случае, когда уравнение приводилось к эквивалентному виду f(x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на рассматриваемом множестве функция.

При решении неравенств в ряде случаев можно воспользоваться тем же приёмом.

 

Утверждение 6.

Пусть f(x) возрастает на своей области определения , тогда имеют место эквивалентности:

 

   Если же f(x) убывает на , то

   (неравенства противоположного знака разбираются аналогично).

 

             

             

     Пример 12.       Решить неравенство:

     Решение:

        

                  

        

 

         Левая часть возрастает на множестве  и при  равна нулю, значит, .

     Ответ: ; 1).

 

 

     Пример 13. Решить неравенство:

     Решение:

   Поскольку левая часть возрастает на области определения (), и  - корень соответствующего уравнения, то .

     Ответ: .

(Сравните это решение с «честным»!).

 

 

     Пример 14. Решить неравенство:

     Решение:

  Левая часть является убывающей функцией как разность убывающей и

 возрастающей.

Нетрудно заметить, что при  левая и правая части равны. Значит, решением неравенства будет пересечение множеств  и .

 

     Ответ: .

 

 

         § 6. Задачи для самостоятельного решения.

        

         Решите неравенства:

1.                                             Ответ:

             

2.                                            Ответ:

3.                                      Ответ:

 

4.                            Ответ:

 

5.                                      Ответ:

             

6.                     Ответ:

.

7.                                   Ответ:

 

8.                                            Ответ:

 

9.                                   Ответ:

 

10.                                 Ответ:

 

11.                              Ответ: .

 

12.                                  Ответ:

 

 

                          § 7. Контрольные задания

                                                                       

 1.                                        Ответ:           .

 2.                                                Ответ:            .

        

 3.                                        Ответ:           .

     

 4.                                           Ответ:    . 

 5.                                 Ответ:           .

 6.                                      Ответ:      .

 7.                                           Ответ:     .

 8.                                       

                                          Ответ:  

 9.          Ответ:                      .

 

     Часть III. Задачи, предлагавшиеся на экзаменах в МГУ.

     СПИСОК СОКРАЩЁННЫХ НАЗВАНИЙ

ФАКУЛЬТЕТОВ.

ММ - механико-математический,

ВМК - вычислительной математики и кибернетики,

Ф - физический,

X - химический,

Б - биологический,

ПЧ - почвоведения,

ГГ - географический,

ГЛ - геологический,

Э - экономический,

ПС - психологический,

ИСАА - институт стран Азии и Африки,

СОЦ – социологический.

 

 

Решите уравнение (или неравенство):

 1. (ГГ-93)

 2. (ГГ-82)

 3. (ГГ-96)

 4. (Х-98)

 5. (СОЦ-99)   

 7. (ПЧ-77)

 8. (ПЧ-97)

 9. (ГЛ-95)

10. (ГЛ-96)

11. (ПС-86)

12. (ПС-96)

13. (ГГ-99)

14. (ГГ-95)

15. (Э-83)

16. (ВМК-89) 

17. (ВМК-91) 

18. (Ф-88)

19. (Э-90)

20. (ГЛ-83)

21. (ГЛ-94)

22. (ПС-97)

23. (ГГ-99)

24. (Ф-80)

25. (Ф-85)

26. (Ф-93)

27. (Х-79)

28. (Х-96)

29. (Ф-79)

30. (Б-80)

31. (ПЧ-81)

32. (ПЧ-87)

33. (ГЛ-84)

34. (Э-95)

35. (ПС-88)

36. (ПС-89)

37. (ГЛ-01)

38. (Э-99)

39. (ВМК-94) 

40. (ГГ-01)

41. (Б–83)         

42. (ПЧ-98)

43. (ПС-01)

44. (ИСАА-91)

45. (ПС-93)

46. (ММ-98)

47. (Ф-97)

48. (Х-78)

49. (ГЛ-94)

50. (Э-88)

51. (ВМК-82) 

52. (ММ-90)

53. (ПС-98)

54. (ВМК-84) 

55. (ММ-88)

56. (ММ-82)

57. (ММ-85)

58. (ММ–91)  

59. (ВМК-87) 

60. (ВМК-92) 

61. (Х-88)

62. (Х-94)

63. (ПЧ-82)

64. (ПЧ-96)

65. (ПС-87)

66. (ПС-95)

67. (СОЦ-00)  

68. (ВМК-99) 

69. (Х-92)

70. (ВМК-00) 

 

Открытый урок по алгебре в 11 классе, тема: Иррациональные уравнения

Ход урока

Учитель: (на экране Слай д 1.)

Альберт Эйнштейн сказал замечательные слова, вслушайтесь в них: “Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки”.

Вот и мы сегодня с вами в очередной раз попытаемся приоткрыть одну из тайн, которую дарит нам наука. Тема нашего сегодняшнего урока: учитель зачитывает тему и цель урока.

Цель: (на экране Слайд 2.)

1. Познакомиться с понятием иррациональные уравнения и некоторыми методами их решения.

2. Развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия.

