Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности

Практическое занятие № 6

Тема: «Решение задач на нахождение вероятности случайного события. »

Цель: 1.Сформировать навыки решения задач на нахождение вероятности случайного события.

2. Способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания.

3. Способствовать привитию сознательного приобретения новых знаний по теме.

Теоретические сведения к практической работе:

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других(т.е. не могут происходить одновременно).

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

  Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

  Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

  В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

  Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

       Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

       Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

  Определение. Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

  Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

  Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

  Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

 

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

           

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

       Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

 

       Теорема. (умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

 

       Также можно записать:

 

       Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

 

       В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

 

 

 

       Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

       Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

 

       Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .

Методические указания к выполнению заданий:

Теорема 1

Теорема 2

Теорема 3

Теорема 4

Практическое занятие № 6

Тема: «Решение задач на нахождение вероятности случайного события. »

Цель: 1.Сформировать навыки решения задач на нахождение вероятности случайного события.

2. Способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания.

3. Способствовать привитию сознательного приобретения новых знаний по теме.

Теоретические сведения к практической работе:

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других(т.е. не могут происходить одновременно).

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

  Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

  Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

  В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

  Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

       Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

       Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

  Определение. Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

  Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

  Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

  Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

 

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

           

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

       Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

 

       Теорема. (умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

 

       Также можно записать:

 

       Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

 

       В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

 

 

 

       Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

       Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

 

       Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .

Методические указания к выполнению заданий:

Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности