Сформулируйте определение понятия функции.

Сформулируйте определение понятия функции.

Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной соответствует х соответствует единственное значение переменной у.

Сформулируйте определение числовой последовательности.

 

Предел числовой последовательности.

Число a называется пределом числовой последовательности (xn), если для любого положительного E>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется условие: |a-xn|<E.

 

Определение первого замечательного предела.

Предел отношения минуса бесконечно малой функции к малой дуге называется первым замечательным пределом lim Sinan÷an; an0. Равно 1.

 

5. Что называется пределом функции в точке?

Если при приближении аргумента Х к числу а значения функции f(x) приближаются к некоторому числу А, то число А называют пределом функции f(x) в точке а.

 

Геометрическая интерпретация предела функции в точке.

Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки x=a и y=A.

Предел функции y=f(x) в точке x→a существует и равен A, если для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при x→a не важно, какое значение принимает функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не менее предел может быть равен A.

7. Как определяется предел функции при x →∞. Определение (по Гейне      или Коши).
Предел функции при х→+∞: Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε

Определение предела функции по Коши:

Пусть функция f(x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x=a. Число L называется пределом функции f(x) при x→a, если для каждого ε>0 существует такое число δ>0, что |f(x)−L|<ε, при условии 0<|x−a|<δ

Определение предела функции по Гейне:

Пусть функция f(x) имеет предел L в точке x=a, если для каждой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, последовательность f(xn) сходится к L.

8. Определение левого предела функции в точке.

Число b называется левым пределом функции f(x) в точке a, если для ∀ϵ>0 ∃δ>0 такое, что для любого x∈D[f] и a−δ<x<a, выполняется неравенство |f(x)−b|<ϵ|. Левый предел обозначается limx→a−0f(x)=limx→a−f(x)=f(a−0)=b.

Теорема о втором замечательном пределе.

Определение функции непрерывной в точке слева.

Свойства дифференциала.

Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала: d(Cu)=Cdu, где C − постоянное число.

2. Дифференциал суммы (разности) функций: d(u±v)=du±dv.

3. Дифференциал постоянной величины равен нулю: d(C)=0.

4. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению: dx=Δx.

5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению: d(ax+b)=Δ(ax+b)=aΔx.

6. Дифференциал произведения двух функций: d(uv)=du⋅v+u⋅dv.

7. Дифференциал частного двух функций: d(uv)=du⋅v−u⋅dvv2.

8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента: dy=df(x)=f′(x)dx.

Сформулируйте определение понятия функции.

Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной соответствует х соответствует единственное значение переменной у.