Схема вычисления производной.

Производная функции y=f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Задается приращение D x ¹0 аргумента X и находится приращение

функции.

2. Находится приращение функции .

3. Составляется отношение.

4. Находится предел этого отношения (если он существует) при  :

Пример. Вычислим производную от.

Решение. По определению производной:

Основные правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то сумма (разница), произведения и частное этих функций (частное при условии V (x) не равно 0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливые формулы:

                       (4)

Доказательство. По определению производной (для первой формулы) имеем

Для вывода других формул используем равенство

 

Производная сложной и обратной функции.

Теорема 2. Если  и  дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция также дифференцируема и ее производная находится по формуле:          (5)

 

Теорема 3. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

Доказательство. Поскольку , и в силу непрерывности функций , условия равносильны, тогда что и было нужно доказать.

 

Производные элементарных функций.

1. Производная постоянной равна нулю C’=0

Правило очевидно, потому что любой приращение постоянной функции равен нулю.

 

Производная степенной функции.

(m  любое действительное число)

 По определению, имеем

Поскольку  , (6)

3. Производная показательной функции

По определению (7)

4. Производная логарифмической функции

Используя формулу производной обратной функции, имеем (8)

5. Производные тригонометрических функций

                  (9)

 (1 0)

Применяя формулу производной дроби, получим

  (11)

  (12)

6. Производные обратных тригонометрических функций.

Тогда

По формуле дифференцирования обратной функции: Выразим через аргумент x. Известно, что  а в этом промежутке  следовательно (13)

Тогда

Выразим  через аргумент x. Известно, что , где тогда

 (14)

Аналогично можно получить  (15)

                                         (16)

Производные высших порядков.

Производная функции сама является функцией  аргумента x. В отношении нее также можно поставить вопрос о производной.

Производная от первой производной некоторой функции  называется второй производной, или производной второго порядка. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Определение 1. Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1) - го порядка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Сформулируйте определение производной.

2. Какой геометрический, механический и экономический смысл производной?

3. Что можно сказать о поведении функции, зная, что ее производная положительна? Отрицательная? Недодатна? Неотъемлемая? Сделайте рисунки для этих случаев, приведите примеры таких функций.

4. Дайте определение левой и правой производной.

5. Связь между существованием производной и непрерывностью функции?

6. Может ли функция иметь производную в точке, в которой она разрывная?

7. Функция в данной точке дифференцирована. Значит ли это, что она непрерывна в этой точке?

8. Почему равны производные суммы, разницы и произведения двух функций?

9. Выпишите вид производной доли двух функций.

10. Чему равна производная сложной функции? Выпишите формулу и приведите примеры.

11. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

12. Как определяются производные высших порядков?

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ.

Производная функции.

Дифференцирование функции.

Производные высших порядков.

Касательная. Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к кривой

Механический смысл производной

Кусочно-гладкая функция.

 

ЛИТЕРАТУРА.

1. М. С. Красс " Математика для экономических специальностей: Учебник”, М.: ИНФРА-М, 1999, с. 81-85, 87-94, 95-97.

2. “ Высшая математика для экономистов”, ред. Н. Ш. Кремера Н.: ЮНИТИ, 1998, с. 176-208.                                                    

3. В.В. Пак, Ю.Л. Носенко “Высшая математика” Д.: Сталкер, 1997, с. 111-124.

4.В. А. Курявцев, В. П. Демидович “Короткий курс высшей математики", г. Наука, 1975, гл. IX, X.

5. “Курс математики для техникумов, ч. 1”, ред. Н.М. Матвеева, М.: Наука, 1976, с. 103-116.

6. Ю. М. Почтман Основы математики: учебно-методическое пособие”, М.: МАУП, 1999, с. 39-44.

7. И. Л. Зайцев " элементы высшей математики (для техникумов)", М.: Наука, 1974, гл. 3.