Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем

Введення

 

Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурах інтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У зв'язку із цим з'явилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.

Уперше задача якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

 

 (0.1)

 

Однієї із задач якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичним застосуванням у різних областях фізики й техніки.

 

 (0.2)

 

Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], у якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданого виду.

Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводження інтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), у яких P (x,y) і Q (x,y) - поліноми другого ступеня.

Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.

У даній роботі розглядається система

 

 (0.3)

 

і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.

Робота складається із двох глав.

У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.

У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.

Висновок

 

У даній дипломній роботі побудована квадратична двовимірна стаціонарна система за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола. При цьому коефіцієнти кривих виражаються через довільний параметр системи.

Список джерел

 

1. Баутин Н.Н. Про число граничних циклів, що з'являються при зміні коефіцієнтів зі стану рівноваги типу фокуса або центра. - К., 1998

2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методи й прийоми якісного дослідження динамічних систем на площині. - К., 2004

3. Бендиксон І. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2006

4. Биркгоф Дж.Д. Динамічні системи. - К., 2003

5. Воробйов А.П. До питання про цикли навколо особою крапки типу “вузол". - К., 2002

6. Еругин Н.П. Побудова всього множини систем диференціальних рівнянь, що мають задану інтегральну криву. - К., 2003

7. Пуанкаре А. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2004

8. Серебрякова Н.Н. Якісне дослідження однієї системи диференціальних рівнянь теорії коливань. - К., 2005

9. Филипцов В.Ф. До питання алгебраїчних інтегралів однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2003

10. Черкас Л.А. Про алгебраїчні рішення рівняння , де P і Q - багаточлени другого ступеня. - К., 2000

11. Яблонський А.І. Алгебраїчні інтеграли однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2000

Додатки

 

Додаток А

 

Поводження траєкторій системи (2.1)

 

а) (d<0)

 

б) (d>0)

Мал.4

Додаток Б

 

Поводження траєкторій системи (2.8)

 

а) (d<0)

 

б) (d>0)

Мал.5

Додаток В

 

Поводження траєкторій системи (2.15)

 

а) (d<0)

 

б) (d>0)

Мал.6

Введення

 

Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурах інтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У зв'язку із цим з'явилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.

Уперше задача якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

 

 (0.1)

 

Однієї із задач якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичним застосуванням у різних областях фізики й техніки.

 

 (0.2)

 

Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], у якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданого виду.

Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводження інтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), у яких P (x,y) і Q (x,y) - поліноми другого ступеня.

Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.

У даній роботі розглядається система

 

 (0.3)

 

і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.

Робота складається із двох глав.

У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.

У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.

Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем