Логічне мислення та його складові

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни “Педагогіка”

на тему: „Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії”

 

ЗМІСТ

 

ВСТУП

РОЗДІЛ 1 ЛОГІЧНЕ МИСЛЕННЯ ТА ЙОГО СКЛАДОВІ

1.1 Логіка як наука про мислення

1.2 Поняття як перший ступінь логічних форм мислення

1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення

1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення

1.5 Основні закони логіки мислення

РОЗДІЛ 2 ВПЛИВ ВИБОРУ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ НА РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ШКОЛІ

2.1 Традиційні методи навчання та їх класифікація

2.2 Класифікація методів проблемнорозвиваючого навчання

2.3 Методи логічнодидактичних ігор на уроках геометрії

РОЗДІЛ 3 РОЛЬ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ШКІЛЬНОГО УЧБОВОГО ПРОЦЕСУ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ У РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ

3.1 Роль геометричних означень та понять

3.2 Роль логічних доведень геометричних тверджень(лем та теорем)

3.3 Роль практичного розв’язування геометричних задач

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ДОДАТКИ

ВСТУП

 

Відомо, що людина відрізняється від інших живих істот своїм умінням мислити, думати. Мислення – це вища форма пізнання світу. Свої думки людина виражає за допомогою мови. Навіть тоді, коли людина міркує „про себе”, вона неодмінно оформляє думки словами. Психологи називають це внутрішньою мовою.

Всебічні дослідження привели вчених до висновку, що мислення і мова становлять нерозривну єдність. Якщо ж проаналізувати мову довільної групи людей, то можна помітити, що вона не однакова: одні люди виражають свої думки лаконічно, чітко, зрозуміло, обгрунтовано, інші – розпливчасто, не завжди зрозуміло. Про перших часто говорять, що вони мислять логічно, про других цього сказати не можна. Звичайно, кожний з нас хотів би мислити логічно. Слово „логічно” походить від терміна „логіка”. Логікаце наука про форми і закони мислення. Хоч мислення має надзвичайно складну структуру, стародавні мислителі помітили, що значну частину умовиводів (висновків) ми робимо за стандартними схемами, незалежними від того конкретного матеріалу, яким оперуємо. Так, закон силогізму, яким ми часто користаємося, твердить: „з істиності тверджень „  суть ” і „  суть ” випливає істинність твердження „  суть ” незалежно від того, які об’єкти позначено буквами , , .

Близько 2,5 тисячі років тому в Індіїї, Китаї і Греції мислителі й філософи почали систематично вивчати загальні форми логічних умовиводів. Особливо вплинула на формування логіки як науки і на її дальший розвиток давньогрецька формальна логіка, розвинута Платоном, Арістотелем і стоїками. Велике значення для її розвитку мали праці великого грецького мислителя Арістотеля (384322 рр. до н.е.), в яких він показав що правильні міркування підпорядковані невеликій кількості законів, які не залежать від змісту

висловлень, а тільки від їх форми.

Тому традиційну, Арістотелеву, логіку називають ще формальною, а Арістотеля вважають батьком формальної логіки. Він розвинув її настільки фундаментально, що багато століть вона залишалась неперевершеним зразком логічного аналізу.

У 17 столітті видатний німецький учений Г.Лейбниц (16461716) чітко сформулював ідею побудови нової логіки, в якій би кожному поняттю відповідав певний символ, а міркування мали б форму обчислень. Проте його праці містили лише програму побудови так званої символічної логіки. Тільки в середині 19 століття англійский математик Д. Буль (18151864) частково втілив у життя ідею Лейбница: він створив алгебру логіки, в якій діють закони, подібні до законів звичайної алгебри, але буквами позначаються не числа, а висловлення.

Великий внесок у розвиток математичної логіки зробили вчені різних країн: німці Г. Фреге (18481925), Д. Гільберт (18621943), австрієць К. Гедель (народився в 1906 р.), англійці А де Морган (18061871), А. Уайтхед (18611947), Б. Рассел (18721970), поляки Я. Лукасевич (18781956), А. Тарський (19011983), американці А. Черч (народився в 1903 р.), А. Тьюрінг (19121954), італієць Д.Пеано (18581932), росіянин П.С.Порецький (18461907), радянські математики П.С.Новиков (19011975), А.А. Марков (19031980), А.М. Колмогоров (19031987) та інші.

