Глава 46. Полимино и «прочные» Прямоугольники

 

В главе 12 уже говорилось о полимино и его создателе С. Голомбе. После опубликования статьи о полимино на страницах журнала Scientific American A957) игра стала необыкновенно популярным математическим развлечением. Обнаружились сотни новых задач и причудливых конфигураций полимино. О них и пойдет здесь речь.

Напомним, что фигуры, которыми на шахматной доске можно покрыть пять соседних клеток, образующих связную область, носят название пентамино. Существует двенадцать таких фигур. Если эти фигуры расположить так, как показано на рис. 234, то становится видно, что каждая фигура по форме напоминает какую-нибудь латинскую букву, поэтому для запоминания формы и названия фигур (каждую фигуру мы будем называть какой-нибудь буквой) достаточно знать конец латинского алфавита (Т, U, V, W, X, Y, Z) и слово FiLiPiNo.

 

Рис. 234

 

В главе 12 (см. рис. 71) было показано, что из двенадцати элементов пентамино общей площадью в 60 квадратиков можно сложить прямоугольники четырех размеров: 3х20, 4х15, 5х12 и 6х10. Те же 12 фигур можно уложить на шахматной доске размером 8x8, причем квадрат из четырех лишних клеток (площадь доски равна 64 квадратикам) может находиться в любом месте доски.

Любой элемент пентамино можно утроить с помощью каких-нибудь девяти фигур из числа оставшихся (подразумевается, что из этих девяти пентамино будет сложена фигура, подобная выбранной, но в три раза выше и длиннее). Из двенадцати пентамино можно еще построить два прямоугольника 5x6. Последняя задача носит название задачи на суперпозицию, потому что построенные фигуры можно наложить друг на друга. Голомб сообщил мне пять новых задач на суперпозицию, которые впервые публикуются в этой книге. Если читатель до сих пор не понял всей прелести пентамино, ему необходимо вырезать из картона набор элементов пентамино и поломать голову над некоторыми из приведенных ниже задач.

Во всех головоломках элементы пентамино можно класть на плоскость любой стороной.

1. Разбейте двенадцать пентамино на три группы по четыре элемента в каждой. Затем найдите фигуру площадью в 20 квадратиков, которую можно сложить из элементов каждой группы. Одно из возможных решений изображено на рис. 235.

 

Рис. 235

 

2. Разбейте двенадцать пентамино на три группы по четыре элемента. Каждую группу разделите пополам и найдите такую фигуру (для каждой группы свою), имеющую площадь в 10 квадратиков, которую можно сложить из обеих пар элементов в отдельности.

Одно из решений показано на рис. 236. Можете ли вы придумать другие решения, чтобы хотя бы в одном из них фигуры не имели отверстий?

 

Рис. 236

 

3. Разбейте двенадцать пентамино на три группы по четыре элемента. К каждой группе добавьте мономино (один квадратик) и постройте прямоугольник размером 3x7. Как это сделать, показано на рис. 237.

 

Рис. 237

 

Решение единственно с одной лишь оговоркой: в первом прямоугольнике мономино и элемент Y пентамино можно переворачивать, не меняя общей формы и площади составленной из них односвязной фигуры.

Доказать единственность решения можно следующим образом.

Прежде всего заметим, что на рис. 238 элемент X должен обязательно использоваться в паре с элементом U. Ни элемент F, ни элемент W не годятся для того, чтобы завершить построение прямоугольника.

 

Рис. 238

 

Если элемент X дополнить элементом U, то в том же самом прямоугольнике 3x7 уже нельзя будет использовать элементы F и W. Следовательно, из трех прямоугольников размером 3 х 7 в одном будут использованы элементы X и U, второй будет содержать элемент W (но не U), а третий — элемент F (но не U). Если теперь перебрать все возможные варианты прямоугольников и сравнить их (это отнимет у вас достаточно много времени), то окажется, что предполагаемое решение (см. рис. 237) единственно.

4. Разбейте двенадцать пентамино на четыре группы по три элемента в каждой. Найдите такой многоугольник площадью в 15 квадратов, который можно сложить из трех элементов каждой группы.

Решение этой головоломки неизвестно; с другой стороны, никто до сих пор не доказал, что задача неразрешима.

5. Найдите на шахматной доске область минимального размера, на которой умещается любой из двенадцати элементов пентамино.

Минимальная площадь такой области равна девяти квадратам, и известно всего две ее формы (рис. 239).

 

Рис. 239

 

Каждая фигура рис. 239 удовлетворяет поставленным условиям; для доказательства достаточно заметить, что на ней умещается любой элемент пентамино. Доказательство того, что число квадратов не может быть меньше девяти, проводится следующим образом.

