Возведение многочлена в степень

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Программирование»

на тему: «Многочлены»

 

студент группы шифр

ФИО

«____» ______________ 201 г.

_________________________

подпись студента)

 

Проверил

ФИО

Оценка _____________________

____________________________

(подпись преподавателя)

«___» ____________ 201 г.

 

 

Лысьва, 2013г.

 

Содержание

1. Введение.................................................................................................................................... 3

1.2 Постановка задачи............................................................................................................... 4

1.3 Основная теория.................................................................................................................. 4

2. Основная часть.......................................................................................................................... 8

2.1 Возможные исходные данные........................................................................................... 8

2.2 Неформальное изложение алгоритма................................................................................ 8

}3. Набор тестов для класса....................................................................................................... 14

3. Набор тестов для класса......................................................................................................... 15

3.1 Тесты для сложения двух многочленов.......................................................................... 15

3.2 Тесты для вычитания двух многочленов........................................................................ 17

3.3 Тесты для умножения двух многочленов....................................................................... 19

3.4 Тесты для деления двух многочленов............................................................................. 21

3.5 Тесты для нахождения остатка от деления..................................................................... 22

3.6 Тесты для операции отношения равно............................................................................ 23

3.7 Тесты для операции отношения не равно....................................................................... 25

3.8 Тесты для операции возведения многочлена в натуральную степень k.................... 26

3.9 Тесты для вычисления производной от многочлена.................................................... 28

3.10 Тесты для вычисления значения в точке x₀.................................................................. 28

3.11 Тесты на вывод многочлена........................................................................................... 29

3.12 Тесты на нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов................ 31

4. Руководство пользователя...................................................................................................... 33

5. Заключение.......................................................................................................................... 34

Список использованных источников....................................................................................... 35

Приложения................................................................................................................................. 36

 

Введение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Поэтому создание легкой и доступной программы способной быстро выполнять нужные действия с многочленами любой степени является практичной и упрощает работу, избавляя нас от рутинных вычислений.

Цель работы

Научиться работать с классами и создать класс, в котором будет создан набор функций, подпрограмм и тп для работы с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n), а именно выполнять операции: сложения, умножения, вычитания, деления с остатком, возведения степень, операции отношения (равно, не равно), возведение в натуральную степень, вычисление производной от многочлена, вычисление значения в точке x ₀.

Постановка задачи

Реализовать в виде класса набор подпрограмм для выполнения операций с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n):

1) сложение;
2) вычитание;
3) умножение;
4) деление с остатком;
5) операции отношения (равно, не равно);
6) возведение в натуральную степень k;
7) вычисление производной от многочлена;
8) вычисление значения в точке x₀.
Многочлен представить массивом коэффициентов.

Используя этот класс, решить задачи:
1. Найти наибольший общий делитель многочленов P (x) и Q (x).
 2. Вычислить: P ^s (x) – Q^r(x).

 

Основная теория

Многочлен от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида.¹

, где

· — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,

· — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

, где

· — фиксированные коэффициенты,

· — переменная.

 

Привести многочлен к стандартному виду — означает привести к стандартному виду все его члены, а затем привести подобные члены. ¹

Сложить два многочлена — это значит представить их сумму
в стандартном виде. ¹

Чтобы решить многочлен, надо свести подобные члены. Например:
p 1(x)=6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³; p 2(x)=-8 x ⁴-4 x ³+5 x +6;
p 1+ p 1=(6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³)+(-8 x ⁴-4 x ³+5 x +6)= 6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³ -8 x ⁴-4 x ³+5 x +6=6 x ⁴- x ⁵-3 x ⁴-3 x ³+5 x +6.

Вычесть из одного многочлена другой — это значит представить их разность в стандартном виде.¹

При вычитании многочленов важно помнить, что после раскрытия скобок знаки во втором многочлене меняются на противоположные.

Например:
p 1(x) = 6 x ⁴ - x ⁵ + 5 x ⁴ + x ³; p 2 (x)=- 8 x ⁴ - 4 x ³ + 5 x + 6;
p 1- p 1 =(6 x ⁴ – x ⁵+ 5 x ⁴ + x ³) - (-8 x ⁴ - 4 x ³ + 5 x + 6) = 6 x ⁴ - x ⁵ + 5 x ⁴ + x ³ + 8 x ⁴ + 4 x ³ - 5 x - 6=6 x ⁴- x ⁵+13 x ⁴+5 x ³-5 x -6.