Учитель:

– Чтобы лучше усвоить новую тему, вспомним пройденный материал.
– Сегодня на уроке мы работаем, разбившись на группы (класс делится на 4 группы по 6-7 человек, на столе у каждой группы флажок с номером).

I. Устная работа.

Учитель дает задание:

Разложить на множители: (

Cлайд 3).

Затем даются ответы на экране.
Для последней из группы учитель просит разложить разность (х – у), используя формулу сокращенного умножения: разность квадратов.
Далее на слайде появляется дополнительный вопрос:
Доп. Вопрос (√16)² =? (16)
Отвечает любой учащийся.

Учитель озвучивает следующее задание: Найти область определения. (Слайд 4).

После ответов учащихся высвечиваются ответы на слайде.
Дополнительный вопрос на слайде появляется последним, один из учеников его зачитывает:
Доп. Вопрос: Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число (1)

Учитель: В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений:

Слайд 5.

Каждая из групп выбирает нужное уравнение. После ответов высвечиваются уравнения.

Доп. Вопрос: Является ли число 3 решением вашего уравнения?
В чью группу войдет уравнение х² = 4. Решите его.

Учитель: Является ли число Хо – корнем вашего уравнения?

Слайд 6.

Учитель: А сейчас небольшая историческая справка, (выходит учащийся и рассказывает наизусть):

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию Пифагорийцев ещё в VI веке до н.э. А началось все с простого, казалось бы вопроса – каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Пифагорийцы доказали, что √2 – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. √2 – по их мнению вообще не было числом. Открыв новый математический объект они пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел, в принципе – не являются.

В переводе с латыни “irrationalis” – “неразумный”. Любопытно, что в средневековой Европе наряду с “irrationalis” в ходу был еще и другой термин “surdus” – “глухой” или “немой”. Судя по такому названию, математикам средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько “неразумным”, что “ни высказать, ни выслушать”. Удивление и досада, с которыми древние математики в начале восприняли иррациональные числа, впоследствии, сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам.

“История иррациональных чисел”. (Слайд 7).

В переводе с латыни “irrationalis” – “неразумный”.
“surdus” – “глухой” или “немой”. “ни высказать, ни выслушать”.

Учитель: Вот и мы сейчас с таким же интересом и вниманием обратимся не к иррациональным числам, но к иррациональным уравнениям. Открываем тетради, записываем тему урока: “Иррациональные уравнения”.

Слайд 8.

Высвечивается определение:

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня называются иррациональными.

Записать в тетрадь последнее уравнение: √х = х – 2
Оно же и на доске.
Один из учащихся выходит его решать.

Учитель: Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности перехода от иррационального к рациональному уравнению. Рассмотрим один из методов: возведение в степень обеих частей уравнения.

Ребята, т.к. мы с вами выпускной класс и впереди предстоит сдача ЕГЭ, наша задача подготовиться к нему. Поэтому те уравнения, которые мы будем разбирать на уроке, взяты из разных сборников для подготовки к ЕГЭ.

II. Работа в тетрадях.

 

а) Решить уравнение: Вопросы к учащемуся, который решает это уравнение:

х₁ = 1, х₂ = 4

Оба корня проверяем, подставляя в исходное уравнение. Видим, что х₁ = 1 – не является корнем исходного уравнения, закрываем его магнитом на доске [посторонний корень].

Ответ: 4

Возведя обе части уравнения в нечетную степень, перешли к равносильному уравнению.
– Нужна ли проверка в данном случае?
– Может ли появиться посторонний корень?
– Корень проверяется, чтобы исключить арифметическую ошибку.

Слайд 9.

При возведении обеих частей уравнения:

· в четную степень (показатель корня – четное число), возможно появление постороннего корня (проверка необходима);

· в нечетную степень (показатель корня – нечетное число), получается уравнение, равносильное исходящему, (проверка не нужна).

Учитель: Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования, определить ОД3. (В этом случае проверку делать не надо).

На доске: Вопрос к учащемуся у доски:

г) = х – 1 – Вспомнить определение арифметического корня n-ой степени.

= х – 1

X₂ = 0 посторонний корень.

Ответ: 3

Ответ: Решений нет.

Слайд 10.

Решая иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования – проверка не нужна.

е) Уравнение, предлагаемое к самостоятельному решению.

Проверка: Подходят оба.

Ответ: ±1

Один ученик вызывается к доске для проверки, рассказывает ход решения.

III. Самостоятельная работа.

Слайд 11.

После решения и сдачи самостоятельных работ на слайде появляются ответы.

Слайд 12.

Итог урока:

– Иррациональные уравнения?

При возведении обеих частей уравнения:

· в четную степень (показатель корня – четное число), возможно появление постороннего корня (проверка необходима);

· в нечетную степень (показатель корня – нечетное число), получается уравнение, равносильное исходящему, (проверка не нужна).

Учитель: Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования, определить ОД3. (В этом случае проверку делать не надо).

Решая иррациональные уравнения, используя равносильные преобразования – проверка не нужна.

Учитель подводит итог урока глядя на слайд, опрашивая учащихся, благодарит за урок и говорит о том, что на следующем уроке познакомит ребят с другими методами решения замены переменной.

Домашнее задание на доске.