Если бы годилась фигура, содержащая меньше девяти квадратов, то элементами I, X и V можно было бы закрыть не более восьми квадратов. При этом у элементов I и X было бы три общих квадрата. (В противном случае либо потребовалось бы девять квадратов, либо, что было бы излишней роскошью, самая длинная прямая состояла бы из шести квадратов.) Этого можно достичь всего лишь двумя разными способами (рис. 240), но в том и в другом случае нужен еще и девятый квадрат, чтобы уместить элемент U.

 

Рис. 240

 

Таким образом, восьми квадратов не хватает, в то время как из приведенных примеров видно, что девяти квадратов достаточно.

С появлением компьютеров задачи с пентамино начали исследовать на них. В главе 12 уже упоминалось о том, как Дана Скотт с помощью компьютера нашла все способы составления из двенадцати элементов пентамино шахматной доски размером 8х8 с квадратным отверстием в четыре клетки в центре. Было найдено 65 принципиально различных решений (два решения, получающиеся одно из другого поворотом или отражением, считаются одинаковыми). К. Б. Хейселгроув, математик из Манчестерского университета, перечислил с помощью компьютера все возможные варианты прямоугольника размером 6х10, сложенного из двенадцати пентамино. Он нашел 2389 различных решений, не считая тех, которые получаются друг из друга поворотами и отражениями! Кроме того, он проверил программу, составленную Даной Скотт для шахматной доски 8x8.

Из пентамино получаются прекрасные головоломки. На рис. 241,а изображена пирамида из 64 клеток, которую можно сложить из двенадцати элементов пентамино и квадратного тетрамино 2x2.

Необыкновенно сложно собрать из двенадцати пентамино крест, показанный на рис. 241,б. Для фигуры, изображенной на рис. 241,в, решения до сих пор не найдено (никто ее не сложил, но и невозможность построения тоже не доказана). Даже для случая, когда отверстие в форме мономино вырезано в другом месте, решения тоже не найдено. Рис. 241,г представляет собой фигуру, наиболее близкую по форме к предыдущей. По-видимому, также неразрешима головоломка Герберта Тейлора, показанная на рис. 241,д; правда, до сих пор никому не удалось доказать, что решения не существует.

К счастью, не все нерешенные задачи окутаны мраком неизвестности. Так, Т. М. Робинсон доказал, что, например, фигуру, которая изображена на рис. 241, е, нельзя сложить из двенадцати пентамино.

 

Рис. 241

 

С краев она ограничена 22 квадратами, а если внимательно изучить элементы пентамино и выписать, сколько квадратов каждого элемента может находиться на краю складываемой фигуры, то в сумме для всех элементов это число окажется равным 21, то есть на единицу меньше, чем надо. Такой способ рассуждений обычно используется в головоломках о складывании зигзагообразных брусочков. (На бумаге или картоне надо нарисовать прямоугольник с пилообразным краем и разрезать его на куски любой формы. Перемешайте куски и попробуйте сложить из них первоначальный прямоугольник.) Обычно различают внутренние и внешние части фигуры и в первую очередь стараются сложить края головоломки.

Полимино, занимающие четыре квадрата шахматной доски, называются тетрамино. В отличие от пентамино из пяти его различных элементов нельзя сложить прямоугольник. Для доказательства раскрасим в шахматном порядке прямоугольники площадью в 20 квадратов — их всего два: 4х5 и 2х10 (рис. 242).

 

Рис. 242

 

Четырьмя из пяти элементов тетрамино можно накрыть два черных и два белых квадрата (рис. 243), а пятый, Т-образный элемент, всегда покрывает три квадрата одного цвета и один — другого.

 

Рис. 243

 

Поэтому все пять фигур тетрамино вместе занимают область, состоящую из нечетного числа квадратов каждого цвета, а оба прямоугольника, о которых идет речь, содержат по 10 квадратов каждого цвета, то есть состоят из четного числа квадратов.

С другой стороны, если взять несколько разных элементов пентамино, то любой из них вместе с пятью тетрамино образует набор, из которого можно построить квадрат размером 5x5. Два примера таких построений показаны на рис. 244.

 

Рис. 244

 

Возникает интересный вопрос: сколько разных пентамино можно использовать для этой цели?