Умножить многочлен на многочлен - это значит, каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить. ¹

Например:
p 1(x) = x ²+6 x -1; p 2(x) = 3 x +1;
p 1* p 1 =(x ²+6 x -1)*(3 x +1)= 3 x ³+ x ² +6 x ²+6 x -3 x -1= 3 x ³+ 7 x ²+ 3 x ³-1.

Деление многочленов — алгоритм деления многочлена на многочлен , степень которого меньше или равна степени многочлена . Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.²

Пример:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой .

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен — частное деления, а — остаток.

Основная часть

2.1 Возможные исходные данные

· Многочлены(коэффициенты при переменных, степени переменных), алгоритмы решения задач.

· Операции над многочленами: сложение, умножение, вычитание, деление с остатком, возведение степень, операции отношения (равно, не равно), возведение в натуральную степень, вычисление производной от многочлена, вычисление значения в точке x₀.

Алгоритм вывода многочлена

· Выводим на экран “ y =”;

· Выводим на экран элемент многочлена с наибольшей степенью;

· Выводим поочередно все элементы многочлена, начиная с большей степени до единицы включительно;

· Если коэффициент при x равен нулю не выводим этот элемент;

· Выводим свободный элемент.

 

void mnogochlen::vivod()

{int j,i;

 

cout<<"y=";

if(stepen==0){cout<<koof[0];} else{

if(koof[stepen]>0)

     {

                 cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;

     }

   

else

{  

                 if(koof[stepen]<0) {cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;}

else{cout<<"";}

}

     

j=stepen-1;

   

for(i=j;i>=1;i--)

   

{ if(koof[i]>0)

     { cout<<"+"<<koof[i]<<"x^"<<i;}

         

else

{ if(koof[i]<0) {cout<<koof[i]<<"x^"<<i;}

     

else{cout<<"";}}

}

if(koof[0]>0)

     { cout<<"+"<<koof[0]<<endl;}

         

else

{ if(koof[0]<0) {cout<<koof[i]<<endl;}

     

else{cout<<endl;}

}

}

}

Тесты на вывод многочлена

· Случай, когда многочлен содержит только положительные элементы

Введите степень многочлена (натуральное число) 3

Введите свободный элемент 2

Введите x в степени 1 9

Введите x в степени 2 7

Введите x в степени 3 3

y=3x³+7x²+9x+2

· Случай, когда многочлен содержит только отрицательные элементы

Введите степень многочлена (натуральное число) 3

Введите свободный элемент -3

Введите x в степени 1 -5

Введите x в степени 2 -7

Введите x в степени 3 -2

y=-2x³-7x²-5x-3

· Случай, когда многочлен содержит коэффициенты и положительные и отрицательные

Текущая кодовая страница: 1251

Введите степень многочлена (натуральное число) 4

Введите свободный элемент 2

Введите x в степени 1 -5

Введите x в степени 2 -10

Введите x в степени 3 5

Введите x в степени 4 3

y=3x⁴+5x³-10x²-5x+2

· Случай, когда многочлен содержит нулевые коэффициенты

Введите степень многочлена (натуральное число) 4

Введите свободный элемент3

Введите x в степени 1 0

Введите x в степени 2 0

Введите x в степени 3 0

Введите x в степени 4 6

y=6x⁴+3

· Случай, когда в многочлене нет свободного элемента

Введите степень многочлена (натуральное число)3

Введите свободный элемент0

Введите x в степени 1 4

Введите x в степени 2 -7

Введите x в степени 3 2

y=2x³-7x²+4x

· Случай, когда в многочлене только свободный элемент

Введите степень многочлена (натуральное число) 0

Введите свободный элемент5

y=5

Руководство пользователя

    Открываем программу «Многочлены» двойным щелчком мыши. Затем следуем инструкциям программы.

Программа позволяет выполнять основные операции над многочленами.

Многочлены представлены в стандартном виде, начиная от большей степени.