Математична логіка уточнила й поновому висвітлила поняття і методи традіційної формальної логіки, істотно розширила її можливості й сферу застосування. Нині математична логіка використовується в біології, медицині, лінгвістиці, педагогіці, психології, економіці, техніці, не говорячи вже про саму математику. Надзвичайно важлива роль належить математичній логіці в розвитку обчислювальної техніки: вона використовується в конструюванні електроннообчислювальних машин (ЕОМ) і при розробці штучних мов для спілкування з машинами.

Метою дійсної курсової роботи було дослідження шляхів побудови програм навчання курсу геометрії в школі з погляду виховання логічного мислення учнів.

РОЗДІЛ 1

РОЗДІЛ 2

РОЗДІЛ 3

МИСЛЕННЯ УЧНІВ

Рис. 3.1

 

Сформульоване твердження виражає ознака (перпендикулярність двох прямих до третьої прямої), по якому можна зробити висновок про паралельність двох прямих, або, коротко говорячи, ознака паралельності двох прямих.

2. Про січну паралельних прямих і утворених нею кутах

Нехай a і b  дві паралельні прямі й c третя пряма, що перетинає прямі a і b (рис.3.2). Пряма c стосовно паралельних прямих a і b називається січною.

Січна утворить із паралельними прямими дві пари внутрішніх одностронних і дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів.

 

Рис.3.2

 

Нехай відповідні кути 1 і 2 рівні: l = 2. Тому що 2 = 3 (як вертикальні кути), те l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а║ b.

Нехай сума однобічних кутів 1 і 2 дорівнює 180°. Тому що сума суміжних кутів 3 і 2 також дорівнює 180°, то l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а ║ b

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

Приведемо означення прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції.

Означення. Параллелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Означення.Прямокутник це параллелограм, у якого всі кути прямі.

Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Означення.Трикутником називається фігура. яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки сторонами.

4. Про площу прямокутника

Теорема. Площа прямокутника зі сторонами  дорівнює

На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.

а) Площа паралелограма

Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Довести: SABCD=AD x BH

Доведення

1. Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH, і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.3.3. Одержимо прямокутник HBCH1, рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD.

2. SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

 

Рис.3.3 Дано: ABCDПаралелограм, ADпідстава, BHВисота

б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

 

Рис.3.4. Дано: ABCТрикутник, AC основа, BH висота

 

Довести: SABC =? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.3.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

 

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC

 

тому що NСередина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота

 

Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий, тобто SABN=SABCD

 

SABN=1/2 AN x BH, (3.1)

 

Але AN =AD + DN, а DN = BC.

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.

г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).

Дано довільний 5кутник  [3].

Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник

 

Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник:

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK

3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й  побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу, то

їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE

8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі, тобто мають рівну площу.

10.Отриманий трикутник  є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки:

 

 

Рис. 3.7

 

Це можна зробити чотирма способами: на меншій стороні відкласти більшу від крапки З1 або від крапки В1 або на більшій відкласти меншу й знову відкладати як від крапки В1, так і від крапки А1. Якщо різниця буде біля крапки В1, то тоді дані не зв'язані між собою й не можна намітити план рішення. Якщо ж В1 А1 відкладемо від крапки В1 на В1С1, то дані: підстава, кут при підставах і різниця двох інших сторін – будуть зв'язані між собою, але й цей зв'язок не дає можливості намітити план рішення, вона недостатньо тверда, щоб побудувати, відновити фігуру Д2C1A1B1. Найкраще ввести різницю, відкладаючи B1D1 = B1C1, тому що в цьому випадку ми вже зможемо відновити фігуру З1А1Д1. Конкретизувавши в такий спосіб дані задачі, приступаємо до складання плану рішення.