Аспирант-математик Орегонского университета Р. Джуэтт предложил задачу о домино (полимино из двух квадратов), совершенно непохожую на те задачи, которыми мы занимались до сих пор. Существует ли такой прямоугольник, сложенный из костей домино, в котором нельзя провести ни вертикальную, ни горизонтальную прямую, соединяющую противоположные стороны? В прямоугольнике, изображенном на рис. 245, для примера такая линия проведена между верхним и нижним основаниями. Если представить себе, что вместо домино взяты кирпичи, то существование такой линии («шва») будет свидетельствовать о непрочной кладке.

 

Рис. 245

 

Таким образом, задача Джуэтта сводится к вопросу о том, как надо класть прямоугольные кирпичи, чтобы постройка не развалилась.

Соответствующие прямоугольники мы в дальнейшем будем называть «прочными» прямоугольниками. Очень многие, взявшись за эту задачу, вскоре сдаются, уверенные, что она неразрешима; на самом же деле существует бесконечное множество ее решений.

Я предлагаю читателю вооружиться набором домино (более чем достаточно взять обычный комплект из 28 костей) и попытаться определить размеры самого маленького из «прочных» прямоугольников, который можно из них сложить.

С тех пор как эта глава появилась в Scientific American, в изучении полимино и «прочных» прямоугольников произошли большие изменения. В 1965 году вышла книга Голомба «Полимино», в которой проводится тщательное исследование предмета.[77]

Выяснилось, что головоломка Г. Тейлора (рис. 241, д) и зубчатый квадрат (рис. 241, в) неразрешимы; однако ни для той, ни для другой фигуры до сих пор не найдено краткого и изящного доказательства невозможности их построения.

Можно сложить зубчатый квадрат, в котором мономино (отверстие) находится на краю, рядом с углом или в углу. Найдены шестнадцать разных решений последнего типа. Однако пока не известно, может ли мономино отстоять от угла дальше чем на одну клетку.

Пэттон, много лет занимающийся «прочными» прямоугольниками, составленными из домино, прислал мне новые интересные задачи. Каковы, например, минимальные размеры «прочного» прямоугольника, в котором одинаковое число костей домино расположено по вертикали и горизонтали? Может быть, читателю захочется самому найти решение, поэтому я привожу только ответ: размер прямоугольника 5x8.

Складывая из домино «прочные» квадраты, можно придумать массу игр, которые, насколько мне известно, совсем не изучены.

Например, противники кладут по очереди домино на квадратную шахматную доску. Выигрывает тот, кто первым построит вертикальную и горизонтальную линии «потери прочности» или наоборот: тот, кто первым построит такие линии, проигрывает.

 

Ответы  

На рис. 246 и 247 показано, как можно сложить пирамиду и крест.

 

Рис. 246 Как сложить пирамиду.

 

 

Рис. 247 Как выложить крест.

 

Оба решения не являются единственными.

Для определения того, какой элемент пентамино надо добавить к пяти тетрамино, чтобы из всех шести фигур можно было построить квадрат размером 5x5, годятся все элементы пентамино, кроме элементов I, T, X и V.

Самый маленький «прочный» прямоугольник, который можно сложить из домино, имеет размер 5x6. Два принципиально различных решения изображены на рис. 248.

 

Рис. 248 Ответы к задаче о «прочных» прямоугольниках.

 

Нетрудно показать, что минимальная ширина «прочного» прямоугольника должна быть больше четырех. (Случаи, когда ширина прямоугольника равна 2, 3 и 4, лучше всего рассматривать по отдельности.) Поскольку квадрат размером 5x5 состоит из нечетного числа квадратов, а площадь области, построенной из домино, всегда четна, то минимальные размеры прямоугольника равны 5x6.

Прямоугольник 5x6 можно увеличить до размеров шахматной доски (8х8), и он все-таки будет «прочным». Пример такого построения изображен на рис. 249.

 

 

Рис. 249 Прочный прямоугольник на шахматной доске размером 8x8 клеток.

 

Как это ни удивительно, но не существует «прочных» прямоугольников размером 6x6. Этот факт имеет замечательное доказательство.

Представьте себе, что прямоугольник 6x6 целиком покрыт домино. Для этого нужно 18 костей домино (половина площади), а чтобы разделить прямоугольник на клетки, понадобится 10 линий (пять вертикальных и пять горизонтальных). Прямоугольник будет «прочным», если прямая из образующих сетку пересекает по крайней мере одно домино.

