Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрический, механический смысл производной.
Введем понятие касательной к графику функции в данной точке. Определение 4. Касательной к графику функции в точке M называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке M по кривой. Пусть точка M на кривой соответствует значению аргумента x=0, а точка N и значению аргумента (Рис. 1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x0 необходимо, чтобы существовал предел равный углу наклона касательной к оси Ox. Из треугольника MNA видно, что
Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной, получаем
Рис. 1. Отсюда понятно, что производная равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ox касательной к графику функции в точке ). В этом состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид 3. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону, где s икс пройден путь, t икс время. Необходимо найти скорость точки в момент t0. К моменту t0 пройденный путь равен , а к моменту вклада путь . Средняя скорость за время равна . Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент времени t=0, как производную пути по времени. В определенном смысле производную функции можно трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина , тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график и быстрее растет функция. В этом состоит механический смысл производной.
Дифференцируемость функции. Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Прежде всего, отметим, что не любая непрерывная функция дифференцирована. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть, например, функцию . В точке эта функция непрерывна, но не является дифференцированной (не существует производной, потому что не существует касательной). Теорема 1. Если существует конечная производная функции в точке x, то f(x) непрерывная в этой точке. Доказательство. По условию теоремы, существует производная а по определению предела это означает, что где a бесконечно мала функция . Тогда,, где , де бесконечно имела величина более высокого порядка малости по сравнению с. Из последнего равенства получается, что, а это значит, что непрерывна в точке x.
Непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором интервале (a,b), то функция называется гладкой на этом промежутке. Если производная функции имеет конечное число точек разрыва первого рода, то такая функция называется кусочно-гладкой на данном интервале. На рис. 2 приведена графическая иллюстрация некоторых возможных значений производной функции в точке x=0.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 119; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.136.85.225 (0.007 с.) |