Значение логического выражения

 

гика широко используется не только в жизни, но и в реализации работы цифровой техники, в том числе и компьютеров. Цифровая техника содержит так называемые логические элементы, которые реализуют те или иные логические операции.

В логике используются простые и составные логические высказывания (повествовательные утверждения), которые могут быть истинными (1) или ложными (0).

Пример простых высказываний:

• "Москва - столица России" (1)
• "Дважды два - три" (0)
• "Здорово!" (не является высказыванием)

Для объединения нескольких простых высказываний в одно составное используют логические операции. Существуют три базовые логические операции: И, ИЛИ, НЕ.

Порядок операций:

1. действия в скобках, операции сравнения (<, ≤, >, ≥, =, ≠)
2. НЕ
3. И
4. ИЛИ

Рассмотрим каждую из трех операций отдельно.

1. Операция НЕ меняет значение логического высказывания на противоположное. Эта операция носит также названия "инверсия", "логическое отрицание". Знак операции:

Таблица истинности:

А	НЕ А

2. Операция И для составного высказывания дает истину только тогда, когда истинны все входящие простых высказывания. Данную операцию можно также называть как "логическое умножение" или "конъюнкция". Знак операции: •, &, /\

Таблица истинности:

A	B	A И B

3. Операция ИЛИ для составного высказывания дает истину тогда, когда истинно хотя бы одно любое входящее простое высказывание. "Логическое сложение", "дизъюнкция". Знак операции: +, v

A	B	A ИЛИ B

 

Примеры решения задач

Пример 1.

Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:

НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8

Решение. Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операция НЕ, в последнюю очередь - операция ИЛИ.

1) Подставим число 9 в выражение:
НЕ (9 > 50) ИЛИ (9 чётное)
НЕ (ложь) ИЛИ (ложь) = истина ИЛИ ложь = истина

9 нам не подходит, так как по условию мы должны получить ложь.

2) Подставим число 56 в выражение:
НЕ (56 > 50) ИЛИ (56 чётное)
НЕ (истина) ИЛИ (истина) = ложь ИЛИ истина = истина

56 тоже не подходит.

3) Подставим 123:
НЕ (123 > 50) ИЛИ (123 чётное)
НЕ (истина) ИЛИ (ложь) = ложь ИЛИ ложь = ложь

Число 123 подошло.

Эту задачу можно было решить и по-другому:
НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)

Нам надо получить ложное значение. Мы видим, что операция ИЛИ будет выполняться в последнюю очередь. Операция ИЛИ даст ложь, когда оба выражения НЕ(число) и (число чётное) будут ложны.

Так как условие (число чётное) должно быть равно ложному значению, то сразу отвергаем варианты с числами 56, 8.

Далее, условие НЕ (число > 50) = ложь, соответственно условие (число > 50) = истина. Из двух оставшихся чисел 9 и 123 этому условию подходит число 123.

Итак, можно решать прямой подстановкой, что долго и может дать ошибку при вычислении выражения; или же можно решать задачу быстро, проанализировав все простые условия.

Ответ: 3)

 

Пример 2

Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:

НЕ (Первая цифра чётная) И НЕ (Последняя цифра нечётная)?

1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234

Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операции НЕ над скобками, в последнюю очередь - операция И. Все это выражение должно принимать истинное значение.

Так как операция НЕ меняет смысл высказывания на противоположный, мы может переписать это сложное выражение так:

(Первая цифра нечётная) И (Последняя цифра чётная) = истина

Как известно, логическое умножение И дает истину только тогда, когда истинны все простые высказывания. Таким образом, оба условия должны быть истинными:

(Первая цифра нечётная) = истина (Последняя цифра чётная) = истина

Как видно, подходит только число 1234

Ответ: 4)

 

Пример 3

Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
НЕ (Первая буква гласная) И (Количество букв > 5)?

1) Иван 2) Николай 3) Семён 4) Илларион

Перепишем выражение:
(Первая буква не гласная) И (Количество букв > 5) = истина
(Первая буква согласная) И (Количество букв > 5) = истина

Оба условия должны выполняться (команда И дает истину когда оба входящих простых условия истинны).

Подходит имя "Николай" (первая буква не гласная и число букв 7>5).

Ответ: 2)

 

Пример 4

Для какого из приведённых значений числа X истинно высказывание:
НЕ (X > 5) И (X > 4)?

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

Первой выполняется операция НЕ, второй - И.

Перепишем выражение: (X ≤ 5) И (X > 4) = истина

Оба условия должны быть верными. Подходит число 5

Ответ: 2)

Для ка­ко­го из при­ведённых имён ложно вы­ска­зы­ва­ние:

НЕ ((Пер­вая буква глас­ная) И (По­след­няя буква со­глас­ная))?

1) Ва­лен­ти­на

2) Гер­ман

3) Ана­ста­сия

4) Яков

Решение:

Ло­ги­че­ское «И» ложно толь­ко тогда, когда ложны хотя бы одно из вы­ска­зы­ва­ний. По­сколь­ку перед конъ­юнк­ци­ей стоит от­ри­ца­ние, нужно найти вы­ра­же­ние, для ко­то­ро­го конъ­юнк­ция будет ис­тин­на.

1) Ис­тин­но, по­сколь­ку ис­тин­но пер­вое вы­ска­зы­ва­ния: в — со­глас­ная.

2) Ис­тин­но, по­сколь­ку ис­тин­но пер­вое вы­ска­зы­ва­ние: г — со­глас­ная.

3) Ис­тин­но, по­сколь­ку ис­тин­но вто­рое вы­ска­зы­ва­ние: я — глас­ная.

4) Ложно, по­сколь­ку ложны оба вы­ска­зы­ва­ния: я — глас­ная и в — со­глас­ная.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.