Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
П. 53. Гиперкомплексные числовые системы. Кватернионы.
Если по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида из пары комплексных чисел, где второе умножено ещё на какой-то объект , то получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.
При этом это мы изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей. Получается антикоммутативная система с умножением: , , , , , . . Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным.
Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.
Обратите внимание, что законы умножения в системе кватернионов , , легко запомнить, если представить с помощью цикла: При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Ещё обратите внимание, что мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. Там тоже , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикуляр к ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка. Векторное умножение было придумано Гамильтоном в 1843 году одновременно с системой кватернионов.
Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если то . При этом , то есть можно также ввести понятие модуля кватерниона: = . Подробнее о том, почему получается . = = но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся . «Тело кватернионов». Кватернионы не образуют поле, так как умножение не коммутативно.
В конце пары: сам. работа 20 минут по алг. операциям
Дополнительно: 1. Установите изоморфизм групп: всех комплексных корней степени n из единицы и вычетов по модулю n. 2. Сколько существует различных матриц порядка n над полем вычетов ? 3. Привести пример обратимой матрицы порядка 2 над полем вычетов , найти обратную. 4. Доказать, что многочлен может иметь больше, чем 3 корня, в кольце вычетов. Найти пример кольца вычетов, в котором он имеет 4 различных корня. 5. Решить систему уравнений 3 порядка в поле : 6. Доказать, что алгебра матриц вида
изоморфна алгебре кватернионов. 7 Zn (n не простое) построить систему, не имеющую решений.
Практика 5 Линейные пространства. Задача 54. Являются ли линейно зависимыми функций: а) . б) . в) г) Решение. Если система функций ЛЗС, то очевидно, что система функций, состоящая из их производных, тоже ЛЗС. . Аналогичное верно для производных любого порядка. Далее, проведём решение с помощью определителя Вронского. На лекции мы уже ввели понятие определителя и изучили его свойства. В частности, определитель равен 0 его строки (столбцы) образуют линейно зависимую систему векторов (см. свойство 9). Если мы достроим до квадратной матрицы, добавляя во 2-й строке производные, в 3-й вторые производные и т.д., то столбцы будут образовывать ЛЗС система функций ЛЗС. Такой определитель называется определителем Вронского:
. Значит, мы можем проверить линейную зависимость системы функций с помощью определителя (если он тождественно равен 0, то ЛЗС). а) . . б) . = = = , не равно тождественно нулевой функции, система линейно-независима, ЛНС. Можно было рассуждать иначе, без определителя: Пусть , тогда было бы тождественно , что невозможно, поэтому система ЛНС. в) = = , при эта функция не равна тождественно 0. Система ЛНС. г) . Система ЛНС. Задача 55. Являются ли линейно зависимыми функции: . Решение. Мы тоже могли бы решать с помощью определителя Вронского, однако рассмотрим и другой метод. Покажем, что линейная комбинация синуса и косинуса разных амплитуд равна косинусу с другой фазой (это будет впоследствии нужно и при изучении рядов Фурье). = = = . Итак, третья функция линейно выражается через первые две, значит, система ЛЗС. Решить с помощью W(x) - дом задание.
Задача 56. Доказать, что пересечение подпространств является подпространством. Решение. Пусть являются подпространствами . Если элементы принадлежат пересечению, , то они принадлежат любому из . Но каждое является подпространством, следовательно, , . Тогда , . Задача 57. Доказать, что множество квадратных матриц 2 порядка образует 4-мерное пространство, найти какой-либо его базис.
Решение. Абелева группа (проверяли ранее) по сложению. Свойства умножения на константы: 1) . 2) 3а) 3б) . Базис: A= , B= , C= , D= . Всякая матрица может быть представлена в виде . Замечание. Пространство квадратных матриц порядка имеет размерность , пространство прямоугольных матриц размера - размерность .
Задача 58. 1) Множество многочленов степени не выше n образует линейное пространство (доказано в лекциях). Каковы его размерность, базис? 2) Доказать, что множество многочленов также является базисом. Решение. . Базис . Размерность n+1. Линейную независимость этой системы можно проверить с помощью определителя: = . 2) = Каждый многочлен можно разложить не только по основному, но и по другому базису. Так, например, = = . Приближённое выражение произвольной функции с помощью степенных выражает формула Тейлора: - обобщение понятия касательной. Если рассмотреть только до 1-й степени, это уравнение касательной.
Если продолжить этот процесс до бесконечности, получили бы ряд Тейлора: Для многочлена, начиная с некоторого порядка, производные станут 0, поэтому ряд конечный, и формула Тейлора задаёт не приближённо, а точно. В то же время, это способ задать многочлен по другому основанию. Задача 59. а) разложить многочлен по степеням . б) разложить многочлен по степеням . Решение. а)
Подставляем в формулу Тейлора. = . Проверка: = = . б)
= = . Проверка: = = . Замечание. Множество всех многочленов степени ровно n не образует линейное пространство: если старший коэффициент одинаковый, то разность имеет степень меньше n.
- - - Перерыв - - -
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-17; просмотров: 145; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.218.147 (0.041 с.) |