Понятие логистики и концепция логистики

Пример 2.1.

На двух предприятиях холдинга необходимо изготовить 200 единиц некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий на первом предприятии, равны  руб., где х₁ – объем производства изделия на этом предприятии. Затраты, обусловленные изготовлением х₂ единиц изделия на втором предприятии, составляют руб.

Необходимо составить план производства, т.е. определить, сколько единиц продукции следует произвести на каждом из предприятий, чтобы общие затраты на производство необходимой продукции были минимальными.

Составим математическую модель рассмотренной задачи и решим ее.

Переменные. Так как нужно определить объемы производства каждого предприятия, то управляемыми переменными являются х₁ и х₂.

Целевая функция. Обозначив затраты (в руб.) через , можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения х₁ и х₂, минимизирующие величину общих затрат:

            ,

Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должно быть учтено ограничение на объем конечной продукции:

  х₁ + х₂ = 200.

Решим задачу:

Пусть х₁ = 200 – х₂, тогда

Для решения модели записываем достаточные условия минимума функции одной переменной х₂.

,

,

т.к.  - выпуклая, то данное условие является и достаточным.

Оптимальное значение объема производства на втором предприятии равно 79 изделиям, из чего следует, сто на первом предприятии будет произведено 121 изделие и оптимальные затраты составят 97 590руб.

Пример 2.2. (задача о раскрое или минимизации отходов (обрезков)).

Для выполнения текущих заказов на мебельной фабрике необходимо из стандартных листов фанеры вырезать заготовки четырех видов в количествах, соответственно равных 24, 31, 18 и 20 шт. Разработано 2 способа распила фанерных листов на заготовки рассматриваемых видов. Количество получаемых заготовок при каждом способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отхо­дов с каждого листа фанеры, которые получаются при раскрое листа.

Таблица 2.2.

Необходимо решить, сколько листов фанеры и по какому способу, следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

Определим переменные: Х_j – количество листов фанеры, разрезаемых по варианту j, j=1,2.

Ограничения непосредственно связаны с требованием, обеспечить изготовление не менее требуемого количества заготовок.

 – количество заготовок I вида,

 – количество заготовок II вида,

 – количество заготовок III вида,

 – количество заготовок IV вида.

Выражение для суммарной величины потерь фанеры (отходы) (в см²) имеет вид:

.

Таким образом, математическая модель в общем виде имеет вид

=                 

при ограничениях:

,

,

,

.

       ; X_j – целые;  j=1,2.

Решение задачи потребует использование алгоритмов из курса «Математические методы исследования операций в экономике» либо надстройки «Поиск решения» в MS Excel (см. пункт 3.4 учебного пособия).

Пример 2.3. (задача составления кормовой смеси или задача о диете).

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0,5 кг на каждого цыпленка.

Для того чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В табл. 2.3 приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:

не менее 0.8% кальция

не менее 22% белка              от общего веса смеси

не более 5% клетчатки

Требуется определить количество (в кг.) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Таблица 2.3

Примечания

1) Если число линий, необходимое для того, чтобы вычеркнуть нулевые элементы, равно числу строк (столбцов), то существует полное назначение.

2) Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (–1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 3.1 Задача размещения производства.

Компания разрабатывает план выпуска трех новых видов продукции. Предположим, что компания владеет пятью предприятиями и что на трех из них должны производиться новые виды продукции – по одному виду на одно предприятие. Ниже указаны издержки производства и сбыта единицы продукции.

1. Издержки производства единицы продукции (руб.):

2. Издержки сбыта единицы продукции (руб.):

Плановый объем годового производства, который позволил бы удовлетворить спрос, и плановая стоимость единицы продукции каждого вида следующие:

На основе имеющихся данных определим общие издержки на единицу продукции, которые складываются из издержек производства и издержек сбыта. Поскольку продажная цена единицы каждого вида продукции известна, то можно вычислить прибыль на единицу продукции:

Умножая прибыль, приходящуюся на единицу продукции, на годовой объем сбыта, получим общую годовую прибыль, соответствующую каждой паре вид продукции – предприятие. Данные величины (в тыс. руб.) приведены в следующей таблице:

Если прибыль рассматривать как отрицательные затраты, то исходная задача максимизации может быть сведена к минимизационной задаче о назначениях (см. примечание 2).