«^» обозначает, какая степень у данного x.

Заключение

     В данной курсовой работе мы, используя полученные ранее математические знания, написали работоспособную программу, которая может: складывать, вычитать, умножать, делить многочлены натуральной степени, находить значение в указанной точке, производную от многочлена, а так же настроены вывод результатов и ввод данных, который делает «общение» с пользователем более простым и понятным.

    Данную программу можно использовать для решения и проверки задач средней, а так же старшей школ.

Приложения

1. Найти наибольший общий делитель многочленов P(x) и Q(x).

#include <iostream>#include <cmath> #include <string> using namespace std; class mnogochlen { int stepen; int koof[100]; public:                      void sozdanie(); /* создание многочлена */      void vivod(); /* вывод многочлена */      mnogochlen operator +(mnogochlen m); /* сложение многочленов */      mnogochlen operator -(mnogochlen m); /* вычитание многочленов */      mnogochlen operator *(mnogochlen m); /* умножение многочленов */      bool operator ==(mnogochlen m); /* равны ли многочлены? */      bool operator!=(mnogochlen m); /* не равны ли многочлены? */      mnogochlen proizvodnaa(); /* нахождение производной от многочлена */      double znachenie(double x); /* нахождение значения при заданном x */      mnogochlen stepeny(int k); /*возведение многочлена в степень*/      mnogochlen operator /(mnogochlen m); /*деление многочленов */      mnogochlen operator %(mnogochlen m); /*нахождение остатка от деления*/      }; // находжение остатака от деления mnogochlen mnogochlen:: operator %(mnogochlen m){ mnogochlen c,d,g; bool a;    int i,l,k; l=stepen-m.stepen; for (i=0;i<100;i++) {c.koof[i]=0; d.koof[i]=0;} while (stepen>=m.stepen){ c.stepen=stepen-m.stepen;  c.koof[c.stepen]=koof[stepen]/m.koof[m.stepen]; d=m*c; * this =* this -d; }               c.stepen=l; return * this;} //Деление многочленов mnogochlen mnogochlen:: operator /(mnogochlen m){ mnogochlen c,d,g;    int i,l,k; l=stepen-m.stepen; for (i=0;i<100;i++) {c.koof[i]=0; d.koof[i]=0;} while (stepen>=m.stepen){ c.stepen=stepen-m.stepen;  c.koof[c.stepen]=koof[stepen]/m.koof[m.stepen]; d=m*c; * this =* this -d; }                  c.stepen=l; return c;}    /* Нахождение производной от многочлена */ mnogochlen mnogochlen::proizvodnaa(){mnogochlen c; int i, j;       c.stepen=stepen; for (i=1;i<=stepen;i++)   {c.koof[i-1]=koof[i]*i;}c.stepen--;          return c; } /* Равны ли многочлены? */ bool mnogochlen:: operator ==(mnogochlen m){ bool priznak;    int i; if (stepen!=m.stepen){priznak=0;} else { for (i=0;i<=stepen;i++) {          if (koof[i]!=m.koof[i]) {priznak=0; break;}   else {priznak=1;}      }        } return priznak; } /* не равны ли многочлены? */ bool mnogochlen:: operator!=(mnogochlen m){ bool priznak;    int i; if (stepen!=m.stepen){priznak=0;} else { for (i=0;i<=stepen;i++) {          if (koof[i]!