Обчислення частот і головних форм коливань

 

1) Використовуючи програму Dinamo16, обчислюємо на ЕОМ спектр частот вільних коливань та форми коливань з точністю 10^-5. В результаті отримаємо:

Спектр частот вільних коливань:

ω1 = 0.08870705

ω2 = 0.69629471

ω3 = 1.08787716

Форми коливань: (приймаємо, що =1, тоді  )

 

; ; ;

 

,…,  - амплітуда переміщень 1-ї (n -ної) маси з і -тою частотою

2) За отриманими значеннями частот вільних коливань будуємо спектр частот:

 

 

 

3) Зобразимо головні форми коливань, тобто деформовані схеми конструкції, що відповідають певній частоті:

 

Перевірка ортогональності форм коливань

 

,

 

де k - номер маси;

i, j - номер форми коливань.

Умова ортогональності І та ІІ форм:

 

;

 

Відповідно, умова ортогональності І та ІІІ форм:

 

 

Умова ортогональності ІІ та ІІІ форм:

 

 

Отже, перевірки для всіх форм коливань виконані й умова ортогональності задовільняється.

Розрахунок на вимушені коливання

Розрахункова схема

 

 

n=q/ω₁=0,82;

2.2 Запис рівняння вимушених коливань при частоті

 

1). Запишемо диференційне рівняння вимушених коливань. Так як сили опору коливанням не враховуються, то переміщення при вимушених коливаннях будуть залежати від сил інерції і збурюючої сили:

 

 

Рішення системи шукаємо для випадку стаціонарних коливань. Вважаємо, що всі маси коливаються за законом збурюючої сили:

 

у_і=c_іsinθt; = -c_іθ²sinθt,

 

с_і - амплітуда переміщень в і-му напрямку.

В цьому разі:

 

 

2). Обчислимо вільні члени шляхом побудови епюри згинальних моментів від амплітудного значення збурюючої сили:

 

 

Визначимо одиничні переміщення мас під дією зовнішнього навантаження:

 

;

;

.

 

Для перевірки правильності обчислення вільних членів, знайдемо добуток сумарної епюри від одиничного навантаження та епюри моментів від амплітудного значення збурюючої сили:

 

 

Оскільки = , то вільні члени визначено вірно.

Вихідні дані для розрахунку вимушених коливань на ЕОМ

 

Співвідношення частот вимушених і вільних коливань:

 

q/ω₁=0,82; Вектор вільних членів: .

 

Обчислення амплітуд сил інерції та амплітуди коливань

 

Розв’язавши систему рівнянь за допомогою програми Dinamo16, одержимо: амплітуди сил інерції: Z₁ = 2,606116 [кН], Z₂ = 3.135882 [кН], Z₃ = 25.298055 [кН]. Амплітуди коливань: С₁ = 123.137351/ЕІ [м], С₂ = 197.557959/ЕІ [м], С₃ = 683.038443/ЕІ [м].

Побудова епюри згинальних моментів від дії динамічних навантажень та її кінематична перевірка

 

.

 

Виконаємо кінематичну перевірку даної епюри. Для цього знайдемо суму амплітуд коливань:

 

.

 

Також знайдемо добуток епюр та сумарної епюри від одиничного навантаження:

 

 

Оскільки = , то епюру моментів від динамічних навантажень побудовано вірно. Відносна похибка обчислень:

 

.