Складання диференціального рівняння елемента автоматичної системи

 

Конкретний вид диференціального рівняння залежить від фізичної природи і властивостей елемента.

Розглянемо як приклад інерційну RC- ланку (рис. 2):

 

Рисунок 2 – Схема інерційної ланки

 

Якщо визначити х та y як відповідно вхідну і вихідну напруги цієї ланки, то згідно з теорією електричних кіл можна записати таке рівняння:

 

З урахуванням того, що

 

 

 

отримаємо таке рівняння:

 

Позначимо RC=T, тоді можна записати:

 

Уведемо до розгляду символ диференціювання за часом

 

 

 

Цей штучний (але по суті вірний) прийом дозволяє переписати отримане диференційне рівняння у формі:

 

 

Винесемо вихідну напругу y за дужки і остаточно отримаємо:

 

.

 

Відзначимо, що вираз

 

 

 

називається операторним коефіцієнтом передачі інерційної (у даному випадку) ланки.

 

Статичні і динамічні властивості елементів

 

Після подачі на вхід елемента деякого впливу на його виході виникає перехідний процес, по закінченні якого настає стаціонарний стан.

Статична характеристика - це залежність, що зв'язує між собою стаціонарні вхідну і вихідну величини.

Прикладом статичної характеристики може служити залежність між напругою на виході частотного дискримінатора і відхиленням частоти сигналу від його номінального значення (рис.3).

 

Рисунок 3 – Статична характеристика дискримінатора

 

Динамічна характеристика - це залежність, що зв'язує між собою зміни вхідної і вихідної величин у перехідному режимі.

Перетворення Лапласа

 

Перетворення Лапласа має дві взаємозалежні форми – пряму і зворотну.

Пряме перетворення описується так:

 

 ,

 

де x(t) – оригінал функції, тобто функційна залежність у часовому вимірі;

x(p) – зображення функції x(t) за Лапласом, тобто у вимірі комплексної змінної

 

.

 

Зворотне перетворення вводиться у розгляд так:

 

,

 

що дозволяє відшукати оригінал функції x(t) по її зображенню X(p).

Існують такі методи відшукання оригіналу x(t): табличний та метод інтегрування у комплексній площині.

Глибинний сенс перетворення Лапласа полягає у тому, що за його допомогою стає можливим здійснити перехід від вихідних диференційних рівнянь, що описують систему РА у просторі комплексної змінної р .

На рис. 4 наведено загальну структурну схему ланки системи РА, яка описується коефіцієнтом передачі R(p). На цьому рисунку G(p) та x(p) – відповідно сигнали у операторній формі на вході і виході ланки.

 

Рисунок 4 – Загальна структурна схема ланки системи РА з коефіцієнтом передачі R(p) у операторній формі.

 

Наприклад, якщо ланка є диференціатором, то R(p)=p.

Тоді  Якщо ланка є інтегратором, то

Тоді

 

Перетворення Фур'є

 

Якщо в перетворенні Лапласа замінити оператор р на змінну jw отримаємо перетворення Фур'є, яке також поділяється на пряме та зворотне.

Для прямого перетворення Фур'є маємо вираз

 

,

 

де x(jω) – спектральна функція дії x(t).

Зворотне перетворення Фур'є має вид:

 

.

 

Передатна функція

 

Передатною функцією N(s) елемента (системи) РА називається відношення зображення вихідної величини елемента (системи) Y(s) до зображення) вхідної величини X(s) при нульових початкових умовах

 

 

Формально передатну функцію отримуємо з диференціального рівняння елемента (системи) РА у символічній формі шляхом заміни в ньому символу р на комплексну змінну s і розділення утвореного в такий спосіб багаточлена правої частини рівняння на многочлен лівої частини.

Наприклад, якщо диференціальне рівняння інерційного RC- елемента має вигляд.

 

;

 

звідки

 

.

 

Тоді

 

 

Тепер при виконанні заміни оператора p на комплексну змінну S отримаємо:

 

 

У цьому виразі комплексні величини x(s) і Y(s) є зображенням за Лапласом часових величин x(t) і y(t).