=m.koof[i]) {priznak=1; break;}   else {priznak=0;}      }        } return priznak; }   /* умножение многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator *(mnogochlen m) {mnogochlen d; int i,j,k; k=stepen+m.stepen; for (i=0;i<=k;i++) {               d.koof[i]=0; } for (i=0;i<=stepen;i++) {                         for (j=0;j<=m.stepen;j++) {                               d.koof[i+j]+=koof[i]*m.koof[j];                         } }     d.stepen=m.stepen+stepen;      return d; } /* разность многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator -(mnogochlen m){mnogochlen d; int i,max; if (stepen>m.stepen) max=stepen; else max=m.stepen; if (stepen>m.stepen) { for (i=m.stepen+1;i<=max;i++)              m.koof[i]=0;} else      {     for (i=stepen+1;i<=max;i++) koof[i]=0;      }      for (i=0;i<=max;i++) {   d.koof[i]=koof[i]-m.koof[i]; }  d.stepen=max;          for (i=max;i>0;i--)  { if (d.koof[i]==0){d.stepen--;} else { break;}}        return d;} /* нахождение значения многочлена */ double mnogochlen::znachenie(double x){ double y; int i;        y=koof[0];        for (i=1;i<=stepen;i++)   {y+=pow(x,i)*koof[i];}          return y;} /* сложение многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator +(mnogochlen m){mnogochlen d; int i,max; if (stepen>m.stepen) max=stepen; else max=m.stepen; if (stepen>m.stepen){              for (i=m.stepen+1;i<=max;i++)               m.koof[i]=0;} else       {        for (i=stepen+1;i<=max;i++)               koof[i]=0; }        for (i=0;i<=max;i++) {   d.koof[i]=koof[i]+m.koof[i]; }  d.stepen=max;          for (i=max;i>0;i--)  { if (d.koof[i]==0){d.stepen--;} else { break;}}        return d; return d;} /* Создание многочлена */ void mnogochlen::sozdanie(){ int i; cout<<”Введите степень многочлена (натуралное число)"<<endl; cin>>stepen;  cout<<"Введите свободный элемент"<<endl; cin>>koof[0];       for (i=1;i<=stepen;i++)      { cout<<"Введите x в степени "<<i<<" "; cin>>koof[i]; }} /* вывод многочлена */ void mnogochlen::vivod(){ int j,i; cout<<"y="; if (stepen==0){cout<<koof[0];} else { if (koof[stepen]>0)     {                       cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;     }      else {                        if (koof[stepen]<0) {cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;} else {cout<<"";} }     j=stepen-1;      for (i=j;i>=1;i--)     { if (koof[i]>0)     { cout<<"+"<<koof[i]<<"x^"<<i;}            else { if (koof[i]<0) {cout<<koof[i]<<"x^"<<i;}        else {cout<<"";}} } if (koof[0]>0)     { cout<<"+"<<koof[0]<<endl;}            else { if (koof[0]<0) {cout<<koof[i]<<endl;}        else {cout<<endl;} }}}   /* возведение многочлена в степень */  mnogochlen mnogochlen::stepeny(int k){ int i; mnogochlen d,c; c.stepen=stepen; for (i=0;i<=stepen;i++) {c.koof[i]=koof[i];} d.stepen=0;    d.koof[0]=1; for (i=1;i<=k;i++) {d=d*c; } return d;} int main() { mnogochlen P,Q,c; double s,r;   system("chcp 1251");    cout<<"Введите первый многочлен”<<endl;     P.sozdanie();     P.vivod();     cout<<"Введите второй многочлен"<<endl;     Q.sozdanie();     Q.vivod();     cout<<"Введите степень, в которую следует возвести первый многочлен"<<endl;     cin>>s;     P=P.stepeny(s);     cout<<" Введите степень, в которую следует возвести второй многочлен "<<endl;     cin>>r;     Q=Q.stepeny(r);     cout<<"Результат операций P^s-Q^r"<<endl;     c=P-Q;      c.vivod();     system ("PAUSE"); return 0;     }

2. На

#include <iostream>#include <cmath> #include <string> using namespace std; class mnogochlen { public:            int stepen; int koof[100];     void sozdanie();     void vivod();     mnogochlen operator +(mnogochlen m); /* ñëîæåíèå */      mnogochlen operator -(mnogochlen m); /* âû÷èòàíèå */      mnogochlen operator *(mnogochlen m); /* óìíîæåíèå */      bool operator ==(mnogochlen m); /* ñðàâíåíèå ìíîãî÷ëåíîâ */      bool operator!=(mnogochlen m); /* ñðàâíåíèå ìíîãî÷ëåíîâ */      mnogochlen proizvodnaa(); /* ïðîèçâîäíàÿ */      double znachenie(double x); /* íàõîæäåíèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè*/      mnogochlen stepeny(int k); /*âîçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíà â ñòåïåíü*/      mnogochlen operator /(mnogochlen m); /*äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà*/      mnogochlen operator %(mnogochlen m); /*îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ*/      mnogochlen NOD(mnogochlen a, mnogochlen b);}; // Остаток от деления mnogochlen mnogochlen:: operator %(mnogochlen m){ mnogochlen c,d,g; bool a;    int i,l,k; l=stepen-m.stepen; for (i=0;i<100;i++) {c.koof[i]=0; d.koof[i]=0;} while (stepen>=m.stepen){ c.stepen=stepen-m.stepen;  c.koof[c.stepen]=koof[stepen]/m.koof[m.stepen]; d=m*c; * this =* this -d; }               c.stepen=l; return * this;} //Деление многочленов mnogochlen mnogochlen:: operator /(mnogochlen m){ mnogochlen c,d,g;    int i,l,k; l=stepen-m.stepen; for (i=0;i<100;i++) {c.koof[i]=0; d.koof[i]=0;} while (stepen>=m.stepen){ c.stepen=stepen-m.stepen;  c.koof[c.stepen]=koof[stepen]/m.koof[m.stepen]; d=m*c; * this =* this -d; }                  c.stepen=l; return c;}    /* Производная от многочлена */ mnogochlen mnogochlen::proizvodnaa(){mnogochlen c; int i, j;       c.stepen=stepen; for (i=1;i<=stepen;i++)   {c.koof[i-1]=koof[i]*i;}c.stepen--;          return c; } /* Равны ли многочлены? */ bool mnogochlen:: operator ==(mnogochlen m){ bool priznak;    int i; if (stepen!=m.stepen){priznak=0;} else { for (i=0;i<=stepen;i++) {          if (koof[i]!=m.koof[i]) {priznak=0; break;}   else {priznak=1;}      }        } return priznak; } /* Не равны ли многочлены? */ bool mnogochlen:: operator!=(mnogochlen m){ bool priznak;    int i; if (stepen!=m.stepen){priznak=0;} else { for (i=0;i<=stepen;i++) {          if (koof[i]!=m.koof[i]) {priznak=1; break;}   else {priznak=0;}      }        } return priznak; }   /* Произведение многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator *(mnogochlen m) {mnogochlen d; int i,j,k; k=stepen+m.stepen; for (i=0;i<=k;i++) {               d.koof[i]=0; } for (i=0;i<=stepen;i++) {                         for (j=0;j<=m.stepen;j++) {                                d.koof[i+j]+=koof[i]*m.koof[j];                         } }     d.stepen=m.stepen+stepen;      return d; } /* Разность многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator -(mnogochlen m){mnogochlen d; int i,max; if (stepen>m.stepen) max=stepen; else max=m.stepen; if (stepen>m.stepen) { for (i=m.stepen+1;i<=max;i++)              m.koof[i]=0;} else      {     for (i=stepen+1;i<=max;i++) koof[i]=0;      }       for (i=0;i<=max;i++) {   d.koof[i]=koof[i]-m.koof[i]; }  d.stepen=max;          for (i=max;i>0;i--)  { if (d.koof[i]==0){d.stepen--;} else { break;}}        return d;} /* нахождение значения значения в точке x₀*/ double mnogochlen::znachenie(double x){ double y; int i;  y=koof[0];        for (i=1;i<=stepen;i++)   {y+=pow(x,i)*koof[i];}          return y;} /* сложение многочленов */ mnogochlen mnogochlen:: operator +(mnogochlen m){mnogochlen d; int i,max; if (stepen>m.stepen) max=stepen; else max=m.stepen; if (stepen>m.stepen){              for (i=m.stepen+1;i<=max;i++)               m.koof[i]=0;} else       {        for (i=stepen+1;i<=max;i++)               koof[i]=0; }        for (i=0;i<=max;i++) {   d.koof[i]=koof[i]+m.koof[i]; }  d.stepen=max;          for (i=max;i>0;i--)  { if (d.koof[i]==0){d.stepen--;} else { break;}}        return d; return d;} /* Создание многочлена */ void mnogochlen::sozdanie(){ int i; cout<<"Введите степень многочлена (натуральное число):"<<endl; cin>>stepen;  cout<<"введите свободный элемент"<<endl; cin>>koof[0];       for (i=1;i<=stepen;i++)      { cout<<"Введите x в степени "<<i<<" "; cin>>koof[i]; }} /* вывод многочлена */ void mnogochlen::vivod(){ int j,i; cout<<"y="; if (stepen==0){cout<<koof[0];} else { if (koof[stepen]>0)     {                       cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;     }      else {                        if (koof[stepen]<0) {cout<<koof[stepen]<<"x^"<<stepen;} else {cout<<"";} }     j=stepen-1;      for (i=j;i>=1;i--)     { if (koof[i]>0)     { cout<<"+"<<koof[i]<<"x^"<<i;}                else { if (koof[i]<0) {cout<<koof[i]<<"x^"<<i;}        else {cout<<"";}} } if (koof[0]>0)     { cout<<"+"<<koof[0]<<endl;}            else { if (koof[0]<0) {cout<<koof[i]<<endl;}        else {cout<<endl;} }}}   /* возведение многочлена в степень */  mnogochlen mnogochlen::stepeny(int k){ int i; mnogochlen d,c;   c.stepen=stepen; for (i=0;i<=stepen;i++) {c.koof[i]=koof[i];} d.stepen=0;    d.koof[0]=1; for (i=1;i<=k;i++) {d=d*c; } return d;} /*Нахождение НОД двух многочленов*/ mnogochlen NOD(mnogochlen a, mnogochlen b){mnogochlen r1, r2, r3; if (a.stepen>=b.stepen){r1=a;r2=b;} else {r1=b;r2=a;} while (r2.stepen>0) { r3=(r1%r2); if (r3.stepen==0) { return r2;} r1=r2; r2=r3;                } return r3; } int main() { mnogochlen a,b,c; double y,x,k; bool m; int l; system("chcp 1251");            cout<<"Первый многочлен:  "<<endl;      cout<<endl;           a.sozdanie();         a.vivod();                cout<<endl;     cout<<"Второй многочлен: "<<endl;               b.sozdanie();     b.vivod();     cout<<endl;      cout<<"Наибольший общий делитель двух многочленов: "<<endl;     c=NOD(a,b);               c.vivod();                                system ("PAUSE");       return 0;     }         