Побудувавши в довільної прямий відрізок, дорівнює підставі, одержимо дві вершини трикутника: А1 і З1. Знаючи кут З1А1У1, ми можемо знайти й положення крапки D1, де D1А1 = В1А1 – В1С1. Залишається розглянути, як побудувати крапку В1 знаючи положення крапки D1. Тому що З1У1 = В1D1, то крапка В1 равноудалена від крапок З1 і D1, тому вона повинна лежати на перпендикулярі Р1Q1, проведеному до відрізка З1D1 через його середину. Крапка перетинання прямій Р1Q1 і лучачи А1D1 і буде крапкою В1. Отже, приходимо до наступної побудови. На довільній прямій відкладаємо відрізок, дорівнює підставі, і будуємо кут, рівний даному, одна зі сторін якого містить побудований відрізок, а вершина збігається з кінцем цього відрізка. На другій стороні кута відкладаємо відрізок, рівний різниці двох інших сторін трикутника, і будуємо геометричне місце крапок, равноудаленных від відповідних кінців підстав і побудованого відрізка. Крапку перетинання цього геометричного місця зі стороною кута, що містить різниця, з'єднуємо з кінцем підставі й одержуємо шуканий трикутник.

Із цього приклада видно, що при відшуканні рішення задачі на побудову, як і для арифметичних задач, застосовується аналітикосинтетичний метод. Після того як фігура побудована, необхідно встановити, чи задовольняє вона умовам задачі, тобто показати, що фігура, отримана з даних елементів певною побудовою, задовольняє всім умовам задачі. Виходить, доказ істотно залежить від способу побудови. Ту саму задачу можна вирішувати різними способами, залежно від наміченого при аналізі плану побудови, а тому, і доказ у кожному випадку буде своїм. Розглянемо задачу: «Побудувати трапецію по чотирьох сторонах» (рис.3.8).

Рис. 3.8

 

Провівши СК||ВА, рішення задачі зводимо до побудови трикутника КС по трьох сторонах: дві дорівнюють бічним сторонам трапеції (АК = КС), а КD = АD – ВР. Побудуємо трикутник КС, і, уважаючи сторону АD побудованої, доповнимо його до трапеції різними способами:

1) Проведемо ВС||А і, відклавши меншу підставу, з'єднаємо отриману крапку В с А Доказ зведеться до встановлення рівності: АВ = КС.

2) Якщо провести АВ||КС і ВС||А, те тоді вже треба довести, що АВ = КС і ВР = АК.

3) Якщо провести пряму СВ||DА й на ній знайти крапки В и В1, що відстоять від А на відстані, рівній бічній стороні, то в цьому випадку крапка В1 буде сторонньої й лише крапка В буде шуканої, причому доказ (ВР = АК) уже ускладнюється.

4) Якщо відшукувати крапку В, як крапку перетинання окружностей (А; АВ) і (З; СВ), те із двох крапок У и В2 тільки крапка В буде шуканою.

Третій і четвертий випадки підкреслюють необхідність доказу. В аналізі ми знаходимо необхідні умови, яким повинне підкорятися побудова, щоб одержати шукану фігуру. Треба ще встановити, що знайдені необхідні умови є й достатніми, тобто, що побудована фігура задовольняє всім вимогам задачі.

ВИСНОВКИ

Логічне мислення – це вивчення об’єкту чи явища природи поступово за моделю > “ознаки та поняття “ >” судження” > ” умовивід” з використанням 4х основних законів логіки: закону тотожності, закону суперечності; закону третього і закону достатньої підстави.

Структура геометрії – найбільш наближена до наведеного алгоритму логічного мислення, тому вивчення геометрії в шкільному курсі є процесом формування логічного типу мислення у учнів.

Взірцем учбового курсу геометрії з позицій логічного розвитку учнів є “Начала” Евкліда, в яких викладені основи планіметрії, стереометрії й арифметики. Головна особливість “Начал” у тому, що вони побудовані за єдиною логічною схемою, яку розробив Арістотель (384–322 рр. до н. е.).

