Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математические модели динамических объектов
Моделирование динамического объекта начинается с установления его типа: стационарный или нестационарный, линейный или нелинейный. Линейные стационарные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты линейных дифференциальных уравнений являются функциями независимых переменных, то объект относится к классу линейных нестационарных. Нелинейные стационарные объекты описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, а нелинейные нестационарные — нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами. В изучаемом курсе рассматриваются модели линейных объектов. Аналитическое представление модели динамического объекта в виде дифференциального уравнения не является единственно возможным. Для систем автоматического регулирования принято представление модели в виде типовых линейных и нелинейных звеньев и их передаточных функций. Примером линейного стационарного динамического объекта является электрическая цепь, содержащая активные и реактивные элементы, (рисунок 2). Рисунок 2 – Схема электрической цепи
Переходный процесс при замыкании ключа в такой цепи описывается дифференциальным уравнением , (8) в котором i и Е являются функциями времени, а параметры цепи L и R — постоянными коэффициентами. В качестве другого примера рассмотрим движение механизма, имеющего приведенный момент инерции I и момент нагрузки Мнагр, в общем случае переменный. Механизм приводится в движение моментом двигателя М, (рисунок 3) Рисунок 3- Расчётная схема механизма Изменение угловой скорости механизма w описывается дифференциальными уравнениями, называемыми уравнениями движения Математическими моделями объектов в приведенных примерах являются дифференциальные уравнения первого порядка. Такие уравнения имеют семейства решений. Чтобы выбрать одно решение из многих, необходимо знать начальное значение функции, то есть ее значение в начальный момент времени. В общем виде можно записать y¢ = ¦ (y, t) y (t0) = y0. (10) Задача определения значений у для будущих значений t>t0 называется задачей Коши.
Вопросы для самопроверки 1. Какие динамические объекты относятся к линейным? 2. Какие динамические объекты относятся к стационарным? 3. Приведите математическую формулировку задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.? 4. Приведите примеры использования дифференциальных уравнений в профессиональной деятельности? Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лишь очень немногие дифференциальные уравнения могут быть решены точно, аналитическими методами, и поэтому обычно необходимо приближать решение численными методами. Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y¢ = ¦ (y, t), удовлетворяющее начальному условию y (t0) = y0. Численное решение задачи состоит в нахождении значений y1, y2, …yn функции (y(t) в точках t1, t2,...tn). Точки t1, t2,...tn называют узлами сетки, а расстояние между ними — шагом. Часто решение выполняют с постоянным шагом, тогда t1 = t0 + ih, (11) где i = 1, 2,... n, h — шаг сетки. Рассмотрим два метода. Одношаговым называется метод, в котором для расчетов следующей точки требуется информация только о последней вычислительной точке. Первый из рассматриваемых методов — метод Эйлера. В методе Эйлера каждое следующее значение функции вычисляется по предыдущему по формуле: yi+1 = yi + hצ(yi, ti), i = 1, 2,... n, (12) Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий метод Эйлера приведен в приложении Б. Другим распространенным одношаговым методом является метод Рунге-Кутта. В этом методе величину yi+1 вычисляют по следующим формулам: yi+1 = yi + hצ(yi, ti), i = 1, 2,... n, (13) где k1 = ¦(yi, ti); k2 = ¦(yi + , ti + ); k3 = ¦(yi + , ti + ); k4 = ¦(yi + h k3, ti + h);
Для оценки погрешности метода часто используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления с шагом h и c шагом h/2. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают, в противном случае берут половинный шаг.
Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий метод Рунге-Кутта, приведен в приложении Б. Вопросы для самопроверки
1. Что называется сеткой и шагом метода? 2. Какие методы называются одношаговыми? 3. Приведите расчетную формулу метода Эйлера. Сколько вычислений приходится на одном шаге? 4. Приведите расчетные формулы метода Рунге-Кутта. Сколько вычислений производится на одном шаге? 5. Как оценить погрешность решения?
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 113; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.47.253 (0.009 с.) |