V этап. Вывод уравнений для оценки показателей безотказности объекта.

Для оценки безотказности нагруженной детали на любой момент времени  принимают коэффициент запаса его надежности по выбранному параметру  [1, 2]:

.                               (2.4)

V I этап. Формулирование уравнения перехода объекта в предельное состояние (состояние параметрического отказа).

Уравнение перехода нагруженной детали в предельное состояние (состояние параметрического отказа по выбранному параметру ) с учетом (2.1) записывают в виде:

.                      (2.5)

VI I этап. Вывод уравнений для оценки показателей долговечности (ресурса) объекта.

Ресурс (длительность существования нагруженной детали до разрушения (отказа)) определяется решением уравнения (2.5) относительно :

.                               (2.6)

Предложенная методика (2.1) - (2.6) позволяет определять показатели безотказности (запас надежности  по условию (2.3)) и долговечности (ресурс  по условию (2.5)) любой нагруженной детали для рассчитанных значений максимальных напряжений , температуры  и физико-механических характеристик материала.

Для упрощения расчетов по модели (2.1) - (2.6) при оценке долговечности нагруженных элементов механических систем в работе [1] предложена графическая интерпретация процесса определения ресурса  для рассчитанных значений максимальных напряжений  и температуры , а также известных величин физико-механических характеристик материала детали. Для графического определения долговечности нагруженных технических объектов разработаны типовые номограммы для различных материалов. В качестве примера одна из них представлена на рис.2.2.

Рис. 2.2. Номограмма для оценки долговечности нагруженных элементов

На данной номограмме для нагруженного элемента из стали 25 с указанными механическими свойствами, для расчетных значений напряжения  и температуры , в направлении, указанном стрелками, определен его ресурс, равный .

Справочный материал для расчета показателей безотказности и долговечности нагруженных деталей машин и конструкций из различных материалов по методике (2.1) - (2.6), примеры расчетов, а также соответствующие типовые номограммы, представлены в приложении.

В каждой последующей расчетно-практической работе используются оба способа оценки надежности нагруженных объектов: статический и кинетический. В качестве нагруженной детали рассматривается консольный стержень (балка), подвергаемый определенному виду нагружения внешними силовыми факторами: силой  или моментом .

2.2. Литература

1. Анцупов В.П., Анцупов А.В. (мл.), Анцупов А.В., Слободянский М.Г. Прогнозирование надежности деталей и узлов металлургического оборудования при их проектировании и эксплуатации: учеб. пособие. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. тех. ун-та, 2012.-77 с.

2. Анцупов В.П., Корчунов А. Г. Анцупов А.В. (мл.), Анцупов А.В. Основы диагностики и надежности технических объектов: учеб. пособие. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. тех. ун-та, 2012.-114 с.

РАСЧЕТНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

«ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ НАГРУЖЕННОГО ЭЛЕМЕНТА, ПОДВЕРЖЕННОГО РАСТЯЖЕНИЮ»

 

3.1. Цель работы

Определить показатели надежности стержня, подверженного стационарному растяжению, по критериям статической и кинетической прочности и предложить способы повышения его долговечности.

 

3.2. Расчетная схема нагружения объекта

Исследуемым объектом в данной работе является металлический стержень с пределом текучести материала , подверженный стационарному растяжению, расчетная схема которого представлена на рис.3.1.

   а                                                                                  б            

Рис.3.1. Расчетная схема

а – схема внешнего нагружения элемента; б – эпюра нормальных напряжений в произвольном поперечном сечении стержня

На схеме, рис.3.1:

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - растягивающая сила;

 - внутренняя продольная сила, возникающая в любом поперечном сечении стержня, растягиваемого внешней силой ;

 - внутренние напряжения, возникающие в точках любого поперечного сечения стержня, растягиваемого внешней силой .

 

3.3. Методика и контрольный пример расчета показателей надежности элемента по статическому критерию прочности

 

Методику расчета показателей безотказности и долговечности нагруженного стержня построим в соответствии с методологией (1.1)-(1.7).

В качестве исходных данных для контрольного примера примем следующие значения необходимых для расчета параметров:

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - предел текучести материала – сталь 25;

 - растягивающая сила;

 - площадь поперечного сечения стержня.

1. На первом этапе в качестве параметра состояния нагруженного стержня принимаем внутреннее напряжение - , возникающее в точках растягиваемого силой  элемента, рис.3.1.б.