Геометричне твердження за Евклідом, якщо воно повне, складається із шести логічно пов’язаних частин: 1) формулювання в загальних виразах; 2) постановка, яка відзначає конкретні дані, як правило, зображені у вигляді фігури; 3) визначення або вказівка (діорисмос), в якій вказується, що треба зробити або довести; 4) побудова, до якої входять додатки, необхідні для доведення; 5) саме доведення; 6) висновок, який повертається до формулювання і так само висловлюється в загальних виразах.

“Начала” починаються з означень, постулатів і загальних понять (п’ять постулатів і дев’ять аксіом), із яких Евклід розвинув всю геометричну систему виключно логічним шляхом на основі викладених 470 тверджень, побудованих чисто дедуктивним способом.

Аналіз сучасних підручників геометрії у школі показує, що потрібно ще раз повернутися до переробки системи викладання геометрії у школі, зосередивши послідовність викладення матеріалу у напрямку розвитку логічного мислення у учнів. При цьому, в підручниках необхідно ввести розділ „Логічна геометрія Евкліда”, оскільки вона, проіснувавши майже 2 тисячоліття, і в наш час є послідовним підручником для становлення системи логічного мислення.

 

Додаток А

 

Зміст навчального матеріалу та державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів [6]

 

Таблиця А.1

7й клас. ГЕОМЕТРІЯ

Кть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
4	Тема 1. НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФIГУРИ ТА        ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Геометричні фігури. Точка, пряма, відрізок, промінь, кут та їх властивості. Вимірювання відрізків і кутів. Бісектриса кута. Відстань між двома точками. Вимірювальні, креслярські та допоміжні інструменти, що використовуються в геометрії.	Наводить приклади геометричних фігур. Описує точку, пряму, відрізок, промінь, кут. Формулює: означення: рівних відрізків, рівних кутів, бісектриси кута; властивості: розміщення точок на прямій; вимірювання відрізків і кутів. Знаходить довжину відрізка, градусну міру кута, використовуючи властивості їх вимірювання. Зображує за допомогою креслярських інструментів геометричні фігури, вказані у змісті. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
12	Тема 2. ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ НА        ПЛОЩИНІ Суміжні та вертикальні кути, їх властивості. Паралельні та перпендикулярні прямі, їх властивості. Перпендикуляр. Відстань від точки до прямої. Кут між двома прямими, що перетинаються. Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих. Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною.	Пояснює, що таке аксіома, теорема, означення, ознака. Наводить приклади геометричних фігур, вказаних у змісті. Зображує за допомогою лінійки і косинця паралельні й перпендикулярні прямі. Описує кути, утворені при перетині двох прямих січною. Формулює: означення: суміжних і вертикальних кутів, паралельних і перпендикулярних прямих, перпендикуляра, відстані від точки до прямої; властивості: суміжних і вертикальних кутів; паралельних і перпендикулярних прямих, кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною; ознаки паралельності прямих. Обґрунтовує взаємне розміщення вказаних у змісті геометричних фігур, спираючись на їх властивості. Доводить властивості суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих, перпендикулярних прямих, ознаки паралельності прямих. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
18	Тема 3. ТРИКУТНИКИ Трикутник і його елементи. Рівність геометричних фігур. Ознаки рівності трикутників. Види трикутників. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки. Висота, бісектриса і медіана трикутника. Ознаки рівності прямокутних трикутників. Властивості прямокутних трикутників. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника та його властивості. Нерівність трикутника.	Описує зміст поняття “рівні фігури”. Наводить приклади рівних фігур. Зображує та знаходить на малюнках рівносторонні, рівнобедрені, прямокутні трикутники та їх елементи. Формулює: означення: різних видів трикутників; бісектриси, висоти, медіани трикутника; властивості: рівнобедреного і прямокутного трикутників; ознаки: рівності трикутників; рівнобедреного трикутника. Класифікує трикутники за сторонами і кутами. Доводить: ознаки рівності трикутників, ознаки рівності та властивості прямокутних трикутників, властивості й ознаки рівнобедреного трикутника, властивості кутів трикутника, властивість зовнішнього кута трикутника. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
14	Тема 4. КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ Коло. Круг. Дотична до кола, її властивість. Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник. Задача на побудову та її розв’язування. Основні задачі на побудову: — побудова трикутника за трьома сторонами; — побудова кута, що дорівнює даному; — побудова бісектриси даного кута; — поділ даного відрізка навпіл; — побудова прямої, яка перпендикулярна до даної пря мої. Геометричне місце точок. Метод геометричних місць.	Пояснює, що таке: задача на побудову; геометричне місце точок. Зображує на малюнках коло та його елементи; дотичну до кола; коло, вписане в трикутник, і коло, описане навколо нього. Описує взаємне розташування кола і прямої. Формулює: означення: кола, круга, їх елементів; дотичної до кола, кола, описаного навколо трикутника, і кола, вписаного в трикутник; властивості: серединного перпендикуляра, бісектриси кута, дотичної до кола, діаметра і хорди, точки перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника, точки перетину бісектрис кутів трикутника. Доводить властивості: дотичної до кола, існування кола, вписаного в трикутник, та кола, описаного навколо трикутника. Доводить правильність виконаних побудов для основних задач. Розв’язує основні задачі на побудову та нескладні задачі, розв’язання яких зводиться до основних побудов. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.