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Программирование»

на тему: «Многочлены»

 

студент группы шифр

ФИО

«____» ______________ 201 г.

_________________________

подпись студента)

 

Проверил

ФИО

Оценка _____________________

____________________________

(подпись преподавателя)

«___» ____________ 201 г.

 

 

Лысьва, 2013г.

 

Содержание

1. Введение.................................................................................................................................... 3

1.2 Постановка задачи............................................................................................................... 4

1.3 Основная теория.................................................................................................................. 4

2. Основная часть.......................................................................................................................... 8

2.1 Возможные исходные данные........................................................................................... 8

2.2 Неформальное изложение алгоритма................................................................................ 8

}3. Набор тестов для класса....................................................................................................... 14

3. Набор тестов для класса......................................................................................................... 15

3.1 Тесты для сложения двух многочленов.......................................................................... 15

3.2 Тесты для вычитания двух многочленов........................................................................ 17

3.3 Тесты для умножения двух многочленов....................................................................... 19

3.4 Тесты для деления двух многочленов............................................................................. 21

3.5 Тесты для нахождения остатка от деления..................................................................... 22

3.6 Тесты для операции отношения равно............................................................................ 23

3.7 Тесты для операции отношения не равно....................................................................... 25

3.8 Тесты для операции возведения многочлена в натуральную степень k.................... 26

3.9 Тесты для вычисления производной от многочлена.................................................... 28

3.10 Тесты для вычисления значения в точке x₀.................................................................. 28

3.11 Тесты на вывод многочлена........................................................................................... 29

3.12 Тесты на нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов................ 31

4. Руководство пользователя...................................................................................................... 33

5. Заключение.......................................................................................................................... 34

Список использованных источников....................................................................................... 35

Приложения................................................................................................................................. 36

 

Введение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Поэтому создание легкой и доступной программы способной быстро выполнять нужные действия с многочленами любой степени является практичной и упрощает работу, избавляя нас от рутинных вычислений.

