Синтез регулятора тока в пространстве естественных координат

 

Синтез контура тока проведем в пространстве ЭДС преобразователя, тока и скорости. Для этого запишем систему уравнений, описывающую контур тока:

 

                            (2.1)

 

Запишем систему (2.1) в следующем виде:

 

           (2.2)

 

Перейдём к относительным координатам:

 

,                               (2.3)

где - максимально допустимый ток якоря;

- скорость идеального холостого хода;

 - максимальная ЭДС преобразователя;

В – максимальное значение управляющего воздействия.

С учётом (2.3) система (2.2) примет вид:

 

,                       (2.4)

 

где , , ,

.

 

 

Расчёт коэффициентов системы (2.4) и все дальнейшие расчёты выполнены с помощью программы "Mathcad 11 Enterprise Edition".

Перейдём к относительным единицам, т.е.

 

, 2, 3, 4,

 

где - некоторая стабилизирующая траектория.

 

В этом случае мы переходим в фазовое пространство возмущённого движения:

              (2.5)

 

Перед нами стоит задача найти управление, ограниченное условием и оптимизирующее функционал вида:

 

,

 

где и - корректирующие коэффициенты, ограничивающие координаты и соответственно.

Для решения поставленной задачи необходимо найти функцию Ляпунова, которая является решением функционального уравнения Беллмана:

 

.

 

В этом случае управление ищется в виде:

 

,

 

где .

Для определения коэффициентов функции Ляпунова воспользуемся векторным уравнением Барбашина:

 

                                          (2.6)

 

где С – матрица Барбашина

 

 

                    (2.7)

 

А – вектор-столбец коэффициентов Ляпунова;

К – вектор-столбец ограничивающих коэффициентов.

 

Для нашего случая уравнение (2.6) примет вид:

 

Для данной системы:

 

Таким образом управление имеет вид:

 

.        (2.8)

 

В соответствии с (2.8) структурная схема контура тока примет вид, приведенный на рисунке 2.1.

Вычисление коэффициентов A₁₃, А₂₃ и А₃₃ произведено с помощью программы Mathcad 11 Enterprise Edition.

 

А₁₃ = 0.033 А₂₃ = – 0.01   А₃₃ = 0.017

 

Расчет приведен в приложении А.

 

Рисунок 2.1 – Структурная схема контура тока

 

Функциональная схема релейного регулятора тока изображена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Функциональная схема релейного регулятора тока

 

Для получения информации о ЭДС ТП в схеме применен суммирующий усилитель DA2, на выходе которого складываются сигналы датчиков тока и напряжения. Если максимальное выходное напряжение датчика напряжения ТП равно 10В, то его коэффициент передачи:

 

       (2.9)

 

Выходное напряжение DA2 определяется выражением:

 

  (2.10)

 

Пусть R₂=33 кОм

(2.11)

 

(2.12)

 

Сопротивление инвертора, выполненного на операционном усилителе DA3, равным R₃ = R₃₁ = 100 кОм.

 

                     (2.13)

        (2.14)

      (2.15)

         (2.16)

 

где k=1.5 – некоторый коэффициент пропорциональности.

Принимаем резисторы типа МЛТ-0,125 сопротивлением 200 Ом, 33кОм, 82Ом и 390 Ом соответственно.

 

Синтез регулятора скорости

 

Синтез регулятора скорости производится в том же пространстве, что и регулятора тока. Воспользуемся тем же методом.

Матричное уравнение имеет вид:

 

Управление имеет вид:

 

.              (2.17)

 

Вычисление коэффициентов A₁₃, А₂₃ и А₃₃ произведено с помощью прикладной программы MCAD.

 

 

Расчет приведен в приложении Б.

Структурная схема контура скорости приведена на рисунке 2.3

 

Рисунок 2.3 – Структурная схема контура скорости

Функциональная схема регулятора скорости такая же, как и регулятора тока, с той лишь разницей, что регулятор скорости формирует задание на регулятор тока.

В результате меняются лишь сопротивления, причем принимаем, что входное сопротивление R₁₁=10 кОм, тогда:

 

           (2.18)

 

Принимаем R₁₂=20 кОм, R₁₃=1.5 кОм, R₁₄=6.8 кОм.

 

Синтез регулятора положения

 

Для облегчения дальнейшего синтеза релейного регулятора положения введем относительные координаты:

 

; ; ; ; .    (2.19)

 

Приводя замену переменных , (к=1,…,4), преобразуем уравнения в систему дифференциальных уравнений возмущенного движения:

  (2.20)

 

где  

 

 

Минимальное время отработки заданного перемещения позиционным следящим электроприводом (при наличии ограничений на максимальные значения тока и скорости) может быть обеспечено тогда, когда каждая ограничиваемая координата последовательно от входа к выходу объекта управления будет за минимально возможное время выведена на уровень ограничения и останется застабилизированной на этом уровне до тех пор, пока следующая координата не достигнет заданного значения. Качество управления таким электроприводом может быть задано функционалом:

 

                    (2.21)

 

с изменяющимися в отдельных точках траектории движения системы весовыми коэффициентами W₁₁, W₂₂, W₃₃. Эти точки определяют моменты стыковки законов управления, обеспечивающих оптимальную стабилизацию тока, скорости, положения.

Оптимальное управление, минимизирующее функционал (2.21) на траекториях движения системы (2.20) при ограничении  имеет вид:

    (2.22)

 

Коэффициенты А₄₁, А₄₂, А₄₃, А₄₄ являются коэффициентами функции Ляпунова, полная производная во времени которой, вычисленная в соответствии с системой (2.20), равна подынтегральной функции функционала (2.21) с отрицательным знаком.

Построение функции Ляпунова для системы (2.20) приводит к неопределенности, вызванной нулевым корнем характеристического уравнения системы. Этот корень обусловлен наличием в составе силовой части электропривода интегрирующего звена, осуществляющего преобразование угловой скорости вала двигателя в перемещение рабочего органа исполнительного механизма.

Для устранения такого рода неопределенности достаточно представить интегрирующее звено с передаточной функцией  в виде звена с передаточной функцией  и устремить постоянную времени  к бесконечности. При этом справедливо соотношение:

 

                                       (2.23)

 

В этом случае расчетная система дифференциальных уравнений возмущенного движения (2.20) видоизменится:

 

            (2.24)

где .

 

Матричное уравнение Барбашина для синтеза управляющего воздействия релейного регулятора положения примет вид.

 

 

Вычисление коэффициентов Ляпунова А₄₁, А₄₂, А₄₃, А₄₄ произведено с помощью прикладной программы MCAD и имеют следующие значения:

  

 

В большинстве систем позиционирования желательно обеспечить траектории наибольшего быстродействия, т.е. сформировать прямоугольный график тока, треугольный (трапецеидальный) – скорости и параболический – положения.

Чтобы упростить задатчик, считаем, что переходный процесс позиционирования является процессом второго порядка. Тогда, применительно к данной системе, на траектории наибольшего быстродействия ускорение движения должно изменяться по закону:

 

,               (2.25)

где  – ускорение и его максимальное значение;

 – линейная скорость движения, формируемая задатчиком;

 – соответственно задание на положение и выходная величина задатчика.

Структурная схема задатчика траектории, реализующего закон (2.25) приведена на рисунке 2.4

 

Рисунок 2.4 – Cтруктурная схема задатчика траектории положения

 

В соответствии с полученными схемами можно определить выходное напряжение регулятора положения:

 

.            (2.26)

 

Решая неравенство относительно сопротивлений , получим:

(2.28)

 

 

 

(2.29)