Еометрическая интерпретация комплексного числа

Еометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z ₁ = (r ₁ cos θ ₁, r ₁ sin θ ₁), z ₂ = (r ₂ cos θ ₂, r ₂ sin θ ₂), то

z ₁ z ₂ = (r ₁ r ₂ cos(θ ₁ + θ ₂), r ₁ r ₂ sin(θ ₁ + θ ₂)),

Для n -й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(1)

 

решения некоторых задач

 

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).

Комплексному числу будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка : (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа , и .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чиселравны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Пример

Задание. Найти модуль комплексного числа

Решение. Так как , , то искомое значение

Ответ.

Замечание

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как или .

Аргумент комплексного числа

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается .

Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

Пример

Задание. Найти аргумент комплексного числа

Решение. Так как , то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть

Ответ.

Аргумент действительного положительного числа равен , действительного отрицательного - или . Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный , с отрицательной мнимой частью - .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).

 

Читать дальше: комплексно сопряженные числа.

 

 

Решение.

D=22−4⋅1⋅5=4−20=−16

z1=−2+−16√2=−2+16√−1√2=−2+4i2=−1+2i;

z2=−2−−16√2=−2−16√−1√2=−2−4i2=−1−2i.

Ответ: z1=−1+2i; z2=−1−2i.

1.509. 4z2−2z+1=0.

Решение.

D=(−2)2−4⋅4⋅1=4−16=−12

z1=2+−12√8=2+12√−1√8=2+23√i8=14+3√4i;

z2=2−−12√8=2−12√−1√8=2−23√i8=14−3√4i.

Ответ: z1=14+3√4i; z2=14−3√4i.

Решение.

Сделаем замену переменных:

t=z2.

Получаем квадратное уравнение:

t2+18t+81=0.

Решим его:

D=(18)2−4⋅1⋅81=324−324=0.

t1=−18+02=−9;

t2=−18−02=−9.

Далее сделаем обратную замену:

t1=t2=z21,2=z23,4⇒

⇒−9=z21,2⇒

⇒z1,2=±−9−−−√=±9√−1−−−√=±3i.

Ответ: z1,2=z3,4=±3i.

 

Домашнее задание

Решить биквадратное уравнение

1.517. z4+4z2+3=0.

Ответ: z1,2=±i z3,4=±3√i.

1.518. z4+9z2+20=0.

Ответ: z1,2=±2i z3,4=±5√i.

 

Определение 1

Модулем комплексного числа называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
,

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа . Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

, , , где - главное значение аргумента комплексного числа.

Пример 1

Задание:
Изобразите графически
Решение:

Ответ:

Пример 2

Задание:
Изобразите графически
Ответ:

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

МЕСТО	ИМЯ	ЗАПИСАНО	БАЛЛЫ	РЕЗУЛЬТАТ
1	Иван Чеповский	02.06.2014 22:58	7	100 %
2	Иван Чеповский	18.05.2014 20:24	6	85.71 %
3	Иван Чеповский	03.06.2014 23:00	6	85.71 %
4	Сидоренко	26.05.2014 12:42	5	71.43 %
5	Сидоренко	26.05.2014 12:44	5	71.43 %
максимум из 7 баллов

Поделиться ссылкой:

 

 

Что такое "геометрическая интерпретация комплексного числа"? Ответ сокращённый и точный.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

 

 

Комплексные числа

Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b - вещественные числа, а i - символ, удовлетворяющий соотношению i ² = – 1. Если z = a + bi, то числа a и b называют соответственно вещественной и мнимою частью числа z (обозначение:

a =

Re

z

,

b =

Im

z

), а комплексное число a – bi называют числом, сопряженным к числу z (обозначение:

- z

). Перемножают комплексные числа по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов, заменяя каждый раз i ² на – 1, т. е.

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i.

Каждое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i.

Если на плоскости выбрать систему координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором числу a + bi соответствует точка с координатами (a, b). При этом умножение на комплексное число z приобретает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть r - расстояние от нуля до z, j - угол, на который нужно повернуть вокруг нуля луч, содержащий положительные вещественные числа, чтобы получить луч Oz. Тогда умножение на число z - это композиция гомотетии с коэффициентом r (с центром в нуле) и поворота на угол j. Числа r и j называют соответственно модулем и аргументом числа z (обозначение: r = | z |, j = arg z). По-другому геометрическую интерпретацию произведения комплексных чисел можно сформулировать так: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Зная геометрическую интерпретацию комплексных чисел, легко научиться их делить: для этого нужно делить модули и вычитать аргументы. Деление можно ввести также и чисто алгебраически. Для каждого комплексного числа z = a + bi имеет место очевидное равенство

z - z   = (a + bi)(a – bi) = a ^2 – b ^2 i ^2 = a ^2 + b ^2 = | z |^2.

Поэтому

w / z = w

- z

/| z |^2

.

Тот факт, что произведение комплексных чисел, с одной стороны, вычисляется чисто алгебраически, а с другой стороны, имеет геометрическую интерпретацию, иногда бывает полезным при решении задач планиметрии. Как правило, решение, использующее комплексные числа, в действительности использует только векторы и поворот. Но иногда комплексные числа позволяют взглянуть на теоремы планиметрии с новой точки зрения и, что гораздо важнее, глубже понять их природу.

