Дискретизация по критерию наибольшего отклонения

В процессе дискретизации непрерывная функция , которая имеет  ограниченных производных, аппроксимируется многочленом й степени. В зависимости от выбранного способа восстановления он может быть аппроксимирующим или экстраполирующим. Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно указывается её допустимое значение .

Погрешность восстановления  функции  многочленом  на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом

.

Следовательно, шаг дискретизации должен быть выбран из условия .

 

 

 

 

Выбор аппроксимирующего многочлена более высокой степени при малой допустимой погрешности  обеспечивает меньшее число отсчётов, однако при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой, первой и второй степеней.

В качестве интерполирующего многочлена чаще других используются многочлены Лагранжа, в качестве экстраполирующих – многочлены Тейлора.

Дискретизация с использованием интерполирующих многочленов Лагранжа. Интерполирующий многочлен Лагранжа при равномерной дискретизации может быть записан в виде

,

где , , .

Значение остаточного члена

,

где максимальный во всём интервале преобразования модуль производной сигнала .

Дискретизация с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора определяется выражением

,

где я производная сигнала  в момент времени .

Оценка снизу для остаточного члена имеет вид

, .

 

АДАПТИВНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ

Если ранее рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации были рассчитаны на все множества возможных реализаций сигнала и потому опирались на предельные значений его динамических характеристик, то при адаптивной дискретизации мы ориентируемся на динамические характеристики конкретной реализации, что позволяет получить минимальное число выборок, обеспечивающих восстановление этой реализации с заданной точностью.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала .

Наиболее широкое применение на практике получили алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. В процессе последовательного наращивания интервала аппроксимации производится сравнение сигнала  с воспроизводящей функцией , формируемой с учётом текущих значений динамических характеристик сигнала. Когда погрешность воспроизведения достигает заданного значения , наращивание интервала прекращается и производится отсчёт. Интервалы времени между отсчётами при этом оказываются произвольными.

В качестве воспроизводящих функций наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы нулевой и первой степеней

 

или

   ,

где действительные коэффициенты.

При этом возможны как интерполяционные, так и экстраполяционные способы адаптивной дискретизации. Интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации м выполнением большого числа вычислительных операций.

КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛА

Так как математической моделью непрерывного сигнала является случайный процесс , мгновенное значение сигнала  представляет собой случайную величину. Диапазон её изменения, называемый непрерывной шкалой мгновенных значений сигнала ограничен значениями  и , что отражает условие физической реализуемости сигнала. Непрерывную шкалу мгновенных значений

   

сигнала разбивают на  интервалов, которые называют шагами квантования. Границами шагов квантования являются значения . Из множества мгновенных значений, которые принадлежат му шагу квантования , только одно значение  является разрешенным ( й уровень квантования). Любое другое из указанного множества значений округляется до . Совокупность величин  образует дискретную шкалу уровней квантования. Если эта шкала равномерная, т.е. разности значений

      

постоянна на всём протяжении непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала , квантование называют равномерным. Если постоянство значений  не выдерживается – квантование неравномерное. Благодаря простоте технической реализации равномерное квантование получило наиболее широкое распространение.

В результате замены мгновенного значений сигнала  соответствующим уровнем квантования  возникает погрешность

  ,

которую называют ошибкой квантования. Эта погрешность является случайной величиной. Но чаще всего интересует её максимальное значение

    

и среднеквадратическое отклонение  от всего диапазона изменения мгновенных значений сигнала. Используются также приведенные значения этих величин

   ,

 

    .

С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантования непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на  одинаковых шагов квантования

  

и уровни квантования разместить в середине каждого шага. при этом максимальная ошибка квантования не превышает . Если каждый уровень квантования выбран равным нижней (верхней) границе шага квантования, максимальная ошибка квантования возрастает до величины .

 

Рис.

Среднеквадратическое отклонение ошибки квантования для го шага  зависит не только от шага  и расположения в нём уровня квантования, но и от закона распределения мгновенных значений сигнала в пределах этого шага

,

где функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала .

Считая шаги квантования малыми по сравнению с диапазоном изменения сигнала, плотности  в пределах каждого го шага можно принять постоянной и равной некоторому среднему значению, например . При таких предположениях минимальная среднеквадратическая ошибка  достигается при расположении уровня квантования в середине шага

.

Преобразовав подкоренное выражение к виду

,

отметим, что дисперсия ошибки квантования на м шаге равна   равномерно распределенного на этом шаге сигнала, умноженной на вероятность  попадания мгновенного значений сигнала в пределы данного шага. Дисперсия полной ошибки квантования  для всей непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала определяется как математическое ожидание дисперсий  на отдельных шагах квантования:

.

При одинаковых шагах квантования

.

Так как принимаем

,

то

.

Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещением уровней квантования в середине шага (равномерное квантование) среднеквадратическая ошибка квантования как для равномерного, так и произвольного распределения мгновенных значений сигнала одинакова:

.

Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню случайный процесс заменяется ступенчатой зависимостью . Ошибку квантования , которая изменяется во времени и также представляет собой случайный процесс, называют шумом квантования:

.

Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и равномерности распределения в нём мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы  и  эргодическими, среднеквадратическую ошибку равномерного квантования  можно определить по реализации  (рис.). В пределах каждого квантования  зависимость  заменяется прямой , где переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середине каждого шага математическое ожидание ошибки равно нулю, а её среднеквадратическое значение определяется выражением

.

 

 

Так как , то , что соответствует ранее полученному значению (см. выражение (33.7)).

При заданной допустимой среднеквадратической ошибке квантовании и отсутствии помех число уровней квантования находим из соотношения

.

Однако при неравномерном законе распределение мгновенных значений сигнала квантование с постоянным шагом не является оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки . Квантуя участки с менее вероятными значениями сигнала с большим шагом, указанное значение среднеквадратической ошибки можно уменьшить.