Для того чтобы матрица стоимостей не содержала отрицательных элементов, сложим каждый элемент матрицы с числом 5760 и введем два вида фиктивной продукции (4 и 5), которой соответствует нулевая прибыль. В результате будет получена следующая матрица:

Приступим к решению задачи:

Итерация 1.

Шаг 1.

 =

Шаг 2.

Шаг 3.

Итерация 2.

Шаг 2. Воспользуемся замечанием 1. Тогда получим:

Оптимальное решение данной задачи следующее: производство первого вида продукции назначается предприятию 4, второго вида – предприятию 1, третьего вида – предприятию 3, четвертого вида – предприятию 2, пятого вида – предприятию 5. Очевидно, что 2 последних назначения являются фиктивными. Суммарная годовая прибыль, соответствующая данному решению, равна 1050 + 5600 + 1242 = 7892 (тыс. руб.).

Зачастую, основным видом деятельности фирмы является не производство, а оказание услуг, осуществление продаж. К  математической модели задачи о назначениях могут быть сведены и другие задачи, например маркетинговые. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.2.

Компания разрабатывает план распределения торговых агентов по населенным пунктам. Предположим, что в качестве городов-претендентов рассматриваются Нальчик, Саратов, Казань, Ростов и Москва и в распоряжении менеджера на данный момент имеется 4 сотрудника. Покупательная способность жителей городов 1400, 5000, 3600, 4800 и 3000 шт. соответственно. Также известен процент успешно реализуемых покупательных способностей по продукции проекта для каждого сотрудника: 80, 60, 75 и 65%. Цена продажи рассматриваемой продукции составляет 3000 руб./шт. Ниже указаны издержки связанные с транспортировкой и проживанием агента в течение рассматриваемого проекта.

1. Транспортные издержки (тыс. руб.) в зависимости от исходного места дислокации сотрудника:

2. Бытовые издержки (тыс. руб.) сотрудника за весь период реализации проекта:

Необходимо разработать план распределения торговых агентов, чтобы прибыль при реализации проекта была максимальной.

Рекомендации. По имеющимся данным необходимо сформировать матрицу ожидаемой прибыли (доходы за вычетом издержек). Учтите, что задача состоит в поиске максимального значения целевой функции. Решите задачу венгерским методом.

Транспортная логистика (ТЛ)

Задача 4.2.1.

Заводы фирмы-производителя стиральных машин расположены в А1, А2 и А3. Основные центры распределения продукции сосредоточены в В1 и В2. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000,1500 и 1200 стиральных машин ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 стиральных машин соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одной стиральной машины на один километр равняется примерно 8 копейкам. Расстояния в километрах между заводами и центрами распределения приведены в следующей таблице:

Расстояния можно перевести в стоимость перевозки одной стиральной машины (переводной коэффициент = 0,08 руб./км). В результате получается следующая таблица стоимостей (округленных до рубля), которая содержит коэффициенты С_ij общей модели.

Обозначим количество стиральных машин, перевозимых из исходного пункта i в пункт назначения j, через X_ij. Поскольку суммарный объем производства стиральных машин (1000 + 1500 + 1200 = 3700) равен суммарному спросу (2300 + 1400 = 3700), данная модель является сбалансированной транспортной моделью, и соответствующая задача линейного программирования с ограничениями в виде равенств формулируется следующим образом:

минимизировать Z=80X₁₁+215X₁₂+100X₂₁+108X₂₂+102X₃₁+68X₃₂

при ограничениях

   X₁₁ + X₁₂ =1000,

   X₂₁ + X₂₂ =1500,

   X₃₁ + X₃₂ =1200,

   X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ =2300,

   X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ =1400,

X_ij ³0 для всех i,j.

Более компактный способ представления транспортной модели связан с использованием так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, в которой строки соответствуют исходным пунктам, а столбцы – пунктам назначения. Коэффициенты стоимости С_ij расположены в правом верхнем углу каждой ячейки (i, j). Модель фирмы можно представить в виде табл. 4.2.1.

В следующем подразделе будет показано, что специальный метод решения транспортной задачи, основанный на симплекс-методе, предполагает использование транспортных таблиц.

Первоначальные опорные планы для транспортной задачи, представленной в табл.4.2.1, найденные методом Северо-западного угла и методом минимального элемента, совпадают и приведены в табл.4.2.2.

Таблица 4.2.1.