В соответствии со статическим подходом «Сопротивления материалов», растягивающее напряжение, возникающее в точках любого поперечного сечения нагруженного стержня от действия силы , определяется известным выражением согласно (1.1):

, (3.1)

где  - внутренняя продольная сила, возникающая в любом поперечном сечении стержня, равная внешней силе из условия равновесия отсеченной части, рис.3.1.б.

2. На втором этапе формулируем уравнение (1.2) состояний объекта.

Уравнение состояний нагруженного объекта представляет собой зависимость, определяющую изменение выбранного параметра (здесь ) во времени [2].

Поскольку параметр состояния по условию (3.1) не зависит от времени , то уравнение состояний (1.2) нагруженного стержня вырождается в следующее условие:

,                  (3.2)

т.е. нагруженный элемент по выбранному параметру  находится в одном состоянии, которое не изменяется со временем.

3. На третьем этапе формулируем кинетическое уравнение (1.3) повреждаемости стержня в виде зависимости для оценки скорости изменения параметра состояния во времени - .

Учитывая (3.2), кинетическое уравнение (1.3) повреждаемости объекта вырождается в условие:

.                               (3.3)

4. На четвертом этапе формулируем условие (1.4) работоспособности элемента и оцениваем вид его состояния.

Условие работоспособности растягиваемого стержня, с учетом (3.2), запишем в виде:

.          (3.4)

Поскольку условие работоспособности выполняется, нагруженный стержень находится в работоспособном состоянии.

5. На пятом этапе формулируем уравнение (1.5) для оценки безотказности нагруженного стержня.

С этой целью запишем выражение (1.5) и рассчитаем коэффициент запаса надежности элемента по выбранному параметру :

.        (3.5)

6. На шестом этапе необходимо сформулировать уравнение (1.6) перехода элемента в предельное состояние.

Однако, согласно условию (3.2) параметр состояния элемента имеет постоянное значение - , и не изменяется во времени.

Поэтому уравнение (1.6) перехода элемента в предельное состояние сформулировать невозможно, т. е. для заданных условий нагружения в любой момент времени  расчетное напряжение не может быть равным предельному значению:

.          (3.6)

7. На седьмом этапе сформулируем уравнение (1.7) для оценки долговечности нагруженного стержня.

Поскольку по условию (3.2) параметр состояния элемента имеет постоянное значение - , и не изменяется во времени, т.е. условие его работоспособности (3.4) сохраняется сколь угодно долго, то его ресурс, согласно уравнению (1.7.а), равен бесконечности:

.                                    (3.7)

Вывод. С позиций статического подхода к оценке надежности нагруженных объектов, исследуемый стержень по выбранному параметру  находится постоянно (сколь угодно долго) в одном и том же работоспособном состоянии с коэффициентом запаса надежности, равным , а, следовательно, его ресурс равен бесконечности- .

3.4. Методика и контрольный пример расчета показателей надежности элемента по кинетическому критерию прочности

 

Методику расчета показателей безотказности и долговечности нагруженного стержня по кинетическому критерию прочности построим в соответствии с методологическим подходом (2.1)-(2.6).

Расчетная схема растягиваемого стержня представлена рис. 3.1. В качестве исходных данных для контрольного примера примем следующие значения необходимых для расчета параметров:

1 группа. Внешние и внутренние параметры нагруженного элемента:

 - растягивающая сила;

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - площадь поперечного сечения стержня;

 - напряжение в точках растянутого стержня;

 - назначенный ресурс;

2 группа. Физико-механические характеристики материала стержня – Сталь 25, в исходном состоянии:

 - модуль упругости;

 - модуль сдвига;

 - коэффициент Пуассона;

 - твердость материала по Виккерсу;

– плотность материала;

3 группа. Теплофизические характеристики материала:

 - рабочая температура материала стержня;

 - энтальпия плавления в жидком состоянии;

 - удельная теплоемкость материала (при температуре );

 - коэффициент линейного теплового расширения материала детали;

 - энергия активации процесса разрушения межатомных связей при  и ;

 - коэффициент неравномерности распределения внутренней энергии по объему нагруженной детали (справочное значение);

4 группа. Основные физические константы:

 - число Авогадро;

 - постоянная Планка;

 - универсальная газовая постоянная;

 - постоянная Больцмана.

1. На первом этапе в качестве параметра состояния нагруженного стержня принимаем плотность потенциальной энергии дефектов структуры материала , которая со скоростью  возрастает со временем в поле приложенных внутренних постоянных напряжений - .

2. На втором этапе формулируем уравнение (2.1) состояний нагруженного стержня в виде:

;             (3.8)

где  - начальное значение плотности скрытой энергии материала по (2.1.а):

.  (3.8.а)

3. На третьем этапе формулируем кинетическое уравнение (2.2) повреждаемости структуры локальных объемов материала стержня и определяем скорость  накопления в них энергии дефектов:

,        (3.9)

где  - коэффициент перенапряжения межатомных связей:

;      (3.9.а)

 - коэффициент влияния шаровой части тензора напряжений на энергию активации разрушения межатомных связей:

; (3.9.б)

 - энергия активации процесса разрушения межатомных связей при данном напряжении  и температуре :

  (3.9.г)

 - доля энергии активации, определяемая температурой:

;      (3.9.д)

 - коэффициент всестороннего сжатия материала при температуре :

; (3.9.е)

 - модуль упругости материала стержня при температуре :

; (3.9.ж)

 -коэффициент Пуассона материала стержня при температуре :

; (3.9.з)

 - коэффициент эквивалентности квазистационарного напряженного состояния стационарному:

;          (3.9.и)

 - коэффициент асимметрии цикла при статическом нагружении:

,

так как .

 - модуль сдвига материала стержня при температуре :

. (3.9.к)

4. На четвертом этапе формулируем условие (2.3) работоспособности элемента и оцениваем вид его состояния для назначенного ресурса .

Условие работоспособности (2.3), с учетом (3.8) и (3.9), запишем в виде:

; (3.10)

где  - критическая плотность энергии дефектов структуры локальных объемов нагруженного стержня при температуре  согласно (2.3.а,б):

; (3.10.а)

 - тепловая составляющая плотности внутренней энергии элемента твердого тела на момент разрушения согласно (2.3.в):

.   (3.10.б)

Для назначенного ресурса  плотность энергии дефектов структуры локальных объемов нагруженного стержня составит:

;  (3.10.г)

Поскольку условие работоспособности (3.10) для назначенного ресурса  выполняется:

, (3.10.д)

нагруженный стержень на данный момент времени  находится в работоспособном состоянии по выбранному параметру .

5. На пятом этапе формулируем уравнение (2.4) для оценки безотказности нагруженного стержня.

С этой целью запишем уравнение (2.4) и рассчитаем коэффициент запаса надежности элемента по выбранному параметру  на момент времени , который составит:

.    (3.11)

6. На шестом этапе сформулируем уравнение (2.5) перехода нагруженного стержня в предельное состояние с учетом (3.8) и (3.10.а) в виде:

;   (3.12)

7. На седьмом этапе формулируем уравнение (2.6) для оценки долговечности нагруженного стержня.

С этой целью решим уравнение (3.12) относительно :

. (3.13)

Вывод. Проведенные с позиций кинетического подхода расчеты показателей надежности исследуемого стержня, подверженного стационарному растяжению, показали следующее:

- состояние нагруженного элемента по выбранному параметру  изменяется во времени: от начального, при котором , до критического, при котором ;

- основной показатель безотказности растянутого стержня – запас его надежности по выбранному параметру: , также зависит от длительности его пребывания под нагрузкой, т. е. изменяется (убывает) с течением времени:

при , запас - ;

при , запас - ;

для назначенного в исходных данных ресурса - , запас надежности составляет -  (см. (3.11));

- прогнозируемый предельный ресурс исследуемого элемента (предельная длительность пребывания стержня под нагрузкой от момента ее приложения до момента отказа (разрушения)) составляет -  (см. (3.13)).

 

3.5. Графическая интерпретация кинетического подхода к определению ресурса нагруженного элемента

Для упрощения расчетов при оценке долговечности нагруженных элементов механических систем, можно использовать типовые номограммы. Номограммы представляют собой графическую интерпретацию модели (2.1)–(2.6) процесса формирования отказа нагруженных элементов, выполненных из различных материалов, и служат для приближенной оценки их ресурса. В частности, номограмма для элементов, изготовленных из стали25, представлена на рис.3.2.

Рис. 3.2. Номограмма для оценки ресурса нагруженных элементов

Ресурс исследуемого стержня, подверженного растяжению согласно расчетной схеме, рис.3.1, и приведенным исходным данным, можно оценить по номограмме следующим образом.

По рассчитанному значению напряжения , отложенному по оси абсцисс, и кривой, соответствующей заданному в исходных данных значению его рабочей температуры , необходимо по оси ординат найти (считать) значение искомого ресурса. В данном случае он составит , что приблизительно совпадает с его расчетным значением по условию (3.13).

 

3.6. Исследование способов повышения долговечности объекта

 

Данный раздел предназначен для приобретения студентами творческих навыков проведения аналитических исследований в виде разработки новых решений, направленных на повышение долговечности исследуемого технического объекта.

Используя методику расчета (3.8) –(3.13) и номограмму на рис.3.2, каждому студенту необходимо самостоятельно решить следующие задачи.

1. Выяснить влияние на долговечность растянутого стержня следующих параметров:

- растягивающей силы ;

- температуры стержня ;

- твердости поверхности стержня ;

- диаметра стержня ;

- применения новых марок стали: Ст45 (отжиг); Ст45 (нормализация); Ст45(закалка); Ст40Х (отжиг), 20Х13, характеристики которых представлены в приложении;

- построить графики зависимостей: ; ; ; , а также гистограмму по сравнительной оценке долговечности элементов, изготовленных из указанных марок стали.

2. На основании полученных результатов предложить практические способы повышения долговечности исследуемого в данной работе нагруженного элемента.

3.7. Общие выводы по работе

В данном разделе необходимо выделить наиболее целесообразный подход к оценке надежности растягиваемого стержня и перечислить наиболее эффективные способы повышения его долговечности.

РАСЧЕТНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

«ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ НАГРУЖЕННОГО ЭЛЕМЕНТА, ПОДВЕРЖЕННОГО ИЗГИБУ»

 

4.1. Цель работы

Определить показатели надежности стержня, подверженного стационарному изгибу, по критериям статической и кинетической прочности и предложить способы повышения его долговечности.

 

4.2. Расчетная схема нагружения объекта

 

Исследуемым объектом в данной работе является металлический стержень (балка) с пределом текучести материала , подверженный стационарному изгибу, расчетная схема которого представлена на рис.4.1.

                  а                                                          б    

Рис.4.1. Расчетная схема

а – схема внешнего нагружения элемента; б – эпюра нормальных напряжений в опасном поперечном сечении стержня

На схеме, рис.4.1:

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - изгибающая сила;

 - внутренний максимальный изгибающий момент, возникающий в опасном поперечном сечении заделки стержня, изгибаемого внешней силой ;

 - максимальные внутренние напряжения, возникающие в наиболее нагруженных точках опасного поперечного сечения стержня в результате действия в нем внутреннего изгибающего момента .

 

 

4.3 Методика и контрольный пример расчета показателей надежности элемента по статическому критерию прочности

 

Методику расчета показателей безотказности и долговечности нагруженного стержня построим в соответствии с методологией (1.1)-(1.7).

В качестве исходных данных для контрольного примера примем следующие значения необходимых для расчета параметров:

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - предел текучести материала – сталь 25;

 - растягивающая сила.

1. На первом этапе в качестве параметра состояния нагруженного стержня принимаем внутреннее напряжение - , возникающее в наиболее нагруженных точках опасного сечения элемента, изгибаемого силой , рис.4.1.б.

В соответствии со статическим подходом «Сопротивления материалов», максимальное растягивающее напряжение, возникающее в точках опасного поперечного сечения изгибаемого стержня, определяется известным выражением согласно (1.1):

, (4.1)

где  - внутренний изгибающий момент, действующий в опасном поперечном сечении стержня, равный моменту внешней силы  из условия равновесия отсеченной части, рис.4.1.б;

 - осевой момент сопротивления опасного сечения стержня повороту при его изгибе силой .

2. На втором этапе формулируем уравнение (1.2) состояний объекта.

Уравнение состояний нагруженного объекта представляет собой зависимость, определяющую изменение выбранного параметра (здесь ) во времени [2].

Поскольку параметр состояния по условию (4.1) не зависит от времени , то уравнение состояний (1.2) нагруженного стержня вырождается в следующее условие:

,                (4.2)

т.е. нагруженный элемент по выбранному параметру  находится в одном состоянии, которое не изменяется со временем.

3. На третьем этапе формулируем кинетическое уравнение (1.3) повреждаемости стержня в виде зависимости для оценки скорости изменения параметра состояния во времени - .

