Арифметическая и геометрическая прогрессии

 

При установлении размеров и параметров стандартизируемых изделий широкое применение нашли ряды чисел, построенные по арифметической или геометрической прогрессиям.

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательный ряд чисел, образованный по закону

 

 

что может быть записано следующим образом

 

 и т.д.,

где = первый член прогрессии;

 - разность прогрессии;

 - порядковый номер члена прогрессии.

 

Рис 1. – График арифметической прогрессии

 

Примеры арифметической прогрессии:

1-2-3-4-5-6; 0,3-0,6-0,9-1,2-1.5; 25-50-75-100-125-150.

Арифметический ряд прост, но его недостатком является одинаковая разность (интервал) размеров двух соседних членов, из-за чего относительная разность между смежными членами при возрастании ряда резко уменьшается. Так, относительная разность для членов арифметического ряда, где а = d = 1, будет равна:

для 1-го-2-го члена:

для 9-го-10-го члена:

Если изменение относительной разности для членов этого арифметического ряда представить графически, то получится зависимость, показанная на рис. 2.

 

 

Рис. 2 – Зависимость относительной разности членов арифметической прогрессии

от их места в ряде

Из графика видно, что при возрастании абсолютных значений членов арифметического ряда относительная разность уменьшается. Указанное обстоятельство затрудняет использование арифметического ряда для практических целей стандартизации. На ранних стадиях стандартизации применялись только арифметические ряды (например, ряды диаметров стандартных подшипников качения). Позднее стали применять ступенчато-арифметические ряды (например, ряд диаметров резьб - 1; 1,1: 1,2: 1,4: 1,6: 1,8: 2,0; 2,5: 3; 3,5: 4; 4,5: 5; и т. д.), у которых на отдельных участках абсолютная разность имеет различные значения, что позволяет получить более равномерный ряд как в области малых, так и в области больших его значений.

Практика показала, что наиболее удобными для целей стандартизации являются геометрические прогрессии, которые представляют собой в каждом отдельном случае последовательный ряд чисел, образованный по закону

 

 

что может быть записано следующим образом:

 

 и т.д.,

 

где  — первый член прогрессии;  — знаменатель прогрессии; n = 1,2, 3, 4... - порядковый номер члена прогрессии.

График геометрической прогрессии представлен на рис. 3.

 

Рис. 3 – График геометрической прогрессии

В качестве примеров геометрической прогрессии можно привести следующие:

1; 2; 4; 8; 16; 32; 64, 1; 1,1; 1,21; 1,331; 1,464, 10; 100; 1000; 10000.

Если 1-й член прогрессии U₁ = а = 1, то геометрическая прогрессия превращается в ряд: 1; Q; Q²; Q³;…Q^n-1. Каждый член такой прогрессии определяется из выражения: N_i = Qⁱ, где i=(0; 1; 2; 3...)— порядковый номер члена прогрессии.

Для единицы порядковый номер члена i = 0.

Так, при Q = 2 получим прогрессию 1—2—4—6—8—16—32—64...; при Q = 1,6: 1-1,6-2,5-4-6,3...