Приступая к доказательству, прежде всего покажем, что в любом «прочном» прямоугольнике каждая прямая сетки границ пересекает четное число элементов домино. Рассмотрим любую вертикальную прямую сетки. Площадь слева от нее четна (то есть выражается четным числом единичных квадратов): 6, 12, 18, 24 или 30. Те домино, которые целиком находятся слева от этой прямой, должны занимать четную площадь, поскольку каждый элемент домино покрывает два квадрата. Домино, которые разрезаются этой прямой, тоже занимают слева от нее четную площадь, потому что эта площадь равна разности двух четных чисел (всей площади слева от прямой и площади неразрезанных домино, тоже находящихся слева). Но поскольку разрезанное домино занимает всего один квадрат слева от выбранной прямой, то число элементов домино, разрезаемых прямой, должно быть четным. Сетка в квадрате 6x6 состоит из девяти прямых. Чтобы прямоугольник был «прочным», каждая прямая должна пересекать по крайней мере два домино.

Ни одно домино нельзя пересечь более чем одной линией сетки, поэтому сетка разрезает по крайней мере 12 домино. А в квадрате 6x6 всего лишь 18 домино!

Аналогичным образом можно показать, что прямоугольник 6x8 будет «прочным» только в том случае, если каждый отрезок сетки границ пересекает ровно два домино. Такой прямоугольник изображен на рис. 250.

 

Рис. 250 Прочный прямоугольник 6x8.

 

В самом общем виде результат можно сформулировать так: из домино можно сложить «прочный» прямоугольник, если его площадь четна, а длина и ширина больше четырех; исключение составляет квадрат 6х6. В действительности, чтобы сложить прямоугольник большего размера, нужно применить к прямоугольникам 5х6 и 6х8 метод увеличения длины или ширины на две единицы.

Проще всего объяснить, как это делается, с помощью рис. 251.

 

Рис. 251 Общее решение задачи о построении «прочного» прямоугольника.

 

Для удлинения фигуры в горизонтальном направлении на две единицы надо положить по одному домино рядом с каждым домино, лежащим горизонтально, а все вертикальные домино надо выдвинуть до новых границ, заложив освободившееся место горизонтальными домино.

Может быть, для читателя окажется интересным рассмотреть в качестве кирпичей элементы тримино. В частности, возникает вопрос: каковы наименьшие размеры «прочного» прямоугольника, который можно сложить из двух или большего числа «прямых тримино» (то есть прямоугольников размером 1x3)?

 

Литература по занимательной математике

 

Составил Ю. А. Данилов

 

Аменицкий Н. Н. Любопытные путешествия. — сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 2. —М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Игра «Nim». — сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 6. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Игра «15» (Taquin), «Солитер» (играв «пустынника»): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 7.— М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Ход коня: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 8. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н. Арифметические развлечения: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 17. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., В. А. Г. Магические квадраты: Арифметические курьезы: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 5. —М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности детей в семье и школе, 4-е изд., доп. /вып. 1. Младший возраст; вып. 2. Средний возраст; вып. 3. Старший возраст. — М.: Товарищество И. Д. Сытина, 1912.

Аменицкий Н. Н., Шиман Е. М., Шукайло К. П. Морские узлы и фокусы с веревками: Что можно сделать из листа бумаги: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 3. — М.: 1912.

Аменицкий Н. Н., Шиман Е. М., Шукайло К. П. Что можно сделать из листа бумаги (продолжение): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 4. — М.: 1912.

Анаксиотис. Теорема Фермата. — Киев: 1911.

Арене В. Математические игры и развлечения. — М. —Л.: изд. «Петроград», 1924.

Арифметические игры: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 1. — М.: 1912.

Архангельский А. Г., Озорной М. Занимательный досуг: Фокусы.

Загадки. Игры со спичками. Шарады. Ребусы. Головоломки. Задачи. Игры. — М.: «Крестьянская газета», 1927.

Баше К. Г. Игры и задачи, основанные на математике. — Спб. — М.: 1877.

Белополъский И. Р. Фокусы и головоломки. — Л.: Гизместпром НКМП РСФСР, 1939.

Бобров СП. Архимедово лето, или История содружества юных математиков. — М.: Детгиз, 1959 (кн. 1), 1962 (кн. 2).

Бобров С.П. Волшебный двурог, или Правдивая история небывалых приключений нашего отважного друга Ильи Александровича Камова в неведомой стране, где правят: Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие и которая в то же время есть пресветлое царство веселого, но совершенно таинственного существа, чье имя очень похоже на название этой удивительной книжки, которую надлежит читать не торопясь: Книга для юных читателей, которые любят точные науки и математику: изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Детская литература, 1967.

Болховитинов В. Н., Колтовой Б. И., Лаговский И. К. Твое свободное время. — М.: Детская литература, 1970.

Буттер И. Занимательные и увеселительные задачи и загадки, изданные Иваном Буттером /изд. 2-е с переменами. — М.: 1844.