Таблица 4.2.2.

Z(X) = 80×1000 + 100×1300 + 108×200 + 68×1200 = 313200 руб.

Задача 4.2.2.

Пусть теперь завод А2 производит не 1500, а 1300 стиральных машин. Это приведет к дисбалансу, поскольку суммарный объем производства (3500) не равен суммарному спросу (3700).

Другими словами, дисбаланс означает, что спрос в центрах распределения стиральных машин полностью удовлетворить не удается. В этом случае необходимо видоизменить транспортную модель таким образом, чтобы недостаток стиральных машин (3700–3500 = 200) оптимально распределялся между центрами, в которые поступают стиральные машины.

Поскольку спрос превышает объем производства, можно ввести дополнительный фиктивный исходный пункт (завод) с производительностью в 200 стиральных машин. В обычных условиях завод может отправлять свою продукцию в любой центр распределения стиральных машин. Количество продукции, «отправляемой» фиктивным заводом в пункт назначения, будет представлять собой объем недостающей продукции в этом пункте.

Для завершения построения модели не хватает лишь информации о стоимости «перевозок» с фиктивного завода в пункты назначения. Поскольку на самом деле такого завода не существует, никакие перевозки не осуществляются, и соответствующая стоимость перевозки единицы продукции равна нулю. Однако эту ситуацию можно рассмотреть и по-другому, считая, что каждая единица недопоставленной в центры распределения продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции, недополученную в том или ином центре распределения.

В табл. 4.2.3. представлена сбалансированная модель с измененной производительностью завода в А2.

Таблица 4.2.3

Фиктивный завод имеет производительность 200 стиральных машин. Аналогичным образом, если объем производства превышает спрос, можно ввести дополнительные фиктивные пункты назначения, которые «поглощают» избыток продукции.

Задача 4.2.3.

Пусть спрос в В1 упал до 1900 стиральных машин. В табл.4.2.4 представлена модель с фиктивным центром распределения, поглощающим избыток производства. Соответствующая стоимость перевозки одного стиральной машины равна нулю. Однако можно назначить штраф за хранение стиральной машины на складе завода, тогда стоимость перевозки одного стиральной машины станет равной стоимости его хранения.

Таблица 4.2.4.

Домашнее задание 5.

Замечание. В домашнем задании применяется укороченная форма записи. Строки соответствуют исходным пунктам, столбцы – пунктам назначения, справа от вертикальной черты – объемы производства, под матрицей – спрос. Прочерк в матрице стоимости С означает, что поставка между указанными пунктами отсутствует.

Составить первоначальный опорный план двумя методами и вычислить его стоимость.

7. Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью в день 46, 34 и 40 т и затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. соответственно. Песок доставляется на четыре строительных площадки, потребность которых составляет 40, 35, 30 и 45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:

Недостающее количество песка – 30 тонн в день можно обеспечить двумя путями: увеличением производительности

а) первого карьера, что повлечет дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т;

б) второго с дополнительными затратами в 2 руб./т.

Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами и оптимальный вариант расширения поставок песка. Потребности четвертой строительной площадки должны быть удовлетворены полностью.

Метод потенциалов

Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой другой ЗЛП, существует двойственная к ней задача.

Исходная задача

                                                            (4.6)

                                         (4.7)

                                    (4.8)

                                       (4.9)

Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (4.7) через U_i (i = 1,..,m) и вида (4.8) – V_j (j = 1,..,n), тогда двойственная задача имеет вид

                                        (4.10)

U_i +V_j £ C_ij, i = 1..m, j = 1..n                                   (4.11)

Переменные задачи, двойственной к транспортной, U_i и V_j называют потенциалами поставщика и потребителя соответственно.

Утверждение. Для оптимальности плана X=(X_ij)_mn ТЗ, необходимо и достаточно существование чисел (потенциалов) V₁,V₂,…,V_n и U₁, U₂, …, U_m таких, что

1. U_i + V_j £ C_j, для i = 1,..,m, j = 1,…,n

2. U_i + V_j = C_j, для тех i, j, где X_ij>0                               (4.12)

Из утверждения следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, достаточно выполнения следующих условий:

а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы X) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза

U_i + V_j = C_j                                                                     (4.13)

б) для каждой незанятой клетки (X_ij = 0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза

U_i + V_j £ C_ij                                                                     (4.14)

Читайте также:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?