Теоретические и практические аспекты использования теоремы котельникова

Соотношения, приведенные выше, как и другие разложения функции, имеют прежде всего теоретическое значений и используются при решении различных задач анализа и синтеза систем связи. В частности, они позволили подойти к вопросу передачи непрерывных и дискретных сигналов с единых позиций.

При этом мы оперируем с математическими абстракциями. Бесконечно протяженную во времени функцию (а только такая и может иметь ограниченный спектр), представляем суммой бесконечного числа бесконечно протяженных во времени составляющих функций (функции отсчётов).

Процедура теоретического восстановления конкретной реализации  по её отсчётам сводится к следующему.

На передающей стороне в исходной непрерывной функции  через интервалы времени  определяются мгновенные значения  и передаются в канал связи в виде импульсов с амплитудами  и бесконечно малой длительностью , имеющих площади ,равные . На приёмной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр частот, у которого частота среза равна . При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал .

Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам, равно как и попытки организовать на её основе технический способ дискретной передачи непрерывных сигналов, наталкивается на ряд принципиальных трудностей.

Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность  и, следовательно, при представлении его в частотной области обладает неограниченным спектром.

Однако в силу свойств реальных источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных каналов спектр с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой частотой . Обычно она определяется на основе энергетического критерия. Спектр ограничивается областью частот от 0 до , в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала (80-95%). Такое ограничение спектра, естественно, приводит к искажению сигнала. Относительная точность воспроизведения сигнала  может быть определена из соотношения

,

где энергия отброшенных высокочастотных составляющих сигнала; полная энергия сигнала.

Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала, по отсчётам, полученным по теорем Котельникова при условии ограничения спектра сигнала, возможно только приближенно. Ошибка возникает не только за сёт принудительного ограничения спектра, но и за счёт конечного числа отсчётов в интервале времени , которых в соответствии с теоремой Котельникова будет . Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчёта. соответствующих выборкам за пределами интервала  (рис....)

Модель сигнала с ограниченным спектром имеет еще одно теоретическое неудобство. Она не может отображать основное свойство сигнала – способность нести информацию. Причина – возможность теоретического предсказания поведения функции с ограниченным спектром на всей оси времени, если она точно известна на сколь угодно малом отрезке времени.

Указанные принципиальные трудности устраняются, если рассматривать теорему Котельникова как приближенную для функций с неограниченным спектром.

Во-вторых, предполагаемая процедура восстановления вносит весьма существенную дополнительную погрешность. Она возникает потому, что невозможно обеспечить создание импульсов бесконечно малой длительности, как невозможно осуществить их передачу по реальным каналам связи. Кроме того, максимум выходного сигнала, соответствующего реакции идеального фильтра низких частот на дельта-импульс, запаздывает на время, равное бесконечности. За конечное время  (рис.)каждая функция отсчёта, а следовательно, и их сумма, представляющая собой исходный непрерывный сигнал, будут сформированы лишь приближенно и тем грубее, чем меньше .

Суммарная погрешность, которая возникает при приемлемой сложности средств технической реализации указанного способа передачи делает его малопригодным для практического использования при восстановлении сигнала даже в случае отсутствия помех в канале связи.

Модель сигнала с ограниченным спектром имеет еще одно теоретическое неудобство. Она не может отображать основное свойство сигнала – способность нести информацию. Причина – возможность теоретического предсказания поведения функции с ограниченным спектром на всей оси времени, если она точно известна на сколь угодно малом отрезке времени.

Указанные принципиальные трудности устраняются, если рассматривать теорему Котельникова как приближенную для функций с неограниченным спектром.

Во-вторых, предполагаемая процедура восстановления вносит весьма существенную дополнительную погрешность. Она возникает потому, что невозможно обеспечить создание импульсов бесконечно малой длительности, как невозможно осуществить их передачу по реальным каналам связи. Кроме того, максимум выходного сигнала, соответствующего реакции идеального фильтра низких частот на дельта-импульс, запаздывает на время, равное бесконечности. За конечное время  (рис.)каждая функция отсчёта, а следовательно, и их сумма, представляющая собой исходный непрерывный сигнал, будут сформированы лишь приближенно и тем грубее, чем меньше .

Суммарная погрешность, которая возникает при приемлемой сложности средств технической реализации указанного способа передачи делает его малопригодным для практического использования при восстановлении сигнала даже в случае отсутствия помех в канале связи.

Следует отметить, что в процессе преобразования сигнала в цифровую форму критерий Котельникова используется весьма широко.