 

Таблиця А.2

8й клас. ГЕОМЕТРІЯ

Кть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
24	Тема 1. ЧОТИРИКУТНИКИ Чотирикутник, його елементи. Паралелограм та його властивості. Ознаки паралелограма. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості. Трапеція. Вписані та описані чотирикутники. Вписані та центральні кути. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника, її властивості. Середня лінія трапеції, її властивості.	Розпізнає опуклі й неопуклі чотирикутники. Описує чотирикутник і його елементи. Зображує та знаходить на малюнках чотирикутники різних видів та їх елементи. Формулює: означення і властивості вказаних у змісті чотирикутників; центральних і вписаних кутів; вписаного і описаного чотирикутників; середньої лінії трикутника і трапеції; ознаки паралелограма; вписаного і описаного чотирикутників; теорему Фалеса. Доводить властивості й ознаки паралелограма, властивості прямокутника, ромба, квадрата, суми кутів чотирикутника, середньої лінії трикутника і трапеції, вписаних та центральних кутів, вписаного та описаного чотирикутників, теорему Фалеса. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
14	Тема 2. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Узагальнена теорема Фалеса. Подібні трикутники. Ознаки подібності трикутників. Застосування подібності трикутників: — середні пропорційні відрізки в прямокутному трикут нику; — властивість бісектриси трикутника.	Розпізнає на малюнках подібні трикутники. Формулює: узагальнену теорему Фалеса; означення подібних трикутників; ознаки подібності трикутників. Доводить ознаки подібності трикутників, теореми про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
10	Тема 3. МНОГОКУТНИКИ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИ        КІВ Многокутник та його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники. Сума кутів опуклого многокутника. Вписані й описані многокутники. Поняття площі многокутника. Основні властивості площ. Площа прямокутника, паралелограма, трикутника. Площа трапеції.	Пояснює, що таке площа многокутника. Описує многокутник, його елементи; опуклі й неопуклі многокутники, основні властивості площ. Зображує та знаходить на малюнках многокутник і його елементи, многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола. Формулює: означення: многокутника, вписаного у коло, многокутника, описаного навколо кола;
		теореми: про суму кутів опуклого многокутника; про площу прямокутника, паралелограма, трикутника, трапеції. Доводить теореми про площі паралелограма, трикутника, трапеції. Знаходить площі многокутників, використовуючи вивчені властивості й формули. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
14	Тема 4. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТ        НИКІВ Теорема Піфагора. Перпендикуляр і похила, їх властивості. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Значення синуса, косинуса і тангенса деяких кутів. Розв’язування прямокутних трикутників. Прикладні задачі.	Описує похилу. Формулює: властивості перпендикуляра і похилої; означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямокутного трикутника; теорему Піфагора; співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника. Знаходить значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30°, 45°, 60°. Доводить теорему Піфагора. Розв’язує прямокутні трикутники. Застосовує алгоритми розв’язування прямокутних трикутників до розв’язування простіших прикладних задач.