Вебер А. Ф. Хитрые загадки — нехитрые отгадки: В мире чисел. — Пг. —М.: Мысль, 1924.

Вейтцелъ Н. А. Интересное арифметическое занятие: Составление магического квадрата четырех. — Спб.: 1888.

Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Семушин А. Д., Чесноков А. С, Нечаева Т. Ф. Математика: 5-й класс /Пробный учебник. Под ред. А. И. Маркушевича/ Задачи повышенной трудности. — М.: Просвещение, 1969, стр. 225–232.

Виола И. Математические софизмы, составленные Иоанном Виола. — М.: 1883.

Виппер Ю. Ф. Сорок пять доказательств пифагоровой теоремы. — М.: 1876.

Воронец А. М., Попов Г. Н. Математические развлечения: биб-ка «В помощь школьнику», вып. 2. — М. — Л.: Госиздат, 1928.

Воронец А. М., Попов Г. Н. Дети и юноши математики: биб-ка «В помощь школьнику», вып. 3. — М. — Л.: Госиздат, 1928.

Воротников И. А. Занимательное черчение: Пособие для учащихся VII–X классов. — М.: Учпедгиз, 1960.

Гарднер М. Математические чудеса и тайны: 2-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1967.

Гелъфанд С. И., Гервер М. Л., Кириллов А. А., Константинов Н. Н., Кушниренко А. Г. Задачи по элементарной математике: сер. «Библиотечка физико-математической школы», вып. 3. — М.: Наука, 1965.

Германович П. Ю. Вопросы и задачи на соображение. Арифметика и алгебра: Пособие для средней школы. — Л.: Учпедгиз, 1956.

Германович П. Ю. Вопросы и задачи на соображение: Для 8-10-х классов. Алгебра, геометрия и тригонометрия: Пособие для учителей. — Л.: Учпедгиз, 1953.

Германович П. Ю. Математические викторины: Из опыта работы. — М.: Учпедгиз, 1959.

Германович П. Ю. Сборник задач по математике на сообразительность: Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1960.

Гершензон М. А. Только сколько (арифметические задачи-шутки): 2-е изд., доп… — М.: Детиздат, 1936.

Гетманский М. П. Математические аттракционы. — М.: Теокинопечать, 1928.

Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. — М.: 1903.

Гуревич Е. А. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969.

Дернов Н. А., Коваль П. Игра цифр: Математические развлечения. — Воронеж: Коммуна, 1934.

Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. — М.: Физматгиз, 1961.

Дынкин Е. В., Молчанов С. А., Розенталь А. Л.  Математические соревнования: Арифметика и алгебра: сер. «Библиотечка физико-математической школы», вып. 3*.— М.: Наука, 1970.

Дынкин Е. Б. Молчанов С. А., Розенталь А. Л., Толпыго А. Н. Математические задачи: 2-е изд., доп.: сер. «Библиотечка физико-математической школы», вып. 1*.— М.: Наука, 1966.

Дынкин Е. В., Успенский В. А. Математические беседы: сер. «Библиотека математического кружка», вып. 6. — М. — Л.: Гостехтеоретиздат, 1952.

Еленьский Ш. По следам Пифагора: Занимательная математика. — М.: Детгиз, 1961.

Игнатьев Е. И. Математические игры, развлечения и задачи /Собрал и составил Е. И. Игнатьев. — Спб.: 1904.

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или арифметика для всех: 6-е изд., переем, и испр.: кн. 1–3. — М. — Пг.: Госиздат, 1923.

Игра в «мельницу»: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 18. — М.: 1912.

Игры и фокусы с картами: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 27-й и последний. — М.: 1913.

Износков И. А. Полные численные квадраты. — Казань: 1914.

Износков И. А. Решение уравнений со многими неизвестными при помощи магических квадратов. — Одесса: 1895.

Износков И. А. О магических квадратах. — Казань: 1896.

Как люди считали прежде (орудия счета): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 20. — М.: 1913.

Как люди считают теперь (счетные машины): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 21. — М.: 1913.

Качевская М. Г. Игра в «шашки»: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 9. — М.: 1912.

Качевская М. Г., Аменицкий Н. Н. Любопытные перемещения (игры в «хороводы»): сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 10.-М.: 1912.

Качевская М. Г., Аменицкий Н. Н. Счет на пальцах: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 13. — М.: 1912.

Качевская М. Г., Аменицкий Н. Н. Домино: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 16. — М.: 1912.

Ковалевский Г. Matematica delectans: Избранные главы из математической теории игр в общедоступном изложении доктора Герхарда Ковалевского, ординарного профессора чистой математики в Высшей технической школе в Дрездене: ч. 1. — Пг.: Научное книгоиздательство, 1924.

