Сформулируйте определение точки разрыва первого рода.

Точка Xo функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы не равные между собой.

Сформулируйте определение точки разрыва второго рода.

Точка Хо функции f(x) называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Сформулируйте определение производной функции f(x) в точке.

Производной функции в точке х=х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует и конечен f'(x) = lim f(x+ дельта x) – f(x)/дельта х или в точке есть число, зависящее от рассматриваемого значения х, но не зависящее от дельта Х.

Геометрический смысл производной.

Производная f(x) в точке x=x0 равна угловому коэффициенту касательной в точке M (х0,f(x0)) к кривой, заданной уравнением y=f(x).

Определение касательной функции в точке.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке (х°; (f(x°)) называют прямую, проходящую через точку (x°;(f(x°)), с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к x°.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при B -> А

Основные правила дифференцирования.

1Константу можно вынести за знак производной: (Cf(x))′=C(f(x))′

2 Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

(f(x)±g(x))′=(f(x))′±(g(x))′

3 Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле:

(f(x)⋅g(x))′=(f(x))′⋅g(x)+f(x)⋅(g(x))′

4 Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле:

Теорема производная сложной функции.

Если y=f(u) и y=ф(x) - дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция y=f(ф(x)) является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: y'=f'(u)×u'.

Что называется производной второго порядка.

Производная второго порядка - это первая производная от производной первого порядка.

 29. Что называется дифференциалом функции? Две формы записи дифференциала.

ü Дифференциал функции f(x) в точке x называется главная линейная f’(x) дельта x относительно дельта x, часть приращения функции dy = f’(x) дельта x.

ü Дифференциал функции y=f(x) обозначается через dy или df(x). Из определения следует, что если y =x, то dy=dx, dy=|x| дельта x = дельта х -dx= дельта х              (дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной).

Геометрический смысл дифференциала

Свойства дифференциала.

Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала: d(Cu)=Cdu, где C − постоянное число.

2. Дифференциал суммы (разности) функций: d(u±v)=du±dv.

3. Дифференциал постоянной величины равен нулю: d(C)=0.

4. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению: dx=Δx.

5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению: d(ax+b)=Δ(ax+b)=aΔx.

6. Дифференциал произведения двух функций: d(uv)=du⋅v+u⋅dv.

7. Дифференциал частного двух функций: d(uv)=du⋅v−u⋅dvv2.

8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента: dy=df(x)=f′(x)dx.