 

Таблиця А.3

9й клас. ГЕОМЕТРІЯ

Кть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
16	Тема 1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тотожності: sin2α + cos2α = 1; sin (180° – α) = sinα; cos (180° – α) = – cosα; sin (90° – α) = cosα; cos (90° – α) = sinα. Теореми косинусів і синусів. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі. Формули для знаходження площі трикутника.	Пояснює, що таке синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°. Формулює теореми косинусів і синусів. Описує основні випадки розв’язування трикутників та алгоритми їх розв’язування. Доводить теореми синусів і косинусів. Розв’язує трикутники. Застосовує алгоритми розв’язування трикутників до розв’язування прикладних задач. Використовує формули для знаходження площі трикутника (Герона, за двома сторонами і кутом між ними, за радіусом вписаного і описаного кола) в розв’язуванні задач.
6	Тема 2. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників. Побудова правильних многокутників. Довжина кола. Довжина дуги кола. Площа круга та його частин.	Описує круговий сектор і сегмент. Формулює: означення правильного многокутника; теореми: про відношення довжини кола до його діаметра; про площу круга. Записує і пояснює формули: радіусів вписаного і описаного кіл правильного многокутника; радіусів вписаного і описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника; довжини кола і дуги кола; площі круга, сектора і сегмента. Будує правильний трикутник, чотирикутник, шестикутник. Доводить формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
10	Тема 3. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ Прямокутна система координат на площині. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами. Рівняння кола і прямої.	Описує прямокутну систему координат. Розпізнає рівняння кола та прямої. Записує і доводить формули координати середини відрізка та відстані між двома точками. Застосовує вивчені формули і рівняння фігур до розв’язування задач.
10	Тема 4. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Переміщення та його властивості. Симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення. Рівність фігур. Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія. Подібність фігур. Площі подібних фігур.	Описує симетрію відносно точки і прямої, паралельне перенесення, поворот; рівність фігур; перетворення подібності, гомотетію, подібність фігур. Будує фігури, в які переходять дані фігури при переміщеннях та перетвореннях подібності. Наводить приклади фігур, які мають вісь симетрії, центр симетрії; подібних фігур. Формулює властивості переміщення та перетворення подібності; теорему про відношення площ подібних фігур. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
10	Тема 5. ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ Вектор. Модуль і напрям вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання і віднімання векторів. Множення вектора на число. Колінеарні вектори. Скалярний добуток векторів.	Описує вектор, модуль і напрям вектора, координати вектора, дії над векторами, рівність і колінеарність векторів. Відкладає вектор, рівний даному; вектор, рівний сумі (різниці) векторів. Формулює: властивості дій над векторами; означення скалярного добутку векторів, його властивості. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
8	Тема 6. ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ З СТЕРЕОМЕТРІЇ Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування площин. Взаємне розташування прямої та площини. Перпендикуляр до площини. Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм призми і піраміди. Циліндр. Конус. Куля. Площі поверхонь і об’єми циліндра, конуса і кулі. Розв’язування задач на обчислення площ поверхонь і об’ємів, у тому числі прикладного характеру.	Описує взаємне розміщення в просторі двох прямих; прямої та площини; двох площин. Пояснює, що таке: пряма призма, піраміда, циліндр, конус, куля та їх елементи; поверхня і об’єм многогранника і тіла обертання. Зображує і знаходить на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи. Записує і пояснює формули площ поверхонь і об’ємів зазначених у програмі геометричних фігур. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язання задач у т. ч. прикладного змісту.

