В XI классе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всего получается 102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической и степенной функции по программе уходит 36 часов.

В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов:

Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональных уравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественные преобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений и неравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Производная показательной функции. Число  и натуральный логарифм. Производная степенной функции.

Основной целью раздела изучения показательной и логарифмической функции является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической и степенной функцией; научить учащихся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Понятия корня -ой степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции.

Изучение свойств показательной, логарифмической и степенной функции построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров. Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на изученные свойства функций.

Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.
Глава 2.

Тождественные преобразования и вычисления

Показательных и логарифмических выражений

 

Обобщение понятия степени.

Определение: Корнем -ой степени из чиста  называется такое число, -я степень которого равна .

Согласно данному определению корень -ой степени из числа  – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от  и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке  эта функция при любом возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение  для любого  имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числа  и обозначают ; число  называют показателем корня, а само число  – подкоренным выражением. Знак  называют так же радикалом.

Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа  называют неотрицательное число, -я степень которого равна .

При четных  функция  четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях  функция  возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .

Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число –  есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном  единственный. Следовательно, .

Замечание 1: Для любого действительного

Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа  равен . Корень второй степени из числа  называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целого  и любых неотрицательных целых чисел  и  справедливы равенства:

1.

2.

3.

4.

5. .

Степень с рациональным показателем.

Выражение  определено для всех  и , кроме случая  при . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел ,  и любых целых чисел  и  справедливы равенства:                                    

Отметим так же, что если , то  при  и  при .

Определение: Степенью числа  с рациональным показателем , где  – целое число, а  – натуральное , называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

 

Показательная функция.

Определение: Функция, заданная формулой  (где , ), называется показательной функцией с основанием .

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения – множество  действительных чисел.

2. Область значений – множество  всех положительных действительных чисел.

3. При  функция возрастает на всей числовой прямой; при  функция убывает на множестве .

График функции  (рис. 1)

 

Рис. 1

4. При любых действительных значениях  и  справедливы равенства                         

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция  непрерывна на множестве действительных чисел.

 

Логарифмическая функция.

Определение: Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

Формулу  (где ,  и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом   () и любых положительных  и  выполнены равенства:

1.

2.

3.

4.

5.  для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .

Пусть  – положительное число, не равное 1.

Определение: Функцию, заданную формулой  называют логарифмической функцией с основанием .

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел , т.е. .

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при ) или убывает (при ).

График функции  (рис. 2)

 

Рис. 2

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой  (рис. 3).

 

Рис. 3

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и