Деление отрезка в данном отношении

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении λ.  Тогда АС = λ×СВ. Это равенство эквивалентно равенству ОС–ОА = λ×(ОВ–ОС), в комплексных координатах с – а = λ×(b–c). Решаем относительно с и получаем:

 

Если λ=1, то С – середина отрезка и равенство принимает вид: с=0,5(a+b).

 

Расстояние между двумя точками и уравнение окружности

Длину отрезка можно определить аналогично тому, как это выполняется с помощью векторов. Если А(а), В(b), то АВ=ВА=|a–b|.

Зная квадрат модуля числа и произведение комплексно сопряженных чисел, получаем:

Тогда квадрат длины можно представить так:

Пусть некоторое число z = x + y×i, произведение этого числа на сопряженное равно х²+у². Тогда уравнение для окружности с центром в начале координат и радиусом r можно записать так:

Для окружности с центром в некоторой точке А(а) уравнение выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Пусть имеются точки А(а) и В(b). Найдем скалярное произведение векторов ОА×ОВ:

То есть:                          .

Теперь рассмотрим скалярное произведение не радиус-векторов. Пусть имеются также точки С(с) и D(d). Скалярное произведение АВ×СD:

 

         Теперь, используя формулу скалярного произведения радиус-векторов, получаем:

 

 

Коллинеарность векторов

Для начала определимся с понятиями сонаправленных и противоположно направленных векторов. Если векторы сонаправлены, то углы образованные пересечением с действительной осью у таких векторов равны. Действительно, так как прямые их содержащие являются параллельными, то соответственные углы равны. На комплексной плоскости это означает, что для данных точек А(а) и В(b) векторы ОА и ОВ сонаправлены, если arg a = arg b (или arg a/b=0). Очевидно, если векторы противоположно направлены, то их углы будут отличаться не на 0⁰, а на ±180⁰ или на ±π, то есть arg a/b=±π. Но числа с аргументами 0, ±π являются действительными (точки им соответствующие лежат на действительной оси). Отсюда получаем критерий коллинеарности точек А(а) и В(b) с точкой начала координат: необходимо и достаточно, чтобы a/b являлось действительным числом.

Теперь возьмем точки А(a), B(b), D(d), C(c), рассмотрим критерий коллинеарности векторов ВА и DC. Их комплексные координаты а – b, c – d соответственно. Тогда получаем формулу:

 

 

То есть данное частное должно быть действительным числом.

Как следствие определим условие коллинеарности для векторов имеющих общую точку, можно сказать условие принадлежности трех точек одной прямой. Для точек A(a), B(b) и C(c) формула примет вид:

 

Перпендикулярность векторов

Рассуждения на тему перпендикулярных векторов весьма схожи с коллинеарностью векторов. Пусть даны точки A(a), B(b), тогда, если ОА перпендикулярен ОВ, то это означает, что arg a/b = ±π/2. Но комплексное число с аргументом ±π/2 является чисто мнимым.

Для векторов не связанных с началом координат критерий перпендикулярности, аналогично предыдущему параграфу находится так:

 

То есть это частное является чисто мнимым числом.