 

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни “Педагогіка”

на тему: „Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії”

 

ЗМІСТ

 

ВСТУП

РОЗДІЛ 1 ЛОГІЧНЕ МИСЛЕННЯ ТА ЙОГО СКЛАДОВІ

1.1 Логіка як наука про мислення

1.2 Поняття як перший ступінь логічних форм мислення

1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення

1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення

1.5 Основні закони логіки мислення

РОЗДІЛ 2 ВПЛИВ ВИБОРУ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ НА РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ШКОЛІ

2.1 Традиційні методи навчання та їх класифікація

2.2 Класифікація методів проблемнорозвиваючого навчання

2.3 Методи логічнодидактичних ігор на уроках геометрії

РОЗДІЛ 3 РОЛЬ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ШКІЛЬНОГО УЧБОВОГО ПРОЦЕСУ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ У РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ

3.1 Роль геометричних означень та понять

3.2 Роль логічних доведень геометричних тверджень(лем та теорем)

3.3 Роль практичного розв’язування геометричних задач

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ДОДАТКИ

ВСТУП

 

Відомо, що людина відрізняється від інших живих істот своїм умінням мислити, думати. Мислення – це вища форма пізнання світу. Свої думки людина виражає за допомогою мови. Навіть тоді, коли людина міркує „про себе”, вона неодмінно оформляє думки словами. Психологи називають це внутрішньою мовою.

Всебічні дослідження привели вчених до висновку, що мислення і мова становлять нерозривну єдність. Якщо ж проаналізувати мову довільної групи людей, то можна помітити, що вона не однакова: одні люди виражають свої думки лаконічно, чітко, зрозуміло, обгрунтовано, інші – розпливчасто, не завжди зрозуміло. Про перших часто говорять, що вони мислять логічно, про других цього сказати не можна. Звичайно, кожний з нас хотів би мислити логічно. Слово „логічно” походить від терміна „логіка”. Логікаце наука про форми і закони мислення. Хоч мислення має надзвичайно складну структуру, стародавні мислителі помітили, що значну частину умовиводів (висновків) ми робимо за стандартними схемами, незалежними від того конкретного матеріалу, яким оперуємо. Так, закон силогізму, яким ми часто користаємося, твердить: „з істиності тверджень „  суть ” і „  суть ” випливає істинність твердження „  суть ” незалежно від того, які об’єкти позначено буквами , , .

Близько 2,5 тисячі років тому в Індіїї, Китаї і Греції мислителі й філософи почали систематично вивчати загальні форми логічних умовиводів. Особливо вплинула на формування логіки як науки і на її дальший розвиток давньогрецька формальна логіка, розвинута Платоном, Арістотелем і стоїками. Велике значення для її розвитку мали праці великого грецького мислителя Арістотеля (384322 рр. до н.е.), в яких він показав що правильні міркування підпорядковані невеликій кількості законів, які не залежать від змісту

висловлень, а тільки від їх форми.

Тому традиційну, Арістотелеву, логіку називають ще формальною, а Арістотеля вважають батьком формальної логіки. Він розвинув її настільки фундаментально, що багато століть вона залишалась неперевершеним зразком логічного аналізу.

У 17 столітті видатний німецький учений Г.Лейбниц (16461716) чітко сформулював ідею побудови нової логіки, в якій би кожному поняттю відповідав певний символ, а міркування мали б форму обчислень. Проте його праці містили лише програму побудови так званої символічної логіки. Тільки в середині 19 століття англійский математик Д. Буль (18151864) частково втілив у життя ідею Лейбница: він створив алгебру логіки, в якій діють закони, подібні до законів звичайної алгебри, але буквами позначаються не числа, а висловлення.

Великий внесок у розвиток математичної логіки зробили вчені різних країн: німці Г. Фреге (18481925), Д. Гільберт (18621943), австрієць К. Гедель (народився в 1906 р.), англійці А де Морган (18061871), А. Уайтхед (18611947), Б. Рассел (18721970), поляки Я. Лукасевич (18781956), А. Тарський (19011983), американці А. Черч (народився в 1903 р.), А. Тьюрінг (19121954), італієць Д.Пеано (18581932), росіянин П.С.Порецький (18461907), радянські математики П.С.Новиков (19011975), А.А. Марков (19031980), А.М. Колмогоров (19031987) та інші.

Математична логіка уточнила й поновому висвітлила поняття і методи традіційної формальної логіки, істотно розширила її можливості й сферу застосування. Нині математична логіка використовується в біології