Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z= 0.$ Комплексное число z=x+iy изображают на координатной плоскости Oxy точкой с координатами (x;y). Эта плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок 1), ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой осью. Таким образом, действительному числу z=x+0i=x отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу z=0+iy=iy– точка на мнимой оси. Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора {x,y} и определять его, задавая его длину r и угол φмежду осью Ox и вектором. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа |z|=r=x2+y2−−−−−−−√≥0, а угол φ называется аргументом комплексного числа и обозначается Argz. Аргумент определяется с точностью до слагаемого 2πk(k=0,±1,±2,±3,...) и для положительных значений отсчитывается от оси Oxдо вектора против часовой стрелки, а для отрицательных значений – по часовой стрелке. Значение аргумента, который принадлежит интервалу (−π,π], называется главным значением аргумента и определяется argz. Главное значение аргументу числа x+iy можно вычислять по формуле φ=argz=arctg(yx)+kπ, где k=0, если z находится в первой или четвертой четвертях, k=1, если z находится во второй четверти, k=−1, если z находится в третей четверти. Если x=Rez=0, то φ=π/2, когда y=Imz>0 и φ=−π/2, когда y=Imz<0. плоскость называется комплексной плоскостью C (рисунок 1), ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой осью. Таким образом, действительному числу z=x+0i=x отвечает точка на действительной оси, а мнимому числу z=0+iy=y− точка на мнимой оси.
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной. Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. Решить квадратное уравнение. 1.508. z2+2z+5=0. Решение. D=22−4⋅1⋅5=4−20=−16 z1=−2+−16√2=−2+16√−1√2=−2+4i2=−1+2i; z2=−2−−16√2=−2−16√−1√2=−2−4i2=−1−2i. Ответ: z1=−1+2i; z2=−1−2i. 1.509. 4z2−2z+1=0. Решение. D=(−2)2−4⋅4⋅1=4−16=−12 z1=2+−12√8=2+12√−1√8=2+23√i8=14+3√4i; z2=2−−12√8=2−12√−1√8=2−23√i8=14−3√4i.
Ответ: z1=14+3√4i; z2=14−3√4i. Решить биквадратное уравнение 1.516. z4+18z2+81=0. Решение. Сделаем замену переменных: t=z2. Получаем квадратное уравнение: t2+18t+81=0. Решим его: D=(18)2−4⋅1⋅81=324−324=0. t1=−18+02=−9; t2=−18−02=−9. Далее сделаем обратную замену: t1=t2=z21,2=z23,4⇒ ⇒−9=z21,2⇒ ⇒z1,2=±−9−−−√=±9√−1−−−√=±3i. Ответ: z1,2=z3,4=±3i.
Домашнее задание Решить биквадратное уравнение 1.517. z4+4z2+3=0. Ответ: z1,2=±i z3,4=±3√i. 1.518. z4+9z2+20=0. Ответ: z1,2=±2i z3,4=±5√i.
Геометрическая интерпретация комплексного числа Добавить комментарий Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат. Данная плоскость называется комплексной. Ось называется вещественной, а ось — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция Определение 1 Модулем комплексного числа называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей. Определение 2 Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле: Определение 3 Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа . Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным. , , , где - главное значение аргумента комплексного числа. Пример 1 Задание: Пример 2 Задание: Литература:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 146; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.181.21 (0.012 с.) |