Кое-что о теории вероятностей: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 24. — М.: 1913.

Козловский Е. Г., Португалов П. А. Головоломки и затеи. — М.: Центральный дом культуры железнодорожников, 1937.

Кольман Э. Я., Зих О. Занимательная логика. — М.: Наука, 1966.

Константинов В. Н. «15 мостов» и другие веселые задачи и головоломки. — М.: Детгиз, 1959.

Кордемский Б. А. Очерки о математических задачах на смекалку: Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1958.

Кордемский Б. А. Математическая смекалка: 8-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1965.

Кордемский Б. А., Русалев Н. В. Удивительный квадрат. — М. — Л.: Гостехтеоретиздат, 1952.

Лянченков М. С. Математическая хрестоматия: Книга для школы и семьи, вып. 1–2. — Спб.: 1912–1913.

Левшин В. А. Три дня в Карликании: Сказка да не сказка. — М.: Детская литература, 1964.

Левшин В. А. Фрегат капитана Единицы: Записи из судового, журнала, сделанные собственноручно Нуликом во время плавания по арифметическим, алгебраическим и геометрическим морям и океанам. —М.: Детская литература, 1968.

Левшин В. А., Александрова Э. Б. Черная маска из Аль-Джебры: Путешествие в письмах с прологом. — М.: Детская литература, 1965.

Левшин В. А., Александрова Э. Б. Путешествие по Карликании и Аль-Джебре (Сказки да не сказки). — М.: Детская литература, 1967.

Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел: Математические беседы для детей и взрослых. — М.: Физматгиз, 1959.

Литцман В. Теорема Пифагора. — М.: Физматгиз, 1960.

Литцман В. Старое и новое о круге. — М.: Физматгиз, 1960.

Литцман В. В чем ошибка? — М, Физматгиз, 1962.

Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах. — М.: Физматгиз, 1963.

Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? Математические софизмы и ученические ошибки. — М.: ГТТИ, 1932.

Люка Э. Математические развлечения: Приложения арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм. — Спб.: 1883.

Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи для любителей математики. — М.: 1911.

Лямин А. А. Физико-математическая хрестоматия (т. 1: Арифметика 1912; т. 2: Алгебра, 1913; т. 3: Геометрия, кн. 1–2, 1914), изд-во «Сотрудник школы».

Лямин А. А. Математические досуги: Книга для любителей математики: 2-е изд. — М. — Пг.: 1915.

Мамаев Г. Н. После уроков: Опыты, самоделки, задачи по астрономии, физике и математике. — Л.: Молодая гвардия, 1950.

Манзон Б. А. Сборник занимательных математических задач, игр и головоломок. — Симферополь: Крымиздат, 1954.

Математические развлечения и любопытные приемы мышления: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 19. — М.: 1912.

Мозаичные работы, основанные на вычислениях: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 15. — М.: 1912.

Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка: 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961.

Обреимов В. И. Математические софизмы /Составил по разным источникам бывший учитель математики в Екатеринбургской гимназии В. И. Обреимов: 2-е изд., исправл. и доп. — Спб.: 1889.

Обреимов В. И. Тройная головоломка: Сборник геометрических игр /Составил бывший учитель математики в Екатеринбургской гимназии В. И. Обреимов. — Спб.: 1884.

Окунев Л. Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. — М. — Л.: ОНТИ, 1935.

Островский А. И. 75 задач по элементарной математике — простых, но… — М.: Просвещение, 1966.

Паин Е. 25 задач: сер. «Библиотечка журнала «Дружные ребята». — М.: «Крестьянская газета», 1929.

Перельман Я. И. Алгебра на клетчатой бумаге. — Л.: Дом занимательной науки, 1940.

Перельман Я. И. Арифметические ребусы. — Л.: Дом занимательной науки, 1939.

Перельман Я. И. Арифметические фокусы. —Л.: Дом занимательной науки, 1941.

Перельман Я. И. Веселые задачи: 101 головоломка для юных математиков. — Пг.: 1916.

Перельман Я. И. Геометрические головоломки со спичками. — Л.: Дом занимательной науки, 1939.

Перельман Я. И. Дважды два — пять! Математические софизмы. — Л.: Дом занимательной науки, 1939.

Перельман Я. И. Для юных математиков: Первая сотня головоломок: 3-е изд. —Л.: 1925.

Перельман Я. И. Для юных математиков: Вторая сотня головоломок: 3-е изд. — Л.: 1925.

Перельман Я. И. Живая математика: Математические рассказы и головоломки: 9-е изд. — М.: 1970.

