Работа, затрачиваемая на вращение

КОЛЕСА СТУПЕНИ

Рис. 3.5. К выводу формулы Эйлера

Полагая поверхности тока при течении воздуха через ступень цилиндрическими, рассмотрим элемент ступени, заключенный между двумя такими поверхностями, расположенными на малом расстоянии друг от друга. Такой элемент часто называют элементарной ступенью.

Изобразим решетку профилей, представляющую собой развертку сечения лопаток РК в элементарной ступени цилиндрической поверхностью на плоскость рисунка (рис. 3.5).

Линия т-п, соединяющая передние кромки всех профилей, называется фронтом решетки, а расстояние t между одинаково расположенными точками соседних профилей – шагом решетки.

Поворот потока воздуха в рабочем колесе сопровождается воз­никновением на каждой лопатке аэродинамической силы , направленной от вогнутой к выпуклой поверхности профиля.

Примем следующие обозначения: Р _u - окружная составляющая аэродинамической силы, направленная параллельно вектору окружной скорости, а

Р_а - осевая составляющая аэродинамической силы, направленная вдоль оси ступени.

Осевая составляющая Р_а передается на упорный подшипник вала компрессора. Окружная составляющая Р _u направлена против движения лопаток колеса и стремится замедлить их вращение. Поэтому для поддержания постоянной частоты вращения ротора к валу компрессора должен быть приложен соответствующий крутящий момент. Работа, затрачиваемая в единицу времени, равна произведению этой силы на перемещение профиля в единицу времени, т.е. на его скорость. А в расчете на единицу массы воздуха, проходящего через элементарную ступень в единицу времени, (т.е. в Дж/кг) получим

,                                              (3.1)

где - расход воздуха через элементарную ступень.

Для определения силы Р _u используем теорему Эйлера о количестве движения.

Выделим в потоке, обтекающем один из профилей решетки, объем, ограниченный контрольной поверхностью, которая состоит из:

– двух поверхностей тока 1 - 2 и 1' - 2', отстоящих друг от друга на величину шага t (см. рис. 3.1);

– двух плоскостей 1 - 1 ' и 2 - 2', параллельных фронту решетки;

– двух плоскостей, параллельных плоскости рисунка и расположенных друг от друга на небольшом расстоянии Δ r.

Учтем, что если сила, действующая на лопатку PK со стороны обтекающего её потока, равна , то сила, с которой лопатка воздействует на поток воздуха в выделенном объеме, равна .

Согласно теореме Эйлера, сумма всех сил, действующих на выделенный объем воздуха, должна быть равна разности количеств движения потоков, вытекающих и втекающих в этот объем в единицу времени. При этом силы, действующие на поверхностях 1 - 2 и 1' - 2', вследствие периодичности потока в точности компенсируют друг друга, а расход воздуха через эти поверхности равен нулю. Таким образом, кроме силы Р' будут подлежать учету только количества движения и силы давления воздуха в сечениях 1 - 1' и 2 - 2'.

Тогда, для окружной и осевой составляющих силы  получим:

,                         (3.2)

где  - расход воздуха через контрольную поверхность.

С учетом (4.1) можно записать:

.                        (3.3)

Таким образом, работа, затрачиваемая на вращение элемента колеса ступени осевого компрессора, при цилиндрической поверхности тока равна произведению окружной скорости «u» и закрутки воздуха в колесе .

Так как при цилиндрических поверхностях тока  и , то

.                                        (3.4)

Формулы (3.3) и (3.4) определяют элементарную работу вращения L_u в одном сечении ступени компрессора.

Работа, затрачиваемая на вращение колеса ступенив целом, может быть найдена путем интегрирования её значений для каждой элементарной ступени (с учетом расхода воздуха через неё) с последующим отношением результата интегрирования ко всему массовому расходу воздуха через ступень G _в, т.е.

.                                       (3.5)