Цель работы

Научиться работать с классами и создать класс, в котором будет создан набор функций, подпрограмм и тп для работы с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n), а именно выполнять операции: сложения, умножения, вычитания, деления с остатком, возведения степень, операции отношения (равно, не равно), возведение в натуральную степень, вычисление производной от многочлена, вычисление значения в точке x ₀.

Постановка задачи

Реализовать в виде класса набор подпрограмм для выполнения операций с многочленами от одной переменной (первый многочлен степени m, второй — степени n):

1) сложение;
2) вычитание;
3) умножение;
4) деление с остатком;
5) операции отношения (равно, не равно);
6) возведение в натуральную степень k;
7) вычисление производной от многочлена;
8) вычисление значения в точке x₀.
Многочлен представить массивом коэффициентов.

Используя этот класс, решить задачи:
1. Найти наибольший общий делитель многочленов P (x) и Q (x).
 2. Вычислить: P ^s (x) – Q^r(x).

 

Основная теория

Многочлен от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида.¹

, где

· — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,

· — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

, где

· — фиксированные коэффициенты,

· — переменная.

 

Привести многочлен к стандартному виду — означает привести к стандартному виду все его члены, а затем привести подобные члены. ¹

Сложить два многочлена — это значит представить их сумму
в стандартном виде. ¹

Чтобы решить многочлен, надо свести подобные члены. Например:
p 1(x)=6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³; p 2(x)=-8 x ⁴-4 x ³+5 x +6;
p 1+ p 1=(6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³)+(-8 x ⁴-4 x ³+5 x +6)= 6 x ⁴- x ⁵+5 x ⁴+ x ³ -8 x ⁴-4 x ³+5 x +6=6 x ⁴- x ⁵-3 x ⁴-3 x ³+5 x +6.

Вычесть из одного многочлена другой — это значит представить их разность в стандартном виде.¹

При вычитании многочленов важно помнить, что после раскрытия скобок знаки во втором многочлене меняются на противоположные.

Например:
p 1(x) = 6 x ⁴ - x ⁵ + 5 x ⁴ + x ³; p 2 (x)=- 8 x ⁴ - 4 x ³ + 5 x + 6;
p 1- p 1 =(6 x ⁴ – x ⁵+ 5 x ⁴ + x ³) - (-8 x ⁴ - 4 x ³ + 5 x + 6) = 6 x ⁴ - x ⁵ + 5 x ⁴ + x ³ + 8 x ⁴ + 4 x ³ - 5 x - 6=6 x ⁴- x ⁵+13 x ⁴+5 x ³-5 x -6.

Умножить многочлен на многочлен - это значит, каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить. ¹

Например:
p 1(x) = x ²+6 x -1; p 2(x) = 3 x +1;
p 1* p 1 =(x ²+6 x -1)*(3 x +1)= 3 x ³+ x ² +6 x ²+6 x -3 x -1= 3 x ³+ 7 x ²+ 3 x ³-1.

Деление многочленов — алгоритм деления многочлена на многочлен , степень которого меньше или равна степени многочлена . Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.²

Пример:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой .

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен — частное деления, а — остаток.

Возведение многочлена в степень

Чтобы возвести двучлен в четвертую, пятую и т.д. степень, надо последовательно умножить разложенный многочлен на самого себя несколько раз.

Например:

p 1(x)= (3 x ² – 2)³=(3 x ² – 2) (3 x ² – 2) (3 x ² – 2)= (3 x ² – 2)(9 x ² – 12 x +4)= 27 x ³+54 x²+ 36 x +8.

Два многочлена p 1(x) и p 2(x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (равны их соответствующие коэффициенты). В этом случае пишут: p 1 (x) = p 2 (x).³

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).²

Для вычисления производной от многочлена нам потребуются знания таблицы производных:
(xⁿ)’= nx^{n -1}; c ’=0.

Например:
p 1(x)= 3 x ² – 2=6 x.

Класс — разновидность абстрактного типа данных в объектно-ориентированном программировании, характеризуемый способом своего построения. Наряду с понятием «объекта» класс является ключевым понятием в ООП. Суть отличия классов от других абстрактных типов данных состоит в том, что при задании типа данных класс определяет одновременно и интерфейс, и реализацию для всех своих экземпляров, а вызов метода-конструктора обязателен. ³

На практике объектно-ориентированное программирование св