Использование монотонности функций при решении уравнений.

В этом параграфе мы обращаем внимание читателя на совершенно законный метод решения задач, базирующийся на следующем утверждении.

 

    Утверждение 3.

    Уравнение f (x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на некотором множестве М функция, не может иметь на этом множестве более одного решения.

    Для доказательства достаточно заметить, что возрастающая (убывающая) функция в различных точках принимает различные значения.

    Отсюда следует, что если удаётся угадать или быстро подобрать один корень подобного уравнения и показать проверяющим, что Вы понимаете, почему других корней нет, то можно писать ответ.

        

        

    Пример 11.    Решить уравнение  

   

    Решение:

   

         

    Очевидно, что  - корень уравнения, и, поскольку левая часть возрастает (как сумма возрастающих функций), то других решений нет.

 

    Ответ: 1.

        

        

    Пример 12.   Решить уравнение:

        

    Решение:

    Левая часть этого уравнения является возрастающей, а правая часть- убывающей функцией, и, значит, уравнение имеет не более одного решения.

    Очевидно, что   годится.

        

Ответ: 10.

(Для сравнения попробуйте решить это уравнение по стандартной схеме ИУ 3.2!)

        

        

 

    Замечание 6!!!

    Мы предлагаем читателю решение всякой задачи начинать с выяснения вопроса: «А нельзя ли использовать монотонность, что бы избежать длинных выкладок?»

    Просматривая экзаменационные задачи, читатель может сам убедиться в том, что количество задач, допускающих такое решение, значительно!

§ 6. Задачи для самостоятельного решения:  

 1.                                               Ответ:             .

 2.                                           Ответ:             .

 3.                                       Ответ:             .

 4.                               Ответ:             .

 5.                                      Ответ:            

        

     6.

Указание: сделайте замену            Ответ:            

     7.                                    Ответ:            

     8.                                          Ответ:            

     9.                                   Ответ:            

10.                                    Ответ:            

11.                                 Ответ:            

       12.                                        Ответ:             20.

 

 

     § 7. Контрольные задания             

       1.                                     Ответ:            

     2.                                                    Ответ:             .

     3.                                   Ответ:

      4.                                      Ответ:   1.

 5.                              Ответ: .

 6.                                Ответ:       .

7.                                         Ответ:  .

      8.                                     Ответ:  

      9.         Ответ:             .

     10.           Ответ:             .

     11.                          Ответ: .

     12.                              Ответ: .

     13.                              Ответ: .

     14.                                Ответ: .

15.                              Ответ:  8.

Часть II. Иррациональные неравенства.

                  

§1. Основные неравенства.

 

    Это неравенства видов:

        

(1)             и           (2)      

        

Утверждение 4

    Имеют место эквивалентности:

I                 

                                           

          

 

II       

                            

     

 

 (В случае нестрогих исходных неравенствах (А1) и (А2) все неравенства (В1), (В2)и (D2) заменяются нестрогими неравенствами).

 

Доказательство:

I. Пусть x - решение (А1), тогда неравенства (С1) и (D1) очевидно имеют место, а из них и (А1) следует (В1).        

     Опять же, пусть для x  выполняются все три неравенства системы. Извлекая квадратный корень из неотрицательных левой и правой частей (В1) и учитывая, что при g(x )  имеет место равенство

     , получаем (A1).

 

II. Пусть для x  имеет место (А2). Здесь возможны два случая:

(1) правая часть (А2) отрицательна, а левая - определена, т. е. (В2) и (С2);

(2) правая часть (А2) неотрицательна, а левая – определена, но тогда имеет место (D2). Значит x  входит в решение совокупности.

      Опять же, пусть x - решение совокупности. Если для x  имеет место система (В2), (С2), то из неё, очевидно, следует (А2). Если же x  удовлетворяет (D2), то тогда либо g(x ) 0, и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x ) , и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x )<0, но тогда имеет место система (В2), (С2).

 

        

         §2.Примеры записи решений основных неравенств.

         Пример 1. Решить неравенство:

         Решение:

          

              

        

                  

          

                                          

                       

               

        

         Ответ: .

 

         Пример 2. Решить неравенство: x +3

 

         Решение:

        

                  

        

                  

        

                  

        

                  

        

Ответ: .

 

         Пример 3. Решить неравенство:

             

         Решение:

        

         Ответ:

             

         Пример 4. Решить неравенство:

             

         Решение:

        

            

                                                    

         Ответ:       .

 

         Пример 5.      Решить неравенство:    

                            

         Решение:

        

         Ответ:      

         Пример 6. Решить неравенство:

         Решение:

                                      

              

     Ответ: .

 

 

         §3.Неравенство с двумя радикалами.

        

         Утверждение 5.

         Имеют место следующие эквивалентности, упрощающие задачи с двумя радикалами.

             

I.      

               

    

 

II. (а)   (буква «с» обозначает положительную константу)

                                              

        

Возможен другой путь:

             

        

                      

    

                

                  

    (б)

               

    

                   

 

Возможен другой путь:

        

              

    

 

 

I. (a)              

                      

 

(б)  

                

   

             

         Возводить разность радикалов в квадрат, даже с правильным учетом всех случаев, не советуем, т. к. этот путь явно проигрывает в сравнении с вышеуказанным.

         Доказательства эквивалентностей оставляем на усмотрение читателя

 

 

         §4.Примеры записи решений задач

              с двумя радикалами

                  

         Пример 7. Решить неравенство:

                       

         Решение:

              

                      

   

  Ответ: .

 

Пример 8. Решить неравенство:

Решение:

                  

        

  Ответ: .

 

 

         Пример 9.   Решить неравенство:  

 Решение:

                                                                  

                                                                       

    

                                                                  

      

                                                             

              

                   

      

                                                                 

       

   Ответ: .

 

 

  Пример 10.   Решить неравенство:  

Решение:

   

Ответ:

 

 

     Пример 11. Решить неравенство:

         

    Решение:

   

             

    

         

      

                                                             

        

                                                             

                                    

                                                             

                                                              

             

   

     

    

Ответ: .