Учитывая (4.2), кинетическое уравнение (1.3) повреждаемости объекта вырождается в условие:

.                  (4.3)

4. На четвертом этапе формулируем условие (1.4) работоспособности элемента и оцениваем вид его состояния.

Условие работоспособности растягиваемого стержня, с учетом (4.2), запишем в виде:

.       (4.4)

Поскольку условие работоспособности выполняется, нагруженный стержень находится в работоспособном состоянии по выбранному параметру .

5. На пятом этапе формулируем уравнение (1.5) для оценки безотказности нагруженного стержня.

С этой целью запишем выражение (1.5) и рассчитаем коэффициент запаса надежности элемента по выбранному параметру :

.    (4.5)

6. На шестом этапе необходимо сформулировать уравнение (1.6) перехода элемента в предельное состояние.

Однако, согласно условию (4.2) параметр состояния элемента имеет постоянное значение - , и не изменяется во времени.

Поэтому уравнение (1.6) перехода элемента в предельное состояние сформулировать невозможно, т. е. для заданных условий нагружения в любой момент времени  расчетное напряжение не может быть равным предельному значению:

.           (4.6)

7. На седьмом этапе сформулируем уравнение (1.7) для оценки долговечности нагруженного стержня.

Поскольку по условию (4.2) параметр состояния элемента имеет постоянное значение - , и не изменяется во времени, т.е. условие его работоспособности (4.4) сохраняется сколь угодно долго, то его ресурс, согласно уравнению (1.7.а), равен бесконечности:

.                                    (4.7)

Вывод. С позиций статического подхода к оценке надежности нагруженных объектов, исследуемый стержень по выбранному параметру  находится постоянно (сколь угодно долго) в одном и том же работоспособном состоянии с коэффициентом запаса надежности, равным , а, следовательно, его ресурс равен бесконечности- .

4.4. Методика и контрольный пример расчета показателей надежности элемента по кинетическому критерию прочности

 

Методику расчета показателей безотказности и долговечности нагруженного стержня по кинетическому критерию прочности построим в соответствии с методологическим подходом (2.1)-(2.6).

Расчетная схема растягиваемого стержня представлена рис. 4.1. В качестве исходных данных для контрольного примера примем следующие значения необходимых для расчета параметров:

1 группа. Внешние и внутренние параметры нагруженного элемента:

 - изгибающая сила;

 - диаметр стержня;

 - длина стержня;

 - максимальные напряжения в наиболее нагруженных точках изогнутого стержня;

 - назначенный ресурс;

2 группа. Физико-механические характеристики материала стержня – Сталь 25, в исходном состоянии:

 - модуль упругости;

 - модуль сдвига;

 - коэффициент Пуассона;

 - твердость материала стержня по Виккерсу;

– плотность материала;

3 группа. Теплофизические характеристики материала:

 - рабочая температура материала стержня;

 - энтальпия плавления в жидком состоянии;

 - удельная теплоемкость материала (при температуре );

 - коэффициент линейного теплового расширения материала детали;

 - энергия активации процесса разрушения межатомных связей при  и ;

 - коэффициент неравномерности распределения внутренней энергии по объему нагруженной детали (справочное значение);

4 группа. Основные физические константы:

 - число Авогадро;

 - постоянная Планка;

 - универсальная газовая постоянная;

 - постоянная Больцмана.

1. На первом этапе в качестве параметра состояния нагруженного стержня принимаем плотность потенциальной энергии дефектов структуры материала , которая со скоростью  возрастает со временем в поле приложенных внутренних постоянных напряжений - .

2. На втором этапе формулируем уравнение (2.1) состояний нагруженного стержня в виде:

;             (4.8)

где  - начальное значение плотности скрытой энергии материала по (2.1.а):

.  (4.8.а)

3. На третьем этапе формулируем кинетическое уравнение (2.2) повреждаемости структуры локальных объемов материала стержня и определяем скорость  накопления в них энергии дефектов:

,        (4.9)

где  - коэффициент перенапряжения межатомных связей:

;    (4.9.а)

 - коэффициент влияния шаровой части тензора напряжений на энергию активации разрушения межатомных связей:

; (4.9.б)

 - энергия активации процесса разрушения межатомных связей при данном напряжении  и температуре :

(4.9.г)

 - доля энергии активации, определяемая температурой:

;      (4.9.д)

 - коэффициент всестороннего сжатия материала при температуре :

; (4.9.е)

 - модуль упругости материала стержня при температуре :

; (4.9.ж)