Очень простую интерпретацию на языке комплексных чисел имеет инверсия с центром в нуле: она отображает число z в число

R ^2/

- z

, где R ² - степень инверсии.

29.20.

Пусть a, b, c, d - комплексные числа, причем углы a 0 b и c 0 d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда

Im

abcd = 0

.

Будем говорить, что треугольники ABC и A ¢ B ¢ C ¢ собственно подобны, если существует поворотная гомотетия, которая переводит A в A ¢, B в B ¢, C в C ¢.

29.21.

Докажите, что если треугольники abc и a ¢ b ¢ c ¢ на комплексной плоскости собственно подобны, то

(b – a)/(c – a) = (b ¢ – a ¢)/(c ¢ – a ¢).

29.22.

Докажите, что треугольники abc и a ¢ b ¢ c ¢ собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a ¢(b – c) + b ¢(c – a) + c ¢(a – b) = 0.

29.23.

Пусть a и b - комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u - точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2 ab /(a + b).

29.24.

Пусть a - комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t - вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b - отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что

- b

= (1 – ta)(t – a)

.

29.25.

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A ₁ (соответственно B ₁, C ₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A ₂ (соответственно B ₂, C ₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A ₁ A ₂, B ₁ B ₂, C ₁ C ₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

29.26.

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az - z   + cz + - c   - z   + D = 0,

где A и D - вещественные числа, а c - комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.

б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

29.27.

Пусть точки A ^*, B ^*, C ^*, D ^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:

а)

AC AD

:

BC BD

=

A ^* C ^* A ^* D ^*

:

B ^* C ^* B ^* D ^*

;

б) Ð(DA, AC) – Ð(DB, BC) = Ð(D ^* B ^*, B ^* C ^*) – Ð(D ^* A ^*, A ^* C ^*).

29.28.

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число

a – b a – c

, называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.

б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число

a – c a – d

:

b – c b – d

, называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

29.29 ^*.

а) Докажите, что если A, B, C и D - произвольные точки плоскости, то AB · CD + BC · AD ³ AC · BD (неравенство Птолемея).

б) Докажите, что если A ₁, A ₂, … A ₆ - произвольные точки плоскости, то

A 1 A 4 · A 2 A 5 · A 3 A 6 £ A 1 A 2 · A 3 A 6 · A 4 A 5 + A 1 A 2 · A 3 A 4 · A 5 A 6 +

+ A 2 A 3 · A 1 A 4 · A 5 A 6 + A 2 A 3 · A 4 A 5 · A 1 A 6 + A 3 A 4 · A 2 A 5 · A 1 A 6.

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD - (выпуклый) вписанный четырехугольник.

г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A ₁… A ₆ - вписанный шестиугольник.

29.30 ^*.

Докажите, что если a, b, c и d - длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n - длины его диагоналей, то m ² n ² = a ² c ² + b ² d ² – 2 abcd cos (A + C) (Бретшнейдер).

29.31 ^*.

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

XB b · XC c + XC c · XA a + XA a · XB b ³ 1,

где a, b, c - длины сторон треугольника.

б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A ₁, B ₁, C ₁. Пусть a, b, c - длины сторон треугольника ABC, a ₁, b ₁, c ₁ - длины сторон треугольника A ₁ B ₁ C ₁, S - площадь треугольника ABC. Докажите, что

4 S ^2 £ a ^2 b 1 c 1 + b ^2 a 1 c 1 + c ^2 a 1 b 1.

29.32 ^*.

На сторонах аффинно правильного многоугольника A ₁ A ₂… A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1} A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,…, n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно

2

æ è

1 – cos (2p/ n)

ö ø

.

29.33 ^*.

На сторонах выпуклого n -угольника внешним образом построены правильные n -угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n -угольник тогда и только тогда, когда исходный n -угольник аффинно правильный.

29.34 ^*.

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то

z + w + abc

- z

- w

= a + b + c

(Морли).

29.35 ^*.

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z ^* и W ^*. Докажите, что середина отрезка Z ^* W ^* лежит на вписанной окружности.

29.36 ^*.

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M - середина отрезка ZW. Докажите, что Ð AOZ + Ð AOW + Ð AOM = n p (углы ориентированы).

 

еометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z ₁ = (r ₁ cos θ ₁, r ₁ sin θ ₁), z ₂ = (r ₂ cos θ ₂, r ₂ sin θ ₂), то

z ₁ z ₂ = (r ₁ r ₂ cos(θ ₁ + θ ₂), r ₁ r ₂ sin(θ ₁ + θ ₂)),

Для n -й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(1)

 

решения некоторых задач

 

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).

Комплексному числу будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка : (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа , и .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чиселравны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Пример

Задание. Найти модуль комплексного числа

Решение. Так как , , то искомое значение

Ответ.

Замечание

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как или .

Аргумент комплексного числа

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается .

Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

Пример

Задание. Найти аргумент комплексного числа

Решение. Так как , то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть

Ответ.

Аргумент действительного положительного числа равен , действительного отрицательного - или . Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный , с отрицательной мнимой частью - .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).

 

Читать дальше: комплексно сопряженные числа.