Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)

 

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , , .

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:

 

 (2.1)

 

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

 

 (2.2)

 (2.3)

 

Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:

 

 (2.4)

 

З (2.4) одержуємо, що

 

, , , .

 

Ординати крапок спокою мають вигляд:

 

, , , .

 

Отже, маємо крапки

 

, , , .

 

Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги , , , .

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

 

 

Звідси

 

,  (2.5)

,

 

Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

 

= =0.

,

Або

.

 

Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть

 

.

 

Коріння  - дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка  - сідло.

Досліджуємо крапку

 

.

 

Складемо характеристичне рівняння в крапці

 

.

 

Згідно

рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:

 

,

Або

.

 

Характеристичними числами для крапки  системи (2.1) будуть

 

,

тобто

, .

 

Коріння  - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка  - нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка  - стійкий вузол. Досліджуємо крапку .

Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці

 

:

 

Характеристичними числами для крапки

 

 

системи (2.1) будуть , тобто , . Коріння  - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка  - стійкий вузол, якщо d>0, то крапка  - нестійкий вузол.

Досліджуємо крапку

 

.

 

Складемо характеристичне рівняння в крапці

 

.

 

Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:

 

,

Або

 

Характеристичними числами для крапки

 

 

системи (2.1) будуть

 

,

тобто

, .

 

Коріння  - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка  - сідло.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення

 

 [7]

 

переводить систему (2.1) у систему:

 

 (2.6)

 

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку . Складемо характеристичне рівняння в крапці .

 

Одержимо, що

 

Коріння  - дійсні й одного знака. Отже, крапка  - стійкий вузол.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7]  Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:

 

 (2.7)

 

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:

 

 

Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.

 

Таблиця 1.

d					∞
					x=0
(-∞; 0)	сідло	невуст. вузол	вуст. вузол	сідло	вуст. вузол
(0; +∞)	сідло	вуст. вузол	невуст. вузол	сідло	вуст. вузол

 

Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).

Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.

 

а (d (0)

б            (d (0)

Мал.1