Построение области устойчивости системы.

 

1. Характеристический полином замкнутой системы получим из выражения:

Отсюда: 

Д(р) =

2. Уравнение апериодической границы устойчивости соответствует при Р=0.

Получаем:

 

 Þ К₂ = 0 

           

Найдем колебательную границу устойчивости, для этого подставим:

  Р= j w

 

Тогда:

       Решив уравнение относительно К₁ и К₂ , найдем выражение для колебательной границы устойчивости в виде:

           

 

Рассчитываем три точки колебательной границы устойчивости при w=0; Dw; 2Dw.

 

w [ c ^-1 ]	0	0,005	0,01
К1,	3,434	3,3191	2,8446
К2,	0	0,0132	0,0382

 

 

СТУДЕНТ Ситников С.А. ГРУППА 2102

 

РАСЧЕТ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ (ЛИНИИ РАВНОГО ЗАПАСА УСТ.) НЕПРЕР.АСР

ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛЕЙ ИЗВЕСТНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ

 

МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА ПО КАНАЛУ УПРАВЛЕНИЯ:

коэффициент передачи объекта = 112.0000

постоянная времени объекта = 50.0000

запаздывание объекта     = 120.0000

 

Коэф.передачи исполн.устройства = 1.0000

Коэф.передачи регулир.органа = 0.0104

Коэффициент передачи датчика = 0.2500

 

         РАСЧЕТ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ

 

АПЕРИОДИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА УСТОЙЧИВОСТИ K2 = 0

 

ТАБЛИЦА КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ

W        K1       K2

0.000000 -3.434066 0.000000

0.001538 -3.327219 0.001369

0.003077 -3.011959 0.005329

0.004615 -2.503887 0.011447

0.006154 -1.828233 0.019034

0.007692 -1.018726 0.027196

0.009231 -0.116080 0.034896

0.010769 0.833836 0.041032

0.012308 1.782074 0.044517

0.013846 2.678837 0.044370

0.015385 3.475768 0.039792

0.016923 4.128202 0.030245

0.018462 4.597282 0.015513

0.020000 4.851844 -0.004253

 

РАСЧЕТ ЛИНИИ РАВНОГО ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

 

СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ = 0.22

 

W        K1       K2

0.000000 -3.434066 0.000000

0.001538 -2.954172 0.001362

0.003077 -2.334213 0.005027

0.004615 -1.620191 0.010232

0.006154 -0.858793 0.016105

0.007692 -0.095154 0.021747

0.009231 0.629134 0.026307

0.010769 1.277682 0.029049

0.012308 1.820598 0.029409

0.013846 2.235384 0.027029

0.015385 2.507436 0.021783

0.016923 2.630145 0.013783

0.018462 2.604631 0.003363

0.020000 2.439161 -0.008941

 

 

Область устойчивости системы в плоскости варьируемых параметров.

 

       Определение направления штриховки колебательной границы устойчивости производится в соответствии со знаком определителя вида.

 

D(w)=  =      =

            

 

           

       При перемещении вдоль колебательной границы в направлении возрастании частоты от 0 до ¥ кривая штрихуется слева, т. к. Dw > 0. Если частоту менять в пределах от - ¥ до 0 (w < 0), то определитель меняет знак и, двигаясь вдоль увеличения частоты, нужно штриховать правую часть кривой. Таким образом, кривая колебательной границы проходится дважды, при этом штрихуется одна и та же часть кривой двойной штриховкой. Апериодическая граница устойчивости штрихуется в сторону колебательной границы устойчивости.

       Параметры регулятора K₁; K₂, выбранные из области устойчивости системы, обеспечат затухание переходной составляющей её движения при любых начальных отклонениях и внешних воздействиях.

 

Расчет линии равного запаса устойчивости.

1.Выведем выражение расширенной АФЧХ регулирующего блока W_р.б.(m₁jw)

 

Передаточная функция:

,

Заменим р на (j - m)w:

 

 

Запишем  в виде

 

= , где

 

- расширенная АЧХ звена

-расширенная ФЧХ звена

 

 

Тогда:

 

2.Выведем выражение расширенной АФЧХ части системы, содержащей остальные элементы в контуре управления.

 

,

где

Заменим р на

, отсюда

Запишем  в виде

 Тогда:

 

       Между заданной степенью колебательности m системы и характером расширенных и частотных характеристик с тем же m существует определенная связь. Для нахождения системы на границе заданной степени колебательности m, определяющей заданный запас устойчивости, необходимо выполнение следующего соотношения:

 

или в показательной форме

 

или

 

       Получили два условия.

Первое условие приводит к уравнению:

 

Второе условие к уравнению вида:

Решив уравнение относительно К₁ и К₂ получим:

 

	0	0,005	0,01
	0	0,6	1,2
	0	0,5646	0,932
	1	0,8253	0,3642
	1	1,1411	1,3021
	-0,0089	-0,0059	-0,0032
	0	0	0,0001

 

 

       Все значения К₁ и К₂, лежащие на кривой обеспечат заданные запас устойчивости. Значения К₁ и К₂, лежащие внутри области, ограниченной данной кривой и осями координат, обеспечат запас больше заданного или степень затухания больше заданной, а лежащие вне этой области – степень затухания меньше заданной. Специальными исследованиями было установлено, что настройки, расположенные чуть правее экстремума линии равного запаса устойчивости, обеспечивают минимум квадратичного интегрального критерия качества, поэтому эти настройки можно назвать оптимальными.