Перельман Я. И. Загадки и диковинки в мире чисел: 2-е изд., исправл. и доп. — Пг.: Наука и школа, 1923.

Перельман Я. И. Задумай число: Математический отгадчик. — Л.: Дом занимательной науки, 1941.

Перельман Я. И. Занимательная алгебра: 12-е изд. — М.: Наука, 1970.

Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел: 9-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.

Перельман Я. И. Занимательная геометрия: 11-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.

Перельман Я. И. Занимательная геометрия на вольном воздухе: 4-е изд., вновь просмотр. — Л.: 1933.

Перельман Я. И. Занимательная математика в рассказах: 3-е изд. — Л.: Время, 1929.

Перельман Я. И. Занимательные задачи: 4-е изд., доп. — Л.: Молодая гвардия, 1935.

Перельман Я. И. Квадратура круга. — Л.: Дом занимательной науки, 1941.

Перельман Я. И. Лабиринты: 2-е изд. — М. —Л.: Госиздат, 1931.

Перельман Я. И. Магические квадраты. — Л.: Дом занимательной науки, 1940.

Перельман Я. И. Найдите ошибку: Геометрические софизмы.—Л.: Дом занимательной науки, 1940.

Перельман Я. И. Научные задачи и развлечения (головоломки, опыты, занятия). —М.—Л.: Молодая гвардия, 1927.

Перельман Я. И. Одним росчерком: Вычерчивание фигур одной непрерывной линией. — Л.: Дом занимательной науки, 1940.

Перельман Я. И. Развлечения со спичками. — Л.: Прибой, 1926.

Перельман Я. И. Сильны ли вы в арифметике? — Л.: Дом занимательной науки, 1941.

Перельман Я. И. Фигурки-головоломки из 7 кусочков. —М. —Л.: Радуга, 1927.

Перельман Я. И. Фокусы и развлечения. — М. — Л.: Детиздат, 1937.

Перельман Я. И. Числа-великаны. —М.—Л.: Радуга, 1925.

Перельман Я. И. Ящик загадок и фокусов. — М. — Л.: Госиздат, 1930.

Перельман Я. И., Глязер С. В., Прянишников В. И., Рюмин В. В. Наука на досуге: Сборник занимательных задач, головоломок, фокусов, игр из области физики, математики, географии, астрономии, метеорологии, химии. — Л.: Молодая гвардия, 1935.

Перельман Я. И., Прянишников В. И. Вечера занимательной науки: Вопросы, задачи, опыты, наблюдения из области астрономии, метеорологии, физики, математики.—Л.: 1936.

Поляк Г. Б. Занимательные задачи: Пособие для учителей начальной школы: 3-е изд. — М.: Учпедгиз, 1953.

Попов Г. Н. Памятники математической старины в задачах. — М. — Л.: Госиздат, 1929.

Попов Г. Н. Исторические задачи по элементарной математике. — М. — Л.: Гостехтеоретиздат, 1932.

Попов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной математике: 2-е изд… —М. — Л.: ОНТИ, 1938.

Постников М. М. Магические квадраты: сер. «Математическая библиотечка». — М.: Наука. 1964.

Прянишников В. И., Антрушин А. Подумай: Сборник занимательных вопросов и задач. — Л.: Молодая гвардия, 1948.

Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры: Опыты математического мышления: 4-е изд., стереотип.: сер. «Библиотека математического кружка», вып. 10. — М.: Наука, 1966.

Рассохин В. В., Розов С. В., Целинский Н. А. Занимательные задачи по проекционному черчению: 2-е изд., переработ, и доп. — М.: Машиностроение, 1969.

Рачинский С. А. 1001 задача для умственного счета: 3-е изд., исправл. — Спб.: 1899.

Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги: 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

Сатаров А. В. Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях: кн. 1–4. — М.: Товарищество И. Д. Сытина, 1912–1914.

Серпинский В. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959.

Серпинский В. Сто простых, но одновременно и трудных вопросов по арифметике. — М.: Учпедгиз, 1961.

Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматгиз, 1961.

Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М. — Л.: Физматгиз, 1963.

Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968.

Сивашинский И. X. Задачи по математике для внеклассных занятий (для 9-10-х классов). —М.: Просвещение, 1968.

Сорокин П. И. Занимательные задачи по математике с решениями и методическими указаниями: Пособие для учителей I–V классов. —М.: Просвещение, 1967.

Тромголът С. Игры со спичками: Задачи и развлечения: 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

Труднее В. П. Считай, смекай, отгадывай!: 2-е изд. — М.: Просвещение, 1964.

Трумпа Э. А. Самоделки из бумаги (складывание и сгибание). — М.: Учпедгиз, 1960.

Успенский Я. В. Избранные математические развлечения. — Пг.: Сеятель, 1924.

Фролов М. Задача Эйлера и волшебные квадраты. — Спб.: 1884.

Фурре Е. Геометрические головоломки и параллогизмы. — Одесса: Mathesis, 1912.

Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма: 2-е изд. —М. — Л.: Гостехтеоретиздат, 1932.

Чижевский В. П. Декадентская математика: Сознательная мнемоника при запоминании математических формул. — Уфа: 1909.

Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. — Минск: Изд. Министерства высшего, среднего, специального и профессионального образования БССР, 1962.

Чистяков В. Д. Три знаменательные задачи древности: Пособие для внеклассной работы. — М.: Учпедгиз, 1963.

Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике: 2-е изд., исправл. и доп. — Минск: Высшая школа, 1966.

Широков В. Ф. Сборник арифметических задач на соображение: Пособие для учителей средней школы. — М.: Учпедгиз, 1949.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. — М. — Л.: Гостехтеоретиздат, 1949.

Штейнгауз Г. Сто задач. — М.: Физматгиз, 1959.

Шуберт Г. Ц. Г. Математические развлечения и игры: 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

Шустер В. Математические вечера. (Веселая математика). — СпБ.: Вестник знания, 1908.

Эйделъс Л. М. Избушки на дорожках. — М.: Детгиз, 1960.

Яглом И. М. Как разрезать квадрат?: сер. «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1968.

 

 

Дополнение ко второму изданию

Анания Ширакаци: Вопросы и решения вардапета Анании Ширакаци, армянского математика VII века. — Пг.: тип. Российской академии наук, 1918.

Беррандо М. Занимательные задачи. — М.: Мир, 1983.

Визам Д., Герцег Я. Игра и логика. — М.: Мир, 1975.

Визам Д., Герцег Я. Многоцветная логика. — М.: Мир, 1978.

Бойко А. Б. Игры с микрокалькулятором. — М.: Знание, 1987.

Болл У., Коксетер Г. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

Гамов Г., Стерн М. Занимательная математика. — Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.

Гарднер М. А ну-ка, догадайся! — М.: Мир, 1984.

Гарднер М. Есть идея! — М.: Мир, 1982.

Гарднер М. Крестики-нолики. —М.: Мир, 1988.

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971.

Гарднер М. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

Гарднер М. Математические новеллы. —М.: Мир, 1974.

Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. — М.: Мир, 1993.

Гарднер М. Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990.

Гершензон М. А. Головоломки профессора Головоломки. — М.: Дет. лит., 1989.

Гик Е. Я. Занимательные игры. — М.: ЛАНА, 1996.

Гик Е. Я. Занимательные математические игры: 2-е изд., испр. и доп. — М.: Знание, 1987.

ГикЕ. Я. Компьютер за шахматной доской. — М.: Просвещение, 1991.

Гик Е. Я. Шахматы и математика: Б-чка «Квант»; вып. 24.— М.: Наука, 1983.

ГикЕ. Я., Карпов Е. А. Неисчерпаемые шахматы. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Знание, 1991.

Гик Е. Я., Карпов Е. А. Шахматный калейдоскоп: Б-чка «Квант»; вып. 13. — М.: Наука, 1984.

Гимнастика для ума, или 500 занимательных задач. — Алма-Ата: 1991.

Голомб С. Полимино. — М.: Мир, 1975.

Данилов И. Д. Секреты программируемого микрокалькулятора. — М.: Наука, 1986.

Данилов И. Д., Славин Г. В. Пять вечеров с микрокалькутятором. — М.: Финансы и статистика, 1988.

Данилов Ю. А. Многочлены Чебышева. — Минск: Вышейшая школа, 1984.

Дьюдени Г. Кентерберийские головоломки. — М.: Мир, 1979.

Дьюдени Г. 520 головоломок. — М.: Мир, 1975.

Занимательные задачи для маленьких. — М.: Омега, 1994.

Игнатьев Е. А. Математическая хрестоматия: кн. 1: Арифметика, 1913.

Игнатьев Е. А. Математическая хрестоматия: кн. 2: Алгебра и общая арифметика. — М.: т-во И. Д. Сытина, 1915. кн. 1, 2. — М.: то-во И. Д. Сытина, 1913.

Кибернетика. Микрокалькуляторы в играх и задачах. — М.: Наука, 1989.

Кордемский Б. А. Увлечь школьника математикой. — М